И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 30
Текст из файла (страница 30)
я. 2 ~-~ х(4пз — Ц т 1 1, 2 20) — + — — — в)п х — — сов х + 4 я. 2 т ,—. ! г'(-Ц"-1 (-Ц"+'-1'1 (-Ц"+' я!и ггп „(ог ц ) и 5 я 3( — Ц« — 1 я 4 в1п(2п — Цх 12 ггпг «=1 ««г 5 . 5 . 1 22) — е4п х — — е4п Зх + — в) и 5х. 8 16 16 3 1 1 23) — + — соя 2х + — соя 4х.
8 2 8 Ответы к главе 71 зоз 4 24) ~г сов(2п + 1)х. гг(2П+ 1)в 4( — 1)« 25) 1 вгп(2П+ 1)х. (2П+ 1)в вЬ«. 2вЬк ( — 1)« 26) — + — ~ сов пх. к к 1+«~ ««1 2вЬгг „, и 27) 1 ( — 1)«вгп пх. «=1 ( 1)«-гп вгп х 28) — ~~1 вш2пх, д(х) = к 4пв — 1 ' ~ О «=1 2 4 ( — 1)" сов 2пх 29) — — — ~г ~, д(х) = сов х, ~х 4пг «=1 зо) -~ 8 «пвгп2пх гг 4пв — 1 ' «=1 4 к 1 . (2П+ 1)ггх б1П 31) 2 зп с 1 2 к 1, (2п+1)ггх 32) — + — ~ В1П =а 2п+ 1 с О, — с<в<0, 1, 0<х<с, 1 2' х=о, х=с, х= — с. 2с ( — 1)«+' . Пггх 33) — ) вгп —.
гг й с «=1 с 2с сов 1 —;-) — с вш сю (2и+1)««««««« 4 кв (2П+1)г + к и О, — с<к<0, 0<х<с, с *= ~с. 2' )х) < —,, 2' И=- 2 ! < —. 304 Глава П. Ряды Фурье. Преооразованпя Фурье с 4с ~ 1 (2п+1)зх 2 зз ~и (2п+1)з с 1 1 ~-~ вгп2зпх 37) — + ~ соз зпт. ии1 ижг 2 з 4сз ( — 1)" ' зпх 39) -сз -~- — ~ сов —, 3 лз пз с ииГ 12сз ь" ( 1)и-1 40) — ~~~ вгп —. лз пз с и=1 8 4 48с ъ ( — 1)" зпх 41) — с + — ~ сов —. 15 зз ли с ии1 лип 2 1 1 ( — 1)" 43) — вЬ ал — + ~ (а сов пх — п вгп пх) т ) 2а аз+аз и=! в(п аз 2а, „сов пх 44) — + — е4п ат ~~~ ( — 1)" за з аз — пз и=1 ' — 8 " (/ 102пз+4 ~~ [и '-Л' и, -~)' и из 8п 128пз+ 24п '1 2 4 ~ соз2пх г 4пз и из 1 л 2л 4пз+1 47) — — + — сов х — — 1 сов 2пх.
и 2 л (4пз — 1)з и=1 оо л(зиьг)е 1 ьо и(4д+2)е 4 зз х-Я (2п+ 1)з зз с. (4п+ 2)з Оитветвы к главе П 305 49) — -+ ~ сових еаа 1 2а ( 1)а еаа 50) + — ~~т сов их. ав' х аг+ пг «=! 51) Коли а целое, то при а = 2и! 8тп ~ сов(2п — 1)х (2пт)г (2и Цг ' при а = 2тп — 1 2 ( сов 2пх впт(2п! — 1)х = — 1+ 2(2тп — 1) ~~т тг (2,п Цг (2п)г ! ' если а не целое, то 1 — сов!та ( ~ сов2пх в(пах = 1+ 2а ~ + ~~ аг — (2 ) 1+ савла ~~- сов(2п — 1)х + 2а тг аг — (2п — 1) г вЬ ал а 52) — + 2 вЬ ах ~~! ( — 1)" сов иа.
ва аг+ пг а=! 8 53) — ) втп 2их. в. 4пг — 1 а=! х, 8т и 54) — — втп х — — г втп 2пх. ,„2 (4иг 1)г 251г 1 тгис, тгих 55) ~ — вгп — е4п —. . (1-)~ 56) — ~~ [1 — ( — 1)" е"'] в)п их, Т аг+ттг «=! 2втпатг а, .„ив!пил 57) 1 а тг аг — пг а=! а=! 1 1 59) — Сг~„+ —, ~~! Сг„, " сов 2пх. аю! Глава П. Ряды Фурье. Преабразаванвя Фурье 306 60) ~ ~д' вгп пх.
