И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 27
Текст из файла (страница 27)
вгп Лх(1 — сов х) г(х = а Определение. Пусть функция /(х) определена на ( — оо;+со) н интегрируема на любом отрезке ( — 1;1], 1 > О т Если существует )пп г /(х) Их = А, то он называется гла,/ Глава П, Ряды Фурье. Преобразование. Фурье +00 вным значением интеграла / Д(х) Нх. В этом случае пишут; «.р. / У(х)дх= 1пп ~~(х)дх. Т-е+ / ю'(х) = и'(х) + ьо'(х). Аналогично определяются интегралы: Римана, несобствен- ный и интеграл в смысле главного значения, например, ь ь ь ю(х) дх = ~ и(х) дх+ г ~ о(х) ах.
Функция называется абсолютно интегрируемой, если абсо- лютно интегрируемы каждая из функций и(х) и е(х). Спра- ведливо неравенство ь ( ~ !нс(х)/ дх. в ~ ю(х) дх Заметим, что из существования несобственного интеграла +сю +сю Дх) дх следует, что существует ч.р. ~ Дх) Их и нх значения совпадают. Однако, обратное утверждение не имеет места, например, +сю +сю у (1 — совх) интегралы х ах, / дх не существуют как мех собственные, но в смысле главного значения существуют и равны нулю. В дальнейшем будем рассматривать комплекснозначные функции вещественного аргумента: ю(х) = и(х)+ье(х). Предел и непрерывность таких функций определяется обычным образом. Производная такой функции ю'(х) определяется формулой 1 3. Илтеерал Фурье и лреабразоаалае Фурье 265 Теорема (формула Фурье для интеграла Фурье в комплексной форме).
Пусть функция 7(х) абсолютно интегрируема на ( — оо;+со), 7 Е С( — оо,+ос) и для любого х Е ( — оо;+ос) выполнены условия Дини. Тогда интеграл Фурье для функции 7"(х) сходится к функции )'(х) всюду и имеет место формула Фурье в комплексной форме: +СО +00 и*)= — ( Р.1 (1 х)~)* '"' «4)««), ),)« .
д7) Заметим, что если кроме перечисленных выше условий на Д(х) функции Я) соя Л(1 — х) с71 и 7(1) гйп Л(1 — х) )11, )х( < оо, абсолютно интегрируемы на ( — сю; +со), то внешний интеграл в (17) понимается в обычном смысле. Преобразование сырье. Пусть функция Ях) абсолютно интегрирусма на ( — оо;+оо) и 7(х) непрерывна на ( — оо;+оо).
Тогда, если для любого х Е ( — сю;+оо) выполнены условия Дини, то существует несобственный интеграл г(Л) = — ~ у(1)е ох сй 1 ~/2к иl и в силу формулы Фурье из теоремы Фурье имеем равенство 1 с г)= — .Р.1 Р)«) '"««) ~/2я я~ для любого х Е ( — оо;+со), где несобственный интеграл по- нимается в смьнле главного значения. Рлаеа Н. Ряды Фурьс. Преобразила>сие Фурье 266 Определение. Пусть у(х) абсолютно ннтегрнрусма на ( — оо;+со), тогда функция )(> ) е-'л> >1> 1 хг2~г,l г'[1) = — / у(х)е ' ссх = — / е ' ~Их = ~/2~г >' ~/2>г а е 1 е — е -с>са >ла Д, ->Л .
Я 1 е1п Ла /2 е>п Ла Л Уя' Л Если Л=О,то г'[Д = — /,>"(х) с>х = — 2а = а ~ à —. ~/2я,l ~/2к >г Итак, 2 я>п Ла я' Л >2 Р[Л= Как известно, эта функция не является абсолютно интегрируемой на ( — со; +со). Выше было отмечено, что если Дх) абсо- называется преобразованием Фурье функции Дз) н обозначается Р[Д или Р(Л). Отметим, что хотя преобразование Фурье определено длн абсолютно интегрируемой функции, но ее преобразование Фурье совсем не обязательно будет абсолютно интегрируемой функцией. Пример 3.
