И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Упрелспеиил 119 Собственные интегралы, зависящие от параметра Исследовать равномерную сходимость относительно множества Х семейства функпий г (х, у) прн у — > уо 378) Дх,у) = ха+ у, Х = ( — 1;1), у — г О. г уг 376) г(х,у) = г г Х =(О;+со), у — ~+ос. 1+ гуг г уг 377) Х(х,у) =, Х = (1;+со), у-+О+. хг — уг 378) Дх,У) = г г, Х = (1;+со), У вЂ” а+ос.
1+ .гуг .г г 379) Дх,у) =, Х = (1;А), у -а О+. 1+ гуг 380) Дх,у) =, Х = (1;+со), у-++со. 381) ~(х,у) = г г, Х= (О;+со), у-а О+. г+уг 382) ((х у) = г г Х = (1;А), у — г+оо. х' + у' ' 383) г'(х,у) = ", Х = (1;+оо), у — а О+. хг 1уг' 384) ~(х, у) = 1п(1 — у соах), Х = (О; — ), у -+ О. 385) Дх,у) =1п(1+у 18 х), Х = (О; — ), у — > О. '2 386) Дх,у) = (п 1 — — е4пгх), Х = )О; — 1, у-~+со.
387) Дх,у) = у!п(х + у ), Х = (О;1), а) у+О; б) у-+1. 388) ~(х,у) =,, Х = (1;2), у — >+со. 1п(х+ у) )п(хг + у~) 389) ((х у) = Х = (О' +ос) у + 1 а) у +О+; б) у-а+ос. 120 1'лава 1. Несобственный интеграл 390) Дх,у) =, Х = [1;+оо), у(у+1) ' а) у-+О+; б) у-е+оо. 391) Х(х,у) =, Х = (1;+со), в1п(х + у ) /* л а) у -+ +ос; б) у -+ О+ . а) у — + +со; б) у -Ф 0+ . 393) У(х,у) = — (е "— Ц, Х = (О;+оо), 1 а) у -в О+; б) у -+ 0-; в) у -+ — оо; г) у -в — 1; д) у -+ 1. 394) Г(х, у) = 18 ™ , Х = (О; 1), а) у -+ 1+; б) у -+ 2. 2у' 395) ~(х,у) = (х — 1)18 —, Х = (О;1), у а) у-+2+; б) у-+3.
Лроверить, выполняется или нет равенство !пп ~(х, у) Нх = 1пп 1'(х, у) Йх У-+ив,/ ,/ У +ив для следующей функции Дх, у). 390) Дх, у) = х~~/ха+ у~ [а; Ь] = [О; Ц, уе = О. 397) Дх,у) = — е м, [а;Ь]= [О;Ц, уе = О. 2 398) Дх,у) =, [а;Ь]= [О;Ц, уе — -О. (хг 1 уг)г' в в 399) )'(х,у) = — с в, [а;Ь] = [О; Ц, уе =О. ви 400) Дх,у) =, [а;Ь]= [О;2], уе — +со.
401) ~(х, у) = агс18, [а; Ь] = [ — 1; 3], уе = О. 1+ у' 1 4. Упрахсменил 123 424) Р(у) = / х"Ц'о1Нх, у = (у:у> 0). ,/р Можно или нет вычислить по правилу Лейбница производную функции Р(у) в точке уо = О? 10 — —... О«. 1, у ху х хо+уз' л 2' 1(х,у) = 0<у<1, х=О, 0< у < 1. 1 421) Г(у) = / )'(х, у) Нх, о в хе в, С<х(1, 0<у(1, Цх,у) = О, О(х(1, у=О. 1 х агс1к —, 428) Р(у) = / Ях,у)с(х, Цх,у) = „У о 2' уф О, у=О. Вычислить производную 429) Р(у) = / е* +" е)х О а+у 425) Р(у) = / 1п /хз 4- уз Дх о 1 426) Г(у) = / ~(х,у) Ых, о 431) Р(у) = / /хуув)п ауНх о' 433) Р(у) = / е * о Их. У функции Р(у). у 430) Р(у) = ~(х+ху)' Нх.
о о' 432) 1" (у) = з) е Их. о+о 434) Р(у) Г,1х Глава 1. Иссобсвявенный ивввпеерал 124 сову 435) Р(у) = / соя /туях. 436) Г(у) = / с(х. Г 1п(1+ ух) в1п у 437) Р(у) = / 1(х+ у,х — у) в)х, о )'(х, у) Е С (( — оо;+оо) х ( — оо;+со)). 1/у 438) Р'(у) = ~ ' с(х, у > О. )' 1п(1+ и, ) l 1+у о 439) Р(у) = / с1х / сдп(хз+ сз — у ) в1г.
