И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Все точки непрерывности функции, очевидно, являются ее регулярными точками. Определение. Функция,1, определенная на отрезке [а; 6], называется кусочно гладкой (или кусочно дифференцируе- мой) на [а;Ь], если 1. множество М точек разрыва функции У на [а; Ь] конечно и каждая точка хо Е М есть точка разрыва первого рода функции У; 2. функция У дифференцируема во всех точках [а; 6] '1 М~, где М' — конечное множество (очевидно, М Э М); 3, для каждой точки хо б М~ существуют пределы 1пп У(хо + Ь) — У(хо + О) .
У(ао — О)-У(хо — Ь) 1пп (3) Л-+О+ Ь Л-+О+ Ь (если хо б М 1 М, то существование этих пределов есть существование односторонних производных У+(хо) и У' (хо)). Теорема (признак Дини поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье). Пусть хо б (-1; 1) —, 3 регулярная точка функции У б В [ — 1 7]. Если для некоторого О > 0 сходится интеграл б ди [У(хо + и) + У(хо — и) — 2У(хо)] —, о 228 Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье то ряд Фурье ат(!) (по системе (1о,. )) функции ! сходится в Р) точке яо к У(ео). Иэ этан теоремы вытекают следующие утверждения.
1. Принцип локализации Римана. Если функция !' Е Е Йз[ — 1,1] равна нулю в некоторой окрестности точки яо Е Е ( — 1;1), то щ(!") сходится в точке ео к нулю. Отсюда следует, что для двух функций ! Е Й~[ — 1,1] и д Е Й [ — 1,1], совпадающих в некоторой окрестности точ- 3 ки ео Е ( — 1;1), ряды щ(!) н ат(д) в точке яо одновременно сходятся илн расходятся. Принцип локализации часто выражают в такой форме: сходнмость тригонометрического ряда Фурье функции ! Е Е Йз[ — 1;1] в точке яо Е ( — 1;1) зависит от поведения !только в окрестности этой точки.
2. Если функция 1 непрерывна на [ — 1;1] и в каждой точке интервала ( — 1;1) имеет односторонние производные ! и ~+, то а~Ц) сходится к !(я) для всех е Е ( — 1;1). 3. Если функция ! кусочно гладкая на ( — 1; 1), то для любой регулярной точки ео Е ( — 1;1) этой функции ряд а)(~) сходится к !(ео). В силу периодичности тригонометрических функций ряд Фурье ат(!), представляющий функцию у(е) на [ — 1;1], представляет в каждом отрезке [а; Ь] Э [ — 1; 1] функцию /*(е), получеяную 21-периодическим продолжением функции 1(я) с интервала (-1;1) на всю числовую прямую за исключением точек 1(2ти+ 1), ти Е К.
Значения у*(1(2ти + 1)), ти Е К, выбираются произвольно. Если определены значения !(! — 0) и 1( — 1 + 0) (см. (2)), то обычно полагают 1*(!(2ит+ 1)) = -(Я вЂ” 0) + К(1+ 0)), ти Е К. 1 2 Тогда при выполнении условия признака Дини для функции у*(е) в точке е = 1, в частности, если функция !'(е) удовлетворяет условию (3) в точке я = 1, ряд ат(!') сходится в точках я = 1(2ти + 1) к !'(1(2ти + 1)), ти Е К. Для определенности все формулы н утверждения были записаны для системы (утт ) на отрезке [ — 1; 1].
Заменяя всюду (О промежуток ( — 1;1) на промежуток (О; 21), получим соответ- $1. Ряды Фурье 229 ствующие формулы н утверждения для системы фр~ ) ) на отр) резке [О; 2ь]. Итак, для достаточно широкого класса функций задача представления функции тригонометрическим рядом по си- О) стеме (~р; ) решается с помощью ряда Фурье по этой системе. Для сравнения рассмотрим представяение функции степенным ридом Тейлора.