Найти преобразование Фурье функции ( 1, [х[(а, ) О, [х[> а. Решение. Пусть Л уе О, тогда ~ 3. Интлеерал Фурье и преобразование Фурье 267 лютно интегрируема на ( — оо;+со), непрерывна на ( — оо;+ос) и для нее выполнены условия Дини в любой точке з Е Е ( — оо;+со), то из формулы Фурье получается формула об- ращения для преобразования Фурье: -'( пп= = ( .р.~ гр> '"'о), ~/2к к( Надо отчетливо понимать разницу между "формулами" ГУ] = — 1~ У(1).-ы' а, !Л~ < 1 л=l и -Ььь 1 ( 1(х) = — в.р.
г'(Л)еы~ЫЛ, (х! < оо. ~/2л. ~ Эти "формулы" различны по существу (а не знаком минус в показателе ехре). Первая из них является не формулой, а определением, в котором несобственный интеграл существу- ет в обычном смысле для 1(х) Е Й'( — со, +со), вторая — — явля- ется формулой, которая доказывается при некоторых допол- нительных условиях на у(з) (например, з(х) Е С( — со,+со) н удовлетворяет условию Дини) и в ней несобственный инте- грал понимается в смысле главного значения.
Преобразование Фурье определено для функций, задан- ных на всей прямой. Иногда в физических задачах исполь- зуют преобразование Фурье функций, заданных на (О;+со). Заметим, что если у(з) Е А~( — со, +со), ~(з) Е С( — оо, +оо) н З (х) удовлетворяет условию Дини для всех я Е ( — оо;+со), то в случае четной функции у(х) имеет место формула Фурье +сю + СО 2 з (з) = — / сов Лз бЛ / у(ь) сов Л1а1, /з! < оо, е в а в случае нечетной функции З (х) имеет место формула +00 +ьь 2 Г З(в) = — / в1п Лил / З"(М)вюпЛ1й, /х/ < оо.
в в 208 Глава П. Рлдьс Фурьг. Преобривооониг Фурье Поэтому, если непрерывназ на [О;+~ю) функция Цх) Е В [О, +оо), то ее можно непрерывно продолжить чс тным образом на ( — оо; 0) по закову )( — х) = у(х), а ггли ((О) = О, то н нечетным образом на ( — оо; 0) по закону ) ( — г) = — Цх). Тогда прп выполнении еще и условий Дини имеем для одной и той же функции формулу +СО ч-со Цх) = — / совЛхИЛ / Ц1)совЛ1с11, х б [О,+ос), (18) 2 или 2 1' Цх) = — / з)пЛхс(Л ~ ~(М)з1нЛСЙ, хЕ [О;+оо). (10) л о о Определение. Пусть )'(х) Е сс'[О, +оо).
Функция +со 2 1' — / У(М) соз ЛС с11 о называется косинус-преобразованием Фурье функции Цх) и обозначается Р,[Я либо Р,(Л). Определение. Пусть с'(х) Е го~[0, +со). Функция +оь 2 с — / Щв1пЛ1 М о называется синус-преобразованием Фурье функции )'(х) и обозначается Р,[у] либо Р,(Л). Немедленно из этих определений и теоремы Фурье получаем формулы обращения для косинуг-преобразования и синус-преобразования Фуры. Теорема.
Пусть Цх) Е Й~[0, +со), Цв) Е С[0,+со) и для любой точки х Е [О;+сю) выполнены условия Дини. Тогда имеет место формула обращения для косинус-преобразования Фурье: ~(х) = Д вЂ” / Р,(Л)созЛхссс, х Е [О;+оо), Г2 о ~ 3. Ингаеерал Фурье и преобразование Фурье 269 и если ДО) = О, то имеет место и формула обращения для синус-преобразования Фурье: +СО ((х) = ~/ — / Г,(Л)в(пЛхй, х Е [О;+со).
)2 Р о Отметим, что если ДО) ф О, то формула обращения для синус-преобразования Фурье имеет место длв х б (О;+со). Сформулированные результаты используются для нахождения значений определенных интегралов, Пример 4. Найти косинус- и синус-преобрвзование Фурье функции )'(х) = е Р*, Р > О, х > О. Решение. Согласно определению косинус-преобразования Фурье для функции Дх) = е а~ имеем; Г2 ро[Я = в — е р' сов Л1 Й = )/— уя/ Ч )У'+ Л' о Согласно определению синус-преобразования Фурье для фун- кции дх) = е р* имеем Р,[Л = ~(' — ~ е в1пЛв~й = ~)' —. Ч ~Уз+ Л' о Из полученных результатов следует, что Таким образом, получаем значения следующих интегралов Лапласа: е рв=)/ — / ~/— совЛхИЛ = - 1= l 1.)»+ ° о е Р = ~/ — / ~/ — в(вЛхдЛ = я яД+Л о 2)У (' сов Лх / из+ Л ~Л' о х>0, 2 /' Лв)пЛх / р+Лз~~' о х > О. 271 1 3.