и=! 61) 1 + 2 ~ ~дп сов пх. 62) ~~! д" сових. п=а ( — 1)п+' сов пх 63) — 1п2+ ~ 71) а) —; б) —; в)— 4 4 2!ГЗ 72) а); б) а(!г — а) лз — Зла+ За' 73) а) — +4 ~ ( — 1)п +4~( — Ца —; п=! и=! и=! пп! +12~ ( 1) з 1 4 сових ( 1) 4 + 8лз ~~! ( — Цп — + 48 ~ 5 пз пв п=! а=! сов(2п+ 1)х -а + 66) Д-х) = г(х), г" (л — х) = -Дх). 67) г(-х) = -Дх), г(л — х) = у(х).
гг, 4 вгп(2п — 1)х 68) —. Указание. у = — У 4 в 2п — 1 и=! лз ггз лз 69) а) —; б) —; в) —. 6' 12' 8 !г — х вгп пх 70) Указание. = ~, 0 < х < 2л; а) в разло- 2 и и=! л — х женин функции у = заменить х на 2х; б) вычесть 2 нз разложения функции у = разложение функции 2 4 2 Ошеетм к главе Н 307 74) Указание. Разлагая в ряд Фурье функцию, приведенную в правой части, при повторном интегрировании по частям учесть, что значения ее производной в точках 0 н х равны О. 3хз — бкх .1- 2ке 75) Указание.
Получив разложение функции 12 на (О; х), доказать, что обе части полученного равенства не меняются при замене х на 2к — х. 80) а) е сое(ешх); б) е~*е!п(е!пх). Указание. Рассмотретыр(ег*), где аг(г) = е'. 81) а) вгп(сов х) сЬ(яп х); б) сое(сов х) еЬ(ешх). Указание.
Рассмотреть !а(сов х+ г еш х), где !а(е) = е!и г и использовать формулуг еггг(а + )%) = егп а сЬ )7+ г сое а еЬ |9. 82) а) сое(сое х) сЬ(в!и х); б) еш(сое х) вЬ(еш х). Указание. Рассмотреть !е(сов х+1яп х), где !е(г) = сое г и использовать формулу сов(а+ !%) = соеасЬ)7 — гегп аеЬ гу.
1 1 83) а) (1+соех) !п2сое — + — хяпх, !х) < х; б) — х(1+савв)— 2 2 ' ' 2 — яп х!и (2 сов — 1 )х! < х. Указание. Рассмотреть ~р(еье), где у(х) = 1+ — ! 1п(1+ г) и использовать равенства 1 1 Чг(г) = 1+!п(1+г)+ -(!п(1+г) — г) и г п(п+1) п н+1 1 1 хяпх 84) а) — — — сов хв 2 4 2 х 1! еш х !и 2 сое — — — ), х ф хк, Указание. Приме- 1/ няя равенство = — ~ — , рассмотреть пз — 1 2 1п — 1 и+1/' функцию !е(г) = !п(1+ г).
х 1 85) а) япх 1п2сое — — — ешх, )х! < к; 2 4 х 1 1 б) соех !п2сое — — — + — соех, !х! < я. 2 2 4 8б) а) (сове+ сов2х) 1п2сое — + — (вш х+ еш 2х) — сов х; 2 2 Глава П. Ряды Фурье. Преобразования Фурье 308 б) (вгпх+вгп2х) 1п2сов — — — (совх+сов2х) — зги х. 2 2 87) созх1п2 сове+ хвшх, 0 < х < —; 2' сов х 1п 2 ~ сов х) + (х — и) з(п х, — < х < х. ! Указание. Рассмотреть функцию у(в) = — 1п(1+ г ).
л 88) а) (1 — сове) 1п2зш — — вше+ сове, 0 < х < 2гг; 2 2 х 3 1 б) (1 — сов х) 1и 2 яп — + — сов х — —, 0 < х < 2п. 2 4 2' 1 1 1 Указание. Использовать равенства (и — 1)п и — 1 и' 1 1 1 1 1 1 — + Рассмотреть (и — 1)п(п+ 1) 2 и — 1 и 2 и+ 1 функцию гр(л) = 1п(1 — з).
гг 1 и 89) — — -(сов х!п2совх+ хвшх), 0 < х < —; 4 2 2' к 1 7à — — — — (сове 1п 2) сове~ + (х — к) вш х), — < х < к. 4 2 ' 2 Указание. См. пример 2 гл. И 1 2 и задачу 87. сове 90) а) агсвгп, 0 < х < в; Я+ в(их б) 1п(ь/Г+згпх+ ь/з(пх), 0 < х < х. Указание. Рас- (2п — 3)Р зз" смотреть функцию у(л) = г — = агсв(ил; (2п — 2)0 2п — 1 п=г о проверить ф рмулу сов х агсвгпеьв = агсяп + г'1п(Д+ япх+ ~4гпх).
