И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Указание. Обозначить сов!в = и и сделать замены 2 (1 — о'= Л:Р:). 32Т) — сов !о. Указание. Обозначить сов !о = и и сделать заме- 2 г= "о — *в= ~'Т* — То- ) +ос х'" 1п хе!х 328) О. Указание. В интеграле /! сделать замену 1 1 !+и-+ х = 1 у 329) — — !п2. 330) — — !п2. 2 2 г 331) — — 1и 2. Указание. Сделать замену л — х = у.
2 л 332) —. Указание. Проинтегрировать по частям. ~/2.3 333) — !и 2. Указание. Сделать замену х = яп у. 2 334) — — 1п2. Указание. Сделать замену х = яп у. 335) —, 2 2 336) О. 337) — 2!п2. 338) л!п2. Указание. Сделать замену х = 189. 339) л~/2. 340) О при и нечетном, л при и четном. Указание. Выразить Г в!п(п — 2) сов х этот интеграл через /1, ах.
вьп х о 341) 0 при и нечетном; — — при и четном. 342) — !)Ь! — (а!). Указание. Проинтегрировать по частям и 2 применить результат примера 49 гл. 1 1 3. 343) ~/л()Ь! — )а!). Указание. Проинтегрировать по частям и применить результат примера 51 гл. 1 3 3. 344) л()а) — )Ь!).
Указание. Проинтегрировать по частям. 345) —. Ъ казание. Проинтегрировать по частям. е 2~/2 Опгвегпы к олове 1 163 346) —. Указание. Проинтегрировать по частям. 2~/2 347) — !(2 + ц' — (2и+ц(2и- ц' + ( — ц+" я! 2г".(2!г)! 2 ~ (2и+ Ц 2и + (2и — 3)г" —, п = 2и+ 1, и Е 1Ч; 12 ц +в+г 2г' '(2р)! (2и)г'1п 2и — 2и(2и — 2)г"!п(2и — 2) + 2и(2и — Ц гв + (2 — 4)~" 1п(2 — 4) — ., = 2и, Е И. 12 348)— 2 (2п)!! в-1 п(п — ц 349) ~п" ' — п(п — 2)" '+ (и — 4)" 2в(п Ц! ~ 35Ц 1п —.
352) 1п (1+ -) 1п —. 353) — !п —. 354) 1и —. )7 / Ч'! Ф . Р а р) а' 2 3 а' 1 355) — — !п 2. Указание. Рассмотреть тождество 2 / 11 — — -!= — — (е * — е *)+ хг (~е* — е в 2~ 2х а 356) Ь вЂ” о + а 1п —.
Указание. Использовать равенство Ь' е — е ив + х(а — ф)е и ох = хг о +со е — е -ав -!м г е г -й Нх+(а — ф) / — Их хг х о +СО о Г е — е -й и преобразовать / Их интегрированием по частям. о 357) О. 358) а1па. 359) а!па — а. Указание. Использовать равенство ах сове — е3п ах = ах(сов х — совал) + ахсовах — е4пах. ° /й2 — ЬЧ 360)!пД . 36Ц!п ' . 362) 1п —. 363) аф!и —. 164 1 лава!.
Несобственный интеграл 6 2Ь 2а 364) щЗ!и —. 365) 25!и — + 2а !п —. о а+Ь а+Ь 366) Указание. Полагая Л„= — А1 — Ав — . — Ав ы рассмотреть интегралы А; сов а;х — А; сов о„х а; ах = — А; !и —. х аи о (2п — 1) (! )7 367) и !и —. Указание. Свести интеграл к интегралу Фруллани, заменив в!пли х на 1 2п(2п — 1)... (п + 1) в1п "х — —. 2" 12...п 368) !и —. Р (2п — 1))!'1 ф 369) 1 — ) 1п —. Указание. Свести интеграл к нн(2п)(! ) а тегралу Фруллани, заменив сов "х на 1 2п(2п — 1)... (и + 1) 2 12...п 370) — при ф < а; — при ф = а; 0 при ф > а.
2 '4 371) — при а < ф + у; — при а = !7+ 7; 0 при а > !у + т. 4 ' 8 372) — )7 при ф < а; — а при р" > а. 373) — а1аз... а„.374) — !а — Д. 375) Равномерно. 2 " 2 376) Неравномерно. 377) Неравномерно. 378) Равномерно. 379) Равномерно. 380) Неравномерно. 381) Неравномерно. 382) Равномерно. 383) Равномерно. 384) Равномерно.