Для определения коэффициентов ряда Тейлора функции ~ в окрестности точки ке необходима бесконечная дифференцируемость у в этой точке. Если полученный ряд Тейлора сходится в некоторой точке, отличной от хе, то, как степенной ряд, ряд Тейлора сходится на целом интервале. Однако сумма этого ряда может и не совпадать с порождающей функцией ~. Разложение в ряд Тейлора пли представление степенным рядом имеет место только для аналитических в некотором интервале функций, а этот класс уже класса функций, бесконечно дифференцируемых на этом интервале. Таким образом, величина коэффициентов рада Тейлора есть локальное, а сходимость этого ряда к порождающей его функции есть глобальное свойство функции. В отличие от степенных рядов принцип локализации Римана показывает, что сходимость тригонометрического ряда Фурье к порождающей его функции есть локальное свойство; в то время как величина коэффициентов Фурье — глобальное свойство.
Поэтому, с одной стороны, исследовать сходимость тригонометрического ряда Фурье приходится в полном смысле "поточечно", — в каждой точке независимо от других; а, с другой стороны, представление функции тригонометрическим рядом Фурье возможно для гораздо более широкого класса функций, нежели аналитические. В частности, одним из примеров непрерывной нигде не дифференцируемой функции является именно фушсция, представимая равномерно сходящимся к ней тригонометрическим рядом Фурье.' Если представление функции тригонометрическим рядом О) является частью решения другой задачи, то система (~р; ) и соответствующий отрезок определяются условиями этой задачи.
Поскольку здесь разложение в тригонометрический ряд рассматривается как самостоятельная задача, то необ- 1 1. Ряды Фурье 231 1 — (х - ) х~ -~((зх-Ц. дх = з з ггп ~ 1 -1 1 1 2 — (Зх — 1) зш ггпх — 6 х зш лпх дх ,гпз ~ -1 -1 6 )1 1 — (х ссж з пх ~ — соз ггпх дх „зпз ~ 1 -1 12 — ( — 1)". , зпз Так как функция у(х) = х + х — х — 1 дифференцируема на ( — 1; 1), то равенство 2 4 ч /(-1)" 3 (-1)" х +х -х — 1= --+ — ~ — сових+ вгппх „2 л'..г '1 пз пз а=г имеет место для всех х Е (-1; 1).
Так как у( — 1) = 1(1) = О, то 2-периодическое продолжение функции г'(х) на всю числовую прямую дает непрерывную на всей числовой прямой функцию,1'(х). Легко проверить, что ,1+(2й + 1) = О, ~' (2й + 1) = 4 (см. рис. 5). Следовательно, в силу признака Дини равенство 2 4 ч г'( — 1)" 3.( — 1)" 1'(х) = — — + — яз — соз их+ гйв па 3 лз ~, пз пз„ «=! имеет место на всей числовой прямой. Пример 4. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции г"(х) = е", а ф О, на отрезке (О; 1).
Формулировка показывает, что ряд Фурье образуется по системе (гр; (х)); (1, з)в2лх, соз2лх, зш4ггх, соз4лх,..., зш 2пггх, сгж 2пггх,...). Таким образом, 2 па=2/еа Их= — (е — 1); а а Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье 232 Рис. 5 а„= 2 / еь сов 2впхде = о з 40 2еье 1 ! 2а(е' — 1) з 3 3 "(асое2япх+ 2ипв1п2хпх)/ ~ = 2 2 2 аз + 4кзпз )~о аз+4изпз' 6„= 2 / евве1п2ипхдх = о 2ев (а в1п 2ггпх + 2хп сое 2ггпх) ~, аз + 4еапз 4кп аз + 4хзпз( Так как г)гункция,г(х) = е~ дифференцируема на (О;1), то равенство еь — 1 Еье — + а 4яп +2( — Ц1 - 2 *- ' 2 ) 1,аз+4хзпз аз+4хзпз Н5Н 233 $1. Рады Фурье вмеет место для всели б (О;1). 1-периодическое продолжение функции Х(х) = е дает функцию у'(х), разрывную в точках х = й, й Е Е (см. рис.
6). Так как у (1 — О) = 1пп еь = е', е-+1- 1(0+0) = 1пп е = 1, е-+О+ Раа. е е'+ 1 то положим 1' (й) = —, й Е К. Так как уь(й+ Л) — у*(й+ 0), е"ь — 1 ь-+о+ Л ь-+о+ Л уь(й 4 Л) у (й4 0) еа(1+л) еа 1пп Л )пп Л = ае то в каждой точке х = й, й Е х;, условие признака Дини выполнено. Следовательно, е+1 е — 1 У'(й) = — = + 2 а У 2а(е" — 1) 4з п(1 — е') (~ аз+ 4х2в2 аз+ 4хзвз а а1 + 422пз' а=1 Глава 11.
