И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 17
Текст из файла (страница 17)
' 8 638) — при )а) < 1; — »ри )а) = 1, — — при 1 < )а! < 3, 0 при 4 '8 ' 8 )а( > 3. ла ла)а) гг 639) — — при (а) < 2; — а!8» а при !а) > 2. 2 8 '2 640) — (2 — !а!) при )а! < 2, 0 при )а) > 2. 641) —. 642) —. 4 4 4 643) —. 644) г«+г +г г/т 645) 2 г +г' 646) — е 647) (а+ 2угг)аг — 4а!уууг + 2агсг ул ы-..е.' — е 2аг а Олгвелгьг к главе 1 171 648) е Л Указание.
Представить (О; +оо) как ,/л 2.Р, 2а 0; — с! —;+со, в ингеграле по 0; — поло- Р жить х = —. а1 1л л' ф~/к .е.',/л Р" 649) )( — е . 650) — е *. 651) — — (ев ). 1/ а ' 4аз ' ~п <111зп '(з" ' ~/л 652) — (ев ). 653) — е Ь. 654) е 660) — е !~!в!8па. 661) — (1 — е ).
662) — (1+ )а!)е 2 2 4 663) е ° «г»' ~'сов —. 664) — (2е ~ — 1). -е 665) — е 4 (л, (ас — 6 л 2 666) . г' — в!п + — в!8па . Указание. Сделать заме- )) )в( 1 а 4 Ь ну ~/вк + — = 1, а > О. ~/а 667) ~/лв(п (в + — ). 668) ~/лсгж (а'+ — ). 669) !п —. 4 4 г7 гг 1 72+ 3 670) — )3 — л~/а.
671) — !п(1+ и~). 672) — 1и 2 2 2 аз+ гиз' 673) агс18и. 674) агс18 ги()г' — а) . 675) ()3 — а)~/л. 676) !и —. Ф ги +аф а 677) — 1п —. 678) /л(Д3 — ~/а). 679)!п 1 ф (2а)зе (217)зл 680) — !агс18 + агой ~. 681) агой Гг+7 Р 7) аР 7) а а'+ !17 682) — 1п . 683) !п(1+ а). 684) — ф — а). ггз ! )72 172 ! но«а ! IЛ «о6егноснныб инл«е ром г7,! 4Вг 685) — ) Аг!иоь 686) а —,У+(1!и —. 687) !и ~/1+ — ' —, а «=! 2!З а / 4г7о «г 688) !7 агой — — — !и ( 1+ —.-) .
а 4 [, аг)' !7+7 а к7 689) — агой + —. 2 !3+.! 2 1 ! а о1 690) — 1гг+ иге!8 — — 3 агс18 — ~ . 4~ 3!7 3 ао+ 9)7о а ~ 3)7 )г1 691) -)7!п + — ~агс18 — — 3 агс!8 †~ . 8 ао+(7о 4 ~ а а~ Д аг 692) «г(~/1 — ао — 1). 693) — (агстЗп а)г. 694) и!и — —. 2 а4 /1~ о !+ /г!1 695) а) гг !п , б) гг1п 2 696) — !и 1+ — . 697) — !п(1+а!7).
698) — !п(а+гЗ). 699) — о!Зи а(! -1- !а( — ~/11- аг) 700) — 1п (1 +— 2 2 («, а) 701) — [а!7+ (а — )1~) !и(а + (7) — аг 1п а + !7о !и ф 2 702) — (а)7(а+ )7) — (аа+ (7~) !и(а+ )7) + ао !па+ !7о !и !7). 3 а ! !1го+гг -««« — во 705) — (2 — ае — 2е ), 706) — (а~+За+ 3)е 4 16 707) (7агс!8 — — — !п . 708) 2а«!й1! — е ° ). )7 г+ (7г / а 2 ао 709), е « . 710) —,1и(1+ «/2). 2а~/а 2 712) Указание. Рассмотреть +О«а«О +со+со / ~ые"еее0 ' «! «!! / ~е !"+О'+е0со Ие«!! 6>0 о о о о « ! 713) 1. 714) р + —,.
715) еоое+ . 716) -е говор. 2 ' 2 1 1 !г 717) —,у>0. 718) .у>«ы 7!9)...у>Ю. у' ' р-- о' ' ро+(!о' Ответи к славе 1 173 и! 720), р > О. 721) —,. 722), р > О. 723), р> — а. 724) е <~, р> О. 1'~ Ь вЂ” с 725) !и 1+ -), р > — 1. 728) !и р~ а — с 1 — ~/à — Р 2п ~(а — с)е" (Ь вЂ” с)е" 1 ~/1 — Ьа й 1 731) „~ ~ ) ! й. 732) — !и2.