385) Неравномерно. 386) Равномерно. 387) а) Равномерно, б) равномерно. 388) Равномерно. 389) а) Равномерно, б) неравномерно. 390) а) Неравномерно, б) равномерно. 391) а) Неравномерно, б) равномерно. 392) а) Неравномерно, б) равномерно. 393) а) Неравномерно, б) неравномерно, в) неравномерно, г) равномерно, д) равномерно. 394) а) Неравномерно, б) равномерно. 165 Онгвепгы к славе 1 395) а) Неравномерно, б) равномерно. 396) Да. 397) Нет. 398) Нет. 399) Нет. 400) Да. 401) Да. 402) Да. 403) 9. 404) —.
405) —. 406) —. 407) 1. 408) У(х) — ~(а). 409) —. 4 3 2 2 2е 410) О. 411) 1п —. 412) О. 413) Непрерывна. 1+с 414) Непрерывна. 415) Непрерывна. 416) Непрерывна. '417) Непрерывна. 418) Непрерывна. 419) Если 1(0) ~ О, то раэрывна в точке у= 0; если ~(0) = О, то непрерывна при ~у~ ( оо. 420) Рззрывна в точке у = О. 421) Непрерывна. 422) Непрерывна. 423) Непрерывна. 424) Непрерывна.
425) Нет. 426) Нет. 427) Нет. 428) Нет. Ь У 429) ~2уе*+" Нх. 430) (уз+у)ге+ / х(х+ху) Нх. а г а 431) -(у(з1п у + ~ ( — — з1пху+ х~/хуусозху с~х. 2 у У 432) 2уе " — е 433) 2уе з — е " — / хге * "Нх. /1 1 434) ~ — + — ) з)пу(у+ 5) — ( — + — ~ з1пу(а+ у). у+ 5) (,у а+уу 435) — соз(~/соз у у) з(п у — соз(~/з)п у у) соз у— сев у — / ~/хз1п(~/ху) с(х. низ 436) — !п(1+ у ). у У 437) 7'(у, — у) + 2 / Д (и, е) Нх, и = х + у, е = х — у. а гую 438) — — + / 1 1и 2 Г 1+ у — (1+ ху) 1п(1+ ху) Нх.
у' 1 + у .) (1 + у)г(1 + у) о 166 Рлава Н Несобственный интелрал 439) 2у ( в(п(в~+у — у )4в+2 ~в~п2взсов2ув(1в— о'-о о у в+у — 2у / ах / сов(хз -~- вз — уз) Дя о -о о' 440) — /((х+ у) + 2У(х+ у)) екр( — у(х+ у) ) ~Хх+ + 2уехр( — ув(1+ у) ) — уехр( — 4ув). 1 1,, 1 Р 441) — Д1) в16п(яп у) — — / ~(х) яхп(яп ху) с1х— у У 1 о 1 Р— — / х~'(х)в)6п(в1пух) Нх, у ф хп, и Е К, У о если Д1) = О, то Р'(у) существует всюду на й.
о' 442) / ехр(у г~) аз+ в — о.~.л +1 (*'1 *ил*'Р)*'~*-';* *р(у'*')-* *Р(-Р'*'))~* о — ул 443) Зе" + 2уе". 444) ЗДУ) + 2ул'(у). 445) Ра(у) = 21'(у), у Е (а; Ь); Ра(у) = О, у Е (а; Ь). Если ~(а) = ЯЬ) = О, то Ра(а) = Ра(Ь) = О; если 1(х) ~ О длл х = а и х = Ь, то существуют односторонние производные Р+(а) = 2Да), РДЬ) = О, Ра(а) = О, Р" (Ь) = 21(Ь). ~(у + 2а) — 2ДУ + о) + 1'(у) 446) ((у). 44Т) аз 448) Ра (х,у) = х(2 — ЗузЩху)+ —.У И+в~у(1 — у~)У'(ху). яв у у/ 453) х!п . 454) в.1п 168 Глава 1. Несобстоенний ннтеерпл 510) а) 1'авномерно, б) равномерно, в) неравномерно. 511) а) Равномерно, б) неравномерно. 512) а) Равномерно, б) неравномерно. 513) а) Равномерно, б) неравномерно.
514) Неравномерно. 515) Равномерно. 516) Равномерно. 517) а) Неравномерно, б) равномерно. 518) Равномерно. 519) а) Равномерно, б) неравномерно. 520) а) Равномерно, б) неравномерно. 521) а) Равномерно, б) неравномерно. 522) а) Равномерно, б) неравномерно. 523) Равномерно. 524) а) Равномерно, б) неравномерно. 525) Равномерно. 526) а) Равномерно, б) неравномерно. 52?) а) Равномерно, б) равномерно.
528) Равномерно. 529) а) Равномерно, б) неравномерно. 530) а) Равномерно, б) неравномерно. 531) а) Равномерно, б) неравномерно. 532) Равномерно. 533) Равномерно. 534) а) Равномерно, б) неравномерно. 535) Неравномерно. 536) а) Равномерно, б) неравномерно. 537) Равномерно.
