И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а е Ответы, решения, указания Ответы, решения, указания О, 1. а) 1пп 1в(п) = со н ~~ д„[<р(п)[ <+ос; в=1 б) !)п1 1в(п) = О н ряд ~ ~а„~р(п) расходится. п — Ьсо »=1 3. Указание. Рассмотреть ~ 7(1) а1, О < х < 1. 4. Например, е/3 2тя(п~ — (2зтх — 2т+1)), хе[2 ™ — 4 т;2 т+4 ™], тсИ, т>1, +сю х6~ ~[2 т — 4 т 2 т+4 ~). т=з 5. Указание. Рассмотреть / 1оД1) Й, если (' не возрастает и э~ 1вЯ) Й, если ~ не Убывает. в/3 6. Решение. Если функция 7' не убывает на (О;1) и ин- 1 1 теграл з~ Дх) Йх сходится, то / У(х)Нх = ~~ ~ 1(х) Их > о л сиз, 1 «-1 а-1 / '1 > — ~~ )' ~ — ) > ~~ ~ у(х)с(х = / 1(х)Нх, откуда слеп и ~=1 в=1 о дует требуемое утверждение.
Для невозрастающей функции доказательство аналогично. 7. Решение. Если функция 1' не убывает на (О; 1) и ес осо- 1 бой точкой является 1, то сходимость интеграла / у(х) Нх л о и огРаниченность послеДовательностн э~ 7(х) ах эквивалент- е 194 1 лава й Несобственный интеграл ОО и, следовательно, в силу критерия Коши ряд ~~ / 1(() 4(( и=1 сходится.
Достаточность. Предположим, что интеграл / ) (() 1(( раса ходится. В силу критерия Коши сходимости интеграла су- ществует такое число ео > О, что для любого В > а най- дется пара чисел 61 и Ьз, В < Ь1 < 62 < м, для которых ь, ! ~!<~)а/ь., «у ь, довательность, со = а, !пп с„= ю. Пусть В1 = с1, найдем и !се ьп) 4 числа 6,, 62, В1 < Ь, < 6, для которых / 1'(() 1(( > ео, (1) (1) (1) (1) ь('1 и положим х1 = Ь,, хз = Ь, хо — — а.
Для Вз = !пах(хз, сз) (1) (1) найдем соответствующие Ьз, 62 и положим хз = 62, х4 = 62 (1) (2) (1) (2) Из построения видно, что а = хо < х1 < хз < хз < х4 < ы и с1 < х1 < хз < ы, сз < хз < х4 < и!. Продолжая этот про- цесс неограниченно, получим последовательность (х„), удо- влетворяющую условиям 1) а = хо < х1 < хз... < х„ < х„41 « ...
м, 2) сн < хзв-1 < хзн < м~ и Е )Ч, Е4 3! ~ Х!!М~ 41 -1 Условие 2) показывает, что 1пп х„= и1, а условие 3)— н-+ее что ряд ~ / у(() ь(( расходится, так как не выполнено нее=1 обходимое условие сходимости. Ю Итак, предположив, что интеграл / 1(х) !2х расходится, а мы построили такую последовательность (х„): а = хо < х1 < 195 Ответы, решения, указания оо < хз ( ... < хп < ш, 11ш х„= ьв, что РЯД ~~ 1(1) вьь Рас»-ово »=1 ходится, что противоречит требованию сходимости такого ряда для любой последовательности (хп): а < хе < а1 « ... < х„«...
ив, 1пп хп ао ив. Полученное противоречие и -в оо показывает, что при выполнении этого требования интеграл ав Дх) евх сходится. а 13. Указание. Если хп 1 < 6! < 61 < хпв, то ьв а' О < / )'(х) <1х ( ~ ~ Дь) й. ь, в и 1 4. Указание. Если хп 1 < 61 < 6з < х, то величиь, на Дх) в4х заключена между наибольшей и наименьшей из пв-1 пв-1 величин ~~в / Я) Й, 11 /,ьа(1) еввв, ~~~ ( У(1) е(1 в=»+1 впвв+1 а, в т ~~; / У(1)иь. в — и а, в 15. Решение.
Не ограничивая общности, можно считать, что единственной особой точкой функции 1 на (а; 6) является точка и. Зададим число е > О. Найдем такое Ь > а, что в 1 вввв <в~ < — в а < в < в. ~ « " 1 в явв вь 4 а найдется такое разбиение Т:(Ь = хо < а1 < хз « .. х -1 < хп = 6) для которого ь Тлаеа Ь Несобстаенный интеерал 196 где о(1, Т) = ~ ~М (х; — х; 1), М; = еир 1(х), х Е [х; и х;],— 1=3 верхняя сумма Дарбу, Положим О, х Е(а;Ь], М;, хб(х; Пх), !<1<в. т Ч Так как у,(х) — у(х) ) О и х б (Ь; б) о< ~ни — л лн .лат~ — ~лен* < *-, *я ле.
Пусть Л вЂ” - диаметр разбиения Т и М = зир])'(х)], х б [Ь; Ь]. 1Л е ) Если б = ппп ~ —, — ~, то отрезки [х; — б; х;+б], [х, — б; ху+б], О < 1 < и, О < д < и, 1 ф д, пе пересекаются. Пусть н-1 де(х) = р, (х), х б [ ) [х; — б; х; + б] 0 [Ь; Ь+ б], в=1 линейка на [Ь;Ь+б] и [х; — б;х;+б], 1<1<а — 1. Функция д, отлична от функции ~р, только на и отрезках [Ь; Ь + б], [х; — б; х; + б], 1 < 1 < и — 1, причем ]д,(х) — р,(х)] < 2М, х б [Ь; б], е *е5:н.