~/1 + вгп х совх . Гх кл 91) а) агсвш +ь/2в1пхсоз ~ — + — ! — сове, ~/Г+ в!п х О < х < в", б) 1п(Л+з(пх+ ~4(пх) — ь/2з)пхзш(-+ — ) + япх, ~2 4/ Ответы к главе П 309 2 ~О(е) = агсвгп г+ — (1/1 — г — 1) = 1 гз 13 ев 13.5 г' 2 3 24 5 246 7 1 (1 в 11 4 113 в 1135 — — ~-е + — г~+ — е + —,е +- в 12 24 246 2468 13 " 135 = — +- — + — — + — — +. 12 2 34 2456 24678 102) 0 при <а) < 1, 2а!п)а! при !а! > 1.
Указание. Продифференцировать по а. в и 103) — — а" при !а) < 1, — — при )а! > 1. Указание. Продифи пав ференцировать по а. к 1 — аз к аз — 1 104) з 1п прн )а! < 1, з !п, при )а! > 1. 1 Указание. Разложив функцию . в ряд, 1 — 2а сове+ аз проинтегрировать по частим. 105) О. 106) 2гг. 7Г 1 гг 1 107) — при !а! < 1, — при <а! > 1. Указание. 2 ев — а 2а ась — 1 в1п Ье Разложить в ряд по системе (вгп п5е) 1 — 2а сов 5е + аз и использовать значение интеграла Лапласа (см. пример 55 гл. 1 $ 3).
108) к при <а! < 1, 0 при )а! > 1. 2 г 109) при )а< < 1, при )а! > 1. 4вз 4кв гг 1 г 110) — 1п(1 — а) при )а! < 1, — !и (1 — -) при )а! > 1. а а 1, а) 2вваг» 2вв 111) при !а! < 1,, при (а! > 1. в 112) — а~ при !а! < 1, —., прн !а! > 1. г ~/à — аг 113) !и . Указание. Положив а = вгпо, Д вЂ” аг 1 ! Я ав' 310 Пааво П.
Ряды Фурье. Преобразования Фурье привести знаменатель к виду 1 — 2Лсовх + Л, Л = 18 — . г 2 Восстановить а нз уравнения Л = 1+ уТ вЂ” аг в / а 114) ~ — . См, указание к задаче 113. ь/! — аг ~ !!+~/! аг! аОО 115) 22' . 116) О. См. указание к задаче 113. 1 — а2' 22 / а 117) — !п ~! + ~.
См. указание к задаче 113. а ~, !+ф! аг, 1+ ъ/! — аг 118) в.!и 2 . См. указание к задаче 113. л/ а 119) — — ~ . См. указание к задаче 113. -ь, 120) . См. указание к задаче 113. ~/1 — аг 121) ~ ) . См. указание к задач ! 13. ,/1=.~!+Л . ) 122) — !п ~ ! — . См. указание к задаче 113. а ~, 1+ /1 — а2/ л/ а 123) — ~ . См, указание к задаче 113. а 1 1-!- Д вЂ” а2/ 124) . См.
указания к задачам 113 и 107. е" (1+ ~/1 — аг) — а л 1 1+ уТ вЂ” аг+ ае !25) . См. указания к зада- 2 Ь/1 — аг 1+ ~/1а7~ — ае чам ИЗ и 107. +СО +ОО 2 Г в!пЛ 2 Г 1 — совЛ ! 26) — / — сов Лх ИЛ. 127) — / в!п Лх НЛ. л Л л о о 1 Г )ЗсовЛх+Лв!пЛх 2)2 Г ! — соваЛ ! 28) — д! дЛ.
129) — ( сов Лх дЛ. Лг+!12 ' ) ла Г Лг в о +ОО + ОΠ— Ог 130) — / е '2совЛхЫЛ. 131) / е Оьв!пЛхИЛ. а 2 Опгвешог к славе П 31! Г л 133) — / — в сов Лх г(Л ,( 1-Л а 2 Г япЛк 132) — / — в1п Лх гг'Л. / 1-Л а 134) — у 2 Г вгпЛ(х — а) — взпЛ(х — Ь) г(Л. Л о 135) — / " вгп Лх г(Л. к / Ла — ого а 136) — )' 2а Г сов Лх г(Л. 137) — ~ 2 Г Лот лх НЛ. 6) — У ~,, (Л.
/Ло+ а а о 1 136) / ~р+рр сов Лхг1Л а 139) '~ г' Л вш Лх ИЛ. ((Л Р) + оа)[(Л+ ф)о+ „а) о 1 ( 1 / е ' совлхг(Л. 14ц 2Гк / а о 12япЛ г21 Л 142) Ч— 3) Ч вЂ” — вгп — е з Ч.л' Ч.л 144) г' — е . Т,„ 145 2(вш 2Л вЂ” вш Л) 4 сов Л / 2 4 1 /яп 2Л вЂ” в1п Л,Л сов Л вЂ” в1п Л 146) — ~ + 4 ~Г2з ~, 147) 1 148) Ч вЂ” 1ег сов 1. г'2 ~/2к(1 + ЬЛ) 1 2 — Зла + 1(4Л вЂ” Лв),Г2 /2к 4+Ло Ч ало+па Глава П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