733) О. 734) О. в 735) е. 736) О. 737) О. 738) О. 739) Не существует. 174 1'лига !. Нгсабстаеииый интеграл ~5. Теоретические задачи Интегралы, независящие от параметра 1. Пусть р(в), х = и, и Е И, хб 0[и+ и=1 1 <-, веИ, — 6„; и) и [н; и + 6„) 1 О, х<— 2 Дх) = О < б„ линейка на [и (см. рис. 2). Рис. 2 / Дх) ах абсолютно сходится; При каких условиях на 1и(в) и б„справедливы утверждения: а) функция 1 неограничена на [О;+ос), а интеграл 176 !'!аеа 1. Лссобстесннмб инпмграл ! 7'(х) дх расходится. о 9.
Пусть функция 7' монотонна на (О;1) и интеграл )(х)с)х сходится. Доказать, что ! - -'~!(', ') =~!(*) *. с=! о 10. Пусть функция ~ монотонна на (а;+со). Доказать, что условие: "для любого)!, О < Ь < 1, ряд ~ 7(а+пЬ) сходится 00 «=! и существует предел 1пп 6~~! ((а+ пИ) = А" необходимо и о-+о+ «=1 +«а д остаточно для сходимости интеграла / 7(х) ях и при этом +о« а 1(х) Нх = А. а 11. Пусть м — единственная особая точка функции 7' на (арл) ((и;а)). Доказать, что условие "для любой последовательности (х„): а = хо < х! < хз « .
х„ < м (о = хо > х! > хэ » ... м), 1пп х„= м, ряд ~~' /,) (1) Ж «=1 «1 сходится«необходимо и достаточно для сходимости иптегра- Ю а ла / 1(х) Нх ( / 7(х) дх). ( — 1)"'. х 12. Пусть 7"(х) = я!п —, х Е [яп(п — 1); хп(п + 1)), и и и Е И, (см. рис, 3). +со Показать, что интеграл / у(х) Их расходится, а ряд ««!«+!) о / 1(х) с(х — сходится. ««(«-!) 1 3.
Теоретические задачи Рис. 3 13. Пусть функция у(х) неотрицательна на [ари) и ив единственная особая точка у на (арв). Доказать, что, если найдется хотя бы одна последовательность, удовлетворяющая условиям 1) а = ха < х1 < хз « ° ° хч < хо+1 < ° ( ~ ~~ 2) 1пп х„= ы; ч-+со ОО 3) ряд ~~~ ( у(х) Их сходится, чеп — ! то интеграл /З (х) ах сходится. а 14. Пусть ы — единственная особая точка функции З' на (а; ы) и последователыюсть (х„) удовлетворяет условиям: 1) а = хо < х~ < хз < .
< хч < хат ( ... < ы; 2) 1пп х„= ы; ч-+оо 3) на отрезке (х„1, х„), п Е 1ч, функция / нс меняет знака; 178 1'лаве 1. Несобственный интеграл «О 4) ряд ~~ / «"(х) «1х сходится. и=1 Ю Доказать, что интеграл /,1(х)««х сходится.
Р 15. Пусть «Е Л(а;6). Доказать, что для любого е > 0 существует функция д„удовлетворяющая условиям: 1) д, равна нулю в некоторой окрестности каждой особой точки функции 1" на (а; 6); 2) д, Е С(а; Ь); 3) ~Щ1) — д,(1)) «11 < е для любого х Е (а; Ь). а 16. Пусть 1" б Л(а; Ь) и щ е Л(а; Ь). доказать, что для любого е > 0 существует функция д„удовлетворяющая условиял«: 1) д, равна нулю в некоторой окрестности каждой особой точки функции у на (а;6); 2) д, е С(а; Ь); 3) / /~(х) — д,(х) / Их < е. в 17.
Пусть «' б Л(а;Ь) и Щ Е Л(а;Ь). Доказать, что для любого промежутка (об р), а < а < р < 6, г 1пп «~ Щх + 6) — Дх)) «Ех = 0 а (интегральная непрерывность функции 7). 18. Пусть 1 Е Л(а;+оо) и ~~(х)) Е Л(а;+оо), а > — со. Доказать, что !пп у(х) в1п пх «1х = О. н-+о««/ а 19. Пусть 0 — единственная особая точка положительной функции у на (О; 1), у Е Л(О; 1) и Ф(х) = ~ у(1) М.