/~ал) — ущ|н/= 1 лен (-. е 4 а а х б [Ь; Ь], то х л х (ле — не>) а = 1 ел н + ~(не — и Р) ) е = а л следовательно, / [д,(1) — 1а,(1)]а1 < и 2б 2М < — для всех х б [Ь; Ь]. Покажем, что функция д, удовлетворяет всем требованиям задачи. Условия а) и б) выполнены в силу определения д,. 197 Оялветы, решения, указания л я = / У(1)11+ /(Ф) — р (1)) 1+ /(р.(1) — у.(1))(х Ь л л Применяя полученные выше оценки, получаем, что ! 1ив) —,лев!<';+-,'+-', =.. а Итак, условие в) выполнено. 10. Указание.
Если а — единственная особая точка ~ на (а; 6), то для любого е > 0 найдется такое Ь > а, что в Щ1)[е(1 < — для всех и, а < н ( Ь. Далее доказательство 4 а дословно повторяет решение задачи 15. 17. Решение. Не ограничивая общносты, можно считать, что единственной особой точкой функции ~ на (а;6) является точка а. Возьмем число е > О.
Используя результат задачи 16, найдем непрерывную на (а;6) функцию у, равную нулю в некоторой окрестности точки а, для которой ь [у(х) — у(х) [Их < —, Если с = 1пЦх, х Е (а; 6), у(х) 6 О), 4 то — оо < с и а < с. Так как а ( о < Д < 6,то найдется такое и > О, что а < с — и и а < о — и < 17 + и < 6. Так как функция у непрерывна на [с — и;6),то найдется такое е Л > 0 что [д(х1) — у(хз)[ < 1 2(6 — с+ 0) для любой пары хы хз, (0 хы хз Е [с — и, 6], [х, — хз[ < Л. Положим 6 = пнп [ —; Л~, гогда для любого Ь, [Ь[ < 6, имеем р я 0 ( / [~(х + Ь) — ~(х)[ Ых ( / Щх) — у(х)[ йх + д д +~% +Ь) — у( +Ь)[1 +~[у( +Ь)-у(х)Мх< в а Тливо й Несобственный интеерал 198 < 2 / Щх) — д(х) ( с1х + ~ )д(х + Л) — д(х) ! !1х < а-а < — +(Ь вЂ” с) <е, 2(Ь вЂ” с+ и) р откуда следует, что 1пп ~~(х + Ь) — 7(х)~ !!х = О.
ь-ае 1 а +аа 18. Указание. Сделать в интеграле / Дх) еьп нх бх заа мену х = 1 — — и воспользоваться свойством интегральной непрерывности (см.задачу 17). 19. Решение. Возьмем число е > О и найдем такое Ь > О, о 4ез что О < / Дх) Их = Ф(ь1) < — для любого и, О < 9 < 6. 25 о Пусть О < Ь! < Ьз < Ь. Так как У Е Я(Ьь, 'Ьз), то найдется та- кое разбиение Т: (Ь! = хо < хь < хг « х»-1 < ха = Ьз) что О < НЦ, Т) — / У( ) 1х < Ф(Ь,) 4 ь, гдето(Т,Т) = ~~! М;(х! — х; ь), М! — — впр,)(х), х Е (х, !,х;),— аьп верхняя сумма Дарбу функции ~.
Положим Мы х Е [Ьь,хь), д( )еа Ме, х Е (х; !, .х;], 2 < !' < и, ь, е тогда / д(х) !ьх = Я(у, Т). Так как д(х) > у(х), х Е (Ь,; Ьз), то ь! отсюда получаем, что О < ~ (д(1) — У(1)) ь(1 < ~ д(1) й! — У У(1) й1 <— ь, 6! ь, 199 Ответы, ретениц указания для всех х Е [61,Ьг]. Так как функция у на [61,6г] имеет только конечное число точек разрыва, то функция а( )=Ф(Ь,)-/у(1)а ь, является первообраэной для у на [61, .6г]. В силу монотонности функции Ф отсюда получаем, что 0<О( )-Ф(.) = ~(у(1)-П1))1 < — <— Г Ф(6,) Ф( ) х Е [61, 'Ьг], 5 и, следовательно, 0 < С(х) < -Ф(х), х б [Ьг,Ьг]. Из всех полученных соотношений имеем, что 1 ,/Ф(.) ~ /д( ) - ~ / (-) 5 = Я( /д(Ьг) — 1/С(61)) < -1/Ф(Ьг) < е. 2 Отсюда в силу критерия Коши следует сходимость интеграла У(х),.
,/Ф( ) и). 20. Указание. Рассмотреть поведение интеграла г при фиксированном,У, 0 < а < 13 < 1, и о -+ О+. 1 1 21. Например, 7(х) = —, х Е (О; 1], у(х) = — —, х Е (О;1]. / 1 11 22. Например, Дх) = ( — 1)" (и+ 1), х Е [ —; — ~, и Е И, ~+ '4 у( )=- х 23. Указание. в1пх вшх 1 сов2х вш х + + ~/х — вш х ~/х х 2х х(,/х — в1п х) Глава /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