О в-у у' 440) Р(у) = / ехр( — у(х+ у) ) Нх. у 441) Р(у) = / Дх)ящп(я1пух)с)х, у > О, ~ Е С'([О;1)). о 44в) в(в) =~(~ "' ' в ) в*, в>в. Вычисянть вторую производную функции Р(у). 443) Р(у) = ~ (х+ у)с* Йх. о 444) Р(у) = ~(х+ у)1(х) с(х, о где 1(х) — дифференцируемая на ( — оо;+оо) функция. 1 4. Упражнения 125 445) г'(у) = ~Дх)[х — у[ох, О где Дх) — непрерывная на [а; Ь] функция. 446) Р(у) = / ~(х)(у — х)Нх, е где 1(х) — непрерывная на ( — оо;+со) функция. а а 447) Р(у) = — ~ Н~/ Ду+5+О)49, а > О, 1 е е где у(х) — непрерывная на ( — оо;+оо) функция.
446) Найти Р"„если Р(х,у) = / (х — ух)1(х) ~Ь, /е где ٠— дифференцируемая функция. 449) Проверить, что функция г (у) удовлетворяет уравнению г "(у) = — е(у), у Е [О; 1], 1 где г(у) = К(у,х)е(х)Нх; К(у,х) = \ е и е(х) — непрерывная на [О; Ц функция. 450) Проверить, что функция и~(г) = ~е""~~"'И1е удовле- 1 творяет уравнению иа + — и' — пхп = О.
451) Проверить, что функции у = х" сое(хсоз1е)еше" 1лН1е е и у = / сое(пу — х вш 1е) Н1е удовлетворяют уравнению х~у" 4- е + ху + (х — п~)у = О. 126 /.генг<< /, //«об<опоенный ни<неера.г 452) Пр<нн рить !гоне<<с< и<< /ег'1(х) = (и — 1)1/(х), где /'*(х) = / Г(у)(х — у)' </у. о !!римепяя дифференцирование по параыетру, вычислить следующие интегралы. «/2 453) / !и(аг — в!пг 1о) </<о, !а! > 1. а «/2 454) / !п(1 + (пгг — !) япг х) </х, гп > 1 а гг/2 455) г~ !п(а яп х+ бг совах) </х. о гг гг/2 агс!,8(а 18 х) 456) / !п(1+2асовх+а )</х.
457) / ах. 18х о о «/2 Г 1+авгпх <Гх 458) / 1п .—,, г1а( ( 1. 1 — аяпх вгп х о «/2 Г 1 + а сов х <<х 459) 1 1и — )а) С 1. 1 — асов х сов х' о 460) / е го' сов(а вох) </х, а > О. о «/< «/г Г в(п(а16х) 461) / не<18(<г 1 — 182 х) г/х. 462) / </х. 1.8 х о о гг/2 / огс18(ая<гг) япх о 1 4. Упрахсненпл 127 Л Г 1п (1 + а сов х) сов х о в/2 1и(1+ а сов х) 465) у1 Их, 0<а<1.
сов х а Г!п(1+ овш х) 466) ~ ~Гх, 0<а <1. в1п х о а Г 1п(1 + ох) 467) ~ Нх. ,/ 1 -1- хз о 468) Функцию Г(х) = хз па промежутке [1;3] приближенно зальенить линейной функцией о+ Ьх так, чтобы интеграл з Г(о,Ь) = /(а+Ьх — х~)зНх 1 принимал наименьшее значение. Выяснить, справедливо или нет равенство е ь ь в ~ Иу ~ ~(х, у) дх = / Нх / Г(х, у) Иу е а а о для слсдуюпьих интегралов. 1 1 469) ~ ь(х ( Иу. о о 1 1 ео 1 а.)' (* — — *'),.-ее. а а 1 1 1 1 471) / пх ~ з зобу.
472) / пу( Их. а о о о Глава Г. Несобственный интеграл 1 1 474) 1' ОУ ( 4*. 474) ) 47 ! -„.4,-4*. 44(*у) 7 7 ! ! *'4-7'4! ! .! У У о Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить следующий интеграл. 1 1 Ь а 475) / с!х, а > О, Ь > О. !ох о 1 Ь О 474)14 1)в — ) 4*, >4,4>О. х) !их о 1 ,Ь а 477)1 1! -) О*, >О, 4 О. х) !па о в/2 а+ Ьв!пх с!х 478) / !п, —,, а>Ь>0. а — Ьв!пх в!пх' о 479) ! в", и ЕИ,а) )а! < 1,6) )а!> 1. у (1 — 2асовх+аз)"' о Несобственные интегралы, зависящие от параметра +О> Г с!х 480) Показать, что интеграл ) ! *- 1 а) сходится равномерно на промежутке 1 < оо < о < +со; б) сходится неравномерно на промежутке 1 < о < +сю.