Рвом Фурье. Преобразование Фурье Пример 5. Нанти разл ж ние в тригонометрическии ряд Фурье Функции У(х) = в1п2х+ совбх на отрезке а) [ — гг;я]; б) [ — х/'2;х/'2]. Отрезку [ — я; х] соответствует система (грг(х) ) = (1, вгп х, сов х, вш 2х, сов 2х,..., вш их, сов ах, Поскольку даннав функция является многочленом относительно этой системы, то, следовательно, этот многочлен и представляет собой соответствующий ряд Фурье, т. е. о(/) = еш2х+сое5х.
(й) Отрезку ~ — —; — ] соответствует система (грг * (х)) = (1, ьйп 2х, сов 2х, еш 4х, сов 4х,..., вгп 2пх, сов 2пх,...). Относительно этой системы данная функция уже не является мпогочленом, так как функция сов 5х не входит в систему. Вычислим коэффициенты Фурье /(х) по системе (р; ) стаидартным способом: «/3 2 а„= — 11 (ьйп2х+сов5х)сое2пхдх = .'/3 ь/3 1 à — [сов(5+ 2п)х+ сов(2п — 5)х] г/х = -е/2 1 [еш(5+2п)х мп(2п — 5)][ / + х [ 5+2п 2п — 5 ]~ /з 20 „1 = — (-Ц". х 4пз — 25' г/3 2 Г 6„= — ]( (в1п2х+ сое5х)вт 2пхг/х = О, и ~ 1. -е/3 а/3 2 Г 6г = — 11 (ешз2х+вш2х сов5х)Их =1. 5 1.
Р ам Фрр 235 Функция 1(х) = вш 2х+ сов 5х дифференцируема на (- —; — ~ . 2'2/' Так как 1 Ы = У Ь вЂ” 1 = О, то ее х-периодическое продолжение дает функцию у*(х), непрерывную на всей числовой прямой. Легко проверить, что (~*(х))+~ „= 3, Ц'(х))' ~ „= — 7 (см. рис. 7). Следовательно, применяя признак Дини, получа- ем, что равенство 2, 20 (-1)" ~*(х) = — — +еш2х+ — ~ соз2вх 5х х, 4вз — 25 справедливо для всех значений х. Обратим внимание на то, что функция у (х) равна вш 2х+ сов 5х на отрезках [-+ 2хш; Зх и х — + 2яш~, ш Е Е, а на интервалах ~ — — + 2хш; — + 2~ив), т Е Е, равна мп(2(х — и) ) + сое(5(х — х)) = зш 2з: — соз 5х.
236 Глааа Л. Рлдм Фурье. Преобразование Фурье Если рассматривается отрезок [ — 1; 1], симметричный относительно начала коордннат, то длл четной функции Г' е б В [ — 1,Г) имеем Ь» =О, и Е1Ц; (4) 2 Г опх а„= — / Г (х) соо — гГх, п = О, 1, 2,..., о а для нечетной функции у Е Л [ — 1, 1) а„=О, п= 0,1,2,. 2 Г . ггпх о» вЂ” / Г(х) огп ггх и Е Й- "-1./ о Пример 6. Найти разложение в тригонометрнческнй ряд Фурье функции Г(х) = х соо х на отрезке [ — х/2; х/2).
Отрезку [ — — ' — Г соответствует система (гр. (х)) = (1, гг х1 1«/г) 2' 21 г вгп2х,соо2х,вгп4х,соо4х,...,аи2пх,соя 2пх,...). В силу нечетностн функции Г получаем, что а„= О, и = 0,1,2,..., н «Гг 4 о„= — ~ хсоохогп2пхгЬ = о «/г 2 à — х(вгн(2п+ 1)х+огп(2п — 1)х) ггх = о 2 соо(2п — 1)х соо(2п+ 1)х «Гг «Гг 1 Г 1 + / сов(2п+1)хг1х+ ~ сов(2п — 1)хг1х 2п+1 / о о 1)» 1 16.( Ц»-гп х (2п+ 1)г (2п — 1)г х(4пг — 1) 1 1. Рады Фурье 237 Периодическое с периодом х продолжение функции Дх) = = х сов х с [ — —; — 1 дает функцию /", непрерывно дифферен- 2' 23 цируемую на всей числовой прямой (проверьте!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