Доказатвч о 1 5. Теоретические задачи 179 .Г что — Е Л(0; 1). 4Ф 20. Пусть 0 — единственная особая точка положительной 1 1 функции 1 на (О; 1), Ф(х) = / Я) д1 и интеграл / 1(х) дх ч о ( 1(х) расходится. Доказать, что расходится интеграл / — Ых. l (*) о 21. Привести црнмер двух функций 1' и д, для каждой нз которых 0 — единственная особая точка на (О; 1), таких, 1 что Х(х) > д(х), х Е (О;1], интеграл ~Ях) Их сходится, а 1 о интеграл / д(х) ах расходится. о 22. Привести пример двух функций у н д, для каждой нз которых 0 — единственная особая точка на (О; 1), таких, 1 что ]Дх)] > ]д(х)], х Е (О; 1], интеграл /,1(х) Нх сходится, а 1 о интеграл / д(х) йх расходится. +00 о о1п х 23.
Доказать, что интеграл / , Ых расходится, ,/ ~/х — ейп х яшх ош 81п х хотя — при х -++оо, и интеграл / дх ~ух — ош х ~/х / л е 1 сходится. 24. Пусть 1 Е Я(0;+со) и Ф(х) = / Я) д1. Доказать, что Т Ф(2х) — Ф(х) интеграл / Нх сходится. о 25. Пусть а> 1 и з'ЕЛ(а;+ос), дай(а;+ос), з~ЕЛ(аь рос), д Е Й(а; +оо). Доказать, что сходятся интегралы 1) / ]Уд]дх; 2) / (,)'+д)'«х; 3) / И . 1 "оооо 1. Несобственный интеерол !ИО 20. Пусть неотрицательная функция ( Е Л(0;1).
ДокаГ П ) 1'1'1 зать, что ~ — о1 = о ( — ), х — ~ О+. (,х) 27. Пусть неотрицательная функция Г Е С[о; Ц для любого е, 0 < е < 1, и д(х) = / — оь. Доказать, что, если ~ Х(1) 1 1 1 е А(0; 1), то д б Л(0; 1) и З~д(х) йх = / /(х) Их.
о о 28. Пусть неотрицательная функция 1' Е С(е; 1] для любого е, 0 < е < 1, Г Е Л(0; 1), Р(х) = з~ 1"(1) оь и интеграл 1 о ь Гс(х) — ох сходится. Доказать, что интеграл /,Г(х)) 1пх~ йх о 1 о Г~( ) сходится и равен ~ — дх. о Обозначим через Ло(а; 6) класс функций у, для которых ь интеграл / У(х) ох сходится абсолютно и Що Е А(а; 6). а 29.
Пусть д > 1 и функции у Е Ло(а; Ь) и д Е В -1(о; 6) неотрицательны на (а; 6). Доказать, что Гд Е В(а; 6) и справедливо неравенство Гельдсра: ь ь я.—.1 ~~но и *<(оооо *1'11'ооь ь~*) ' а а О 30. Пусть неотрицательная на (О; 1) функция у принадлежит классу Ло(0; 1), д > 1. Доказать, что 1(1) о1 = о(х ч ), х -+ О+ . а г 5. Теоретические задачи 181 31. Пусть неотрицательная на (а; +со) функция у принадлежит классу Но(а;+со), д > 1. Доказать, что 32. Пусть 0 — единственная особая точка функции у 1 на (О; 1) и интеграл ~ хуг(х) Их сходится.
Доказать, что о 1 ~(Х) й = о(Д(нх~), х-+О+. 33. Пусть ~ Е С[0;+оо), г'(х) = 1 у(й) дг и интегралы +со +со у (х)д / ~г (~)д к д~~~. Д о о +оо + СО гуг + гуг ~е[еь<~(~*'г[еь) .(~Г(еь) +ОЭ 34. Пусть у е С( — оо;+оо) и интеграл Т = / г(х)Ых сходится. Доказать, что +00 =И -0' гх аг дх 35. Пусть у Е С(0;+со) и интегралы У1 — — ~ 1 ~ — + — )— а х х гх аз 1пхдх и 1г = ~,)' ~ — + — ) сходятся. Доказать, что !г = а х х а = У~ !на.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