Интеерал Фурье и преобразование Фурьг =л[ — — — е + ОО 2 1 (',в1п»х б». лх/ » о в1п ох о Поскольку / е ь* г(х = агс18 —, о > О (см. пример 48 х Х о гл. 1 1 3), то Р.[1л(е 'И = — 2 ~, х > О. Применяя теорему обращения, находим значение интеграла +ОО агс18» сов»х~(» = — — Ь|(е ~), х > О. » 2 о Аналогичным образом, использовав синус-преобразование Фурье, найдем значение интеграла +со 1п(1+» ) вгп»хИ» = — в.Ь1(е ~), х > О. о Пример 6.
Найти косинус-преобразование Фурье функ- 1 1 ции у = 1и 1+ — 1. Решение. Рассмотрим косинус-преобразование Фурье 1 — е функции У(х) =, 11 > О. Имеем Р,(Л, ~У) — ~( / сов Лх бх. о Для вычисления этого интеграла применим дифференциро- вание по )з' под знаком интеграла: о 272 Глава П. Рлдьг Фурьг.
Преобразование Фурье откуда Р,(Л,)1) — 1п()У +Л )+С,,В Ф О. 12 1 Так как Р,(Л,р) непрерывна в точке р > О и при 17 = О Г2 1 Р,(Л, О) = О, то С = — ) г —.— 1п Л . Итак, Чя 2 Отсюда при 13 = 1 находим Рь(Л„1) = — 1п ~1 + — з) . 1 / Используя теорему обращения косинус-преобразованил Фу- рье при Л > О ево 12 ,) (х) = )/ — / Р,(Л) сов Лх г1Л, о находим, что косинус-преобразование Фурье функции у = 1 — е !п 1+ — ) равно ~/2~гХ(Л,1), т. е. равно хУ2л. хз) Для обоснования законности применения теоремы обращения косинус-преобразования Фурье и теоремы дифференцирования по параметру заметим, что функция 1 — е у(х) = — р, х=О, абсолютно интегРиРУема на [Оь Роо), непРеРывна и имеет не+00 прерывную производную и интеграл / е ~ совЛхде схоо дится равномерно на множестве р' > е > О. Следовательно, дифференцирование по параметру законно для любого )7 > О.
1 3. Интеерал Фурье и преобразооокие Фурье 273 Определение. Пусть уг(х) определена на ( — оо;+ос). Обратным преобразованием Фурье функции р(х) называется функция — р ) юР)"'*о). /2яя~' ' если главное значение несобственного интеграла существует. Обратное преобразование Фурье функции со(х) обозначается Г '[~о].
Заметим, что если у(х) абсолютно интегрируема на ( — оо;+со), то обратное преобразование Фурье существует и +ОО Р [р] = — / р(Л)е' еЛ 1 Г .2- / (несобственный интеграл существует в обычном смысле). Теорема обращения (для преобразования срурье и для обратного преобразования с3гурье). Пусть г(х) Е ЕВ~( — оо, +оо), Г(х) Е С( — оо, +со) и для любого хб ( — оо;+со) выполнены условия Дини. Тогда имеют место равенства ~- ял]= И[у- [П=у Справедливы следующие свойства преобразования Фурье: 1. Р[аьГг + аггг] = агР[Л] + огР'[Я вЂ” линейность преобразования Фурье. 2.
Пусть Ср — множество непрерывных на ( — оо;+со) функций, абсолютно интегрируемых на ( — со;+со) и удовлетворяющих условию Дини в любой точке х Е ( — сю;+ос); тогда Р[Я = Р[Я сгег Гг =,Гг,,Гс Е Ср, г = 1, 2. 3. Пусть Г(х) Е гг~( — оо, +ос), тогда 1) Р'(Л) Е С( — со, +со); 2) !пп [Р(Л)[=0; /Л/-+со 3) ]Г(Л)[< — ~ [,Г(1)[б1. 1'лава П. 1'лды Фурье 1!реобразование Фурье 4. Пусть |'(х) Е В'( — оо,+ос), 1 (х) Е В'( — оо,+со), тогда В[7'] = 1ЛР[Д. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