538) а) Равномерно, б) неравномерно. 539) Равномерно. 540) Равномерно. 541) Равномерно. 542) а) Равномерно, б) неравномерно. 543) а) Неравномерно, б) равномерно. 544) Равномерно. 545) Равномерно. 546) Равномерно. 547) Равномерно. 548) Равномерно. 549) Равномерно. 550) Равномерно. 551) Равномерно. 552) Неравномерно. 553) Равномерно. 554) а) Неравномерно, б)неравномерно. 555) Равномерно. 556) Равномерно. 557) Равномерно. 558) Неравномерно. 559) Равномерно. 560) Равномерно.
561) а) Равномерно, б) неравномерно. 584) Непрерывна. 585) Непрерывна. 586) Непрерывна. 587) Непрерывна. 588) Непрерывна. 589) Непрерывна. 590) Непрерывна. 591) Непрерывна всюду, кроме а = О. 592) Непрерывна всюду, кроме а = О. 593) Непрерывна. 594) Непрерывна. 595) Непрерывна. 596) Непрерывна. 597) Непрерывна. 598) Непрерывна. 599) Непрерывна. 600) Непрерывна. 601) Непрерывна. 602) Непрерывна всюду, кроме а = ~1. 603) Непрерывна.
604) Непрерывна. 605) Непрерывна всюду, кроме а = О. Ответы к славе 1 169 606) Непрерывна всюду, кроме а = О. 607) Непрерывна. + оо +оо сов ох, 7' 2(х + о) сов х 608) Ра = / ««х. 609) Ра = / ( ( Р)г ««х. 1 О о 610) Ра = — хе ~ «йпох«)х. а + +оо Г хв«пах «Г лапах 611) а) Р' = — / «1х;б) Ра = — / — «1х, а ф О, а — / 1+ха / 1+ха а а в нуле Р(о) не имеет производной. Указание.
Предста+ ао +оа в)п ох (' е)п ох вив«м(о) для о ф Оввиде / «1х — / — «1х, х(1+ хг) / х а а найти 1пп Р„и 1пп г'(о). а-+О+ а-«О+оа (1+ хг)г а +«а -аа -ао 1 -ао 613) ~Р = — хе «1х — е = — 2е — — е . Указание. ,«г 1 +оа а Для любого о > 0 имеем е'(о) = г/ е "*«1х+ г/ е а ««х. а 1 Второй способ. Вычислив интеграл, найти явно функцию г" (о) и проднфференцировать ее. +оо г з 614) Ра(о) = — О/хге "' «1х — е . См, указание к задаче 613. +оо Г хсовох в«пог 615) Р'(о) = / ««х — . См. указание к зада- а — / 1+ .з 1+оз че 613.
616) Равенство справедливо. М = й. 617) Равенство справедливо. М = Ж. 618) Равенство несправедливо. М = (-оо;0) 0 (О; +со) плн й '1 (0). Указание. ~~(х,о)««х расходится. а 170 !Згооо !. у!ссобственггый ггнтегрол 1г« ~ 2г ] 620) —, 621) ', 622) — о иг«+г ' 2 (2 )» 2и иг — 1 2(Зиг — 1) 2»(лг — 3) 623) а) (иг 4 1)г' (ггг ! 1)г' ' (иг ! 1)а ' ' (иг ! !)г 24гг(иг 1) 6(ив 5) 4 (лг4 1)в 'е) (лг4 ц4 г 624) а) !и и; б) и !и и — и; в) — !и и — — иг. 2 4 иг 3 г гг 625) а) !и и; б) и 1п и — и; в) — !гг и — — п . 626) — и!8» а. 2 4 4 л)а! 5я 225 3 3 627) .
628) — а(а1 629) †н)а). 630) -ло)о). 4 32 128 8 а л !1л агг 631) -л)о( . 632) —. 633) — при а > )3; — при а < )У. 3 4 2 2 634) 0 при )а) < ф; — в!8»а при )а( = ф), — в!8па при И> Р! 635) — )7 при а > гу + 7; -(а + у! — 7) при ф — 7~ < а (~ !у + 7; — а при ф > 7, а < ф — 7; 0 при )7 < 7, а < 7 — гу. 636) -лУ77 пРи а > )1+7; — (2а)7+ 2а7+ 2)17 — а — )У вЂ” 7 ) 1 л г г г 2 ' 8 при а ( 17+ у. гг Згг л 637) — при а > /7 + у; — при а = уу + 7; — ггри 2 8 4 ф — 7) < а < )7+ 7; — при а = ф — 7(; 0 при а < ф — 7!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