1 ГГ 481) Показать, что интеграл ) — сходится неравномерно на ха о промежутке !О; 1) 1 4. Упралсненил 129 Их 482) Показать, что интеграл ! г" +1 о а) сходится равномерно на промежутке ! < оо < о < +оо; б) сходится неравномерно на промежутке 1 < о < +оо. +оо 483) Показать, что интеграл ое о о(х а а) сходится равномерно на промежутке 0 < а ( о ( 6, аЕ%,6ЕК; б) сходится неравномерно на промежутке 0 < о < 6, 6 Е й. Исследовать равномерную сходимость интеграла на мно- жестве М +Оо 484) Нх, а) М=( — 1;О); б) М= ~ — —;0 ,/ 1+х ' ' ' 1, 2' о х о1х 485) )~ ,„)о ' о а) М = ( — оо; а), а > 0; б) М = [О;+оо). 486) / г г, М = ( — оо;+со).
ьоо аг — хг 487) о(х, а) М = ( — 1;1); б) М =й. (,„г + г)г 1 488) 1 И~, М = [О;!). (х+, )з 1 1 г г г 1 м(-"*) о 130 7'лана Л Пссобствснный интссрпл Г хга — аз 491) Нх, Л4 — (0,1), / (,„г 4 г)г о 1 492) Л'-=ЙР ) а) М = (О; ос), ао < 1; б) ЛХ .= (О; 1). + Ос 493) / Нх, М = (О;+со). (,„г4 .г) / г+ .г з г 494), г г Нх, М = [О;+оо). 1 1. (,„г 1 г.г)г а з Нх 496) /, М = [О;+со). ,у 1 4- (а -~ хг)г о +сю оЫх 497) 14,„г г 1 а) М = [1; 3); б) М = [1;+со); в) М = [О; 3).
1 498) с1х, М = (О;+оо). ( г 4,„г),р о 499), а) М = О,' —; б) М =(О;1). ,У [2х — Ц'"' ' ' ЗУ ' о 1 Г з(ах 500) ~ — Их, ха о а) М = ( — оо; ас), 0 < оп < 2; б) М = ( — оо; 2). 133 5 4. Улражнеиия Г )п(1+ ах) 521) / / агхг+ 4 пх, а а) М = (ае +со), ао > О; б) М = (О; +со).
522) 1 , а) М = [1~2; 2/3]; б) М = (О; 1). е [1пх[а' 1 ~д ' 1 4. огхг 1 524) 1 (Ь', а) М=(ио,'+со), ао>0; б) М=(0;+со). / ~/х о 525) ех, М = [аа',+оо), оо > О. / 1+хг о 526) Ых, а) М=(1;10); б) М=(0;10). ./ 1+ хг о 527) дх, а) М=[ас,+оо), ае>0; б) М=(0;+со). о 528) Их, М = [1;+со). ,/ х+а а 1 529) х е1 и — Нх, а а) М = [ — 2+ е;+оо), е > 0; б) М = (-2;+со). +00 530) 1 Их, а) М=[ва,+со), оо>0' б) М=(0;+со).
г ~/огг4-хг о 135 1 4. Упрохсиемил 542) з~ е4п(ае*) Нх, а) М = (1;+со); б) М = (О; 1). а ах сов ах оох 543) аохв+4 о и) М = (О;-1-оо); б) М = (ае, +сю), аа > О. 544) [ е4п(хе+ ах) Их, М = (О;+сю). в 545) / е о вкпхЙх, М = (ао'+со) ао > О. о 546) / е ~ ( ~ ) в1пхих, М = Й. о 547) / — е йх, М=[О;+ ) о 1 548) / — в1п ~ — ) 2 вх, М = ( — со;1[. в 549) / спеха, М= [в,Ь) в и отрезок [а; Ь] пе содержит точек а = х1. +оо +оо 550) / е ~~1'(х) пх, М =[0;+со), если / Дх) Нх сходится. о о +оо +оо 551) / е ™~(х) пх, М=[0;+со), если ~ 1(х) Нх сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
