И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Свести к вычисления) эллиптического интеграла интеграл 2.с+ 3 — <<х. (*-<)<(с* <<)(Л«) 2х+ 3 Решение. Представим выражение — в виде х+1 2е~з 1 2 Г-~1+3 2е~З 2 Г-е1+3 2» + х+! 1-е)ч! е+! (-х)+1 х+1 2 2 т. е. в виде 2х+ 3 2хэ — 3 х = — + хэ — 1 хэ — 1 Итак, 2х+3 а)х = 12хэ — 3) <Гх + (*+<)Л '-«)( '«) < (*'-<)« *'+О(*'-Я) х <Гх + (.
-<),<(.ч<)(*=-з~ Второй иэ этих интегралов подстановкой х~ = 1 сводится к интегралу <Ги ( — <)~( «)( '-<)' котор(лй вычи< ляется я элементарных функциях заменой 1 = г. и — 1 1'ассмотрим интеграл (, — <),<( .<<)(и.<<) <Гх. ((з) г 4. Элли)зтическис иигаеералы 345 Приведем его к виду о( г) 22(1.*)(1 — 1*, ) '* Для этого положим в интеграле 16) х =, тогда Д г' ,/Г»г+ 3.' Нх= ' ' И»= Н», — 11 — »г),~1 - »г » г 3 — 2» х +3= +3= г Поэтому 2хг — 3 ззх = (. -!)22(**.3~Ц~ —,2) (2 ф;р — 3) У (,,) (,,)(,,) 11 ° )Л вЂ” » 5»г — 3 Н» — 2.
-1 3(! — ))(2 — — ЗЕ) йе2»г 1) 1 г г (3» 2* — 1 !(1 — )(3 — ЗР) г (3» 21 (1 гз — 2 ) 21 (ЗР-1)ДТ-гз — 2 ) Для вычисления первого интеграла делаем замену» = сйп (3) — — ( (р ( †. Тогда И» сов (р (1(р 2((1 — *')(2 — 2, ) .( ), 2)222-2;Р~ 1 /' з((р Второй интеграл, переписав его в виде ЗЗ'» / ( — е *)3((! - **) (! - !=*) 1лаеа !П. Специальные функции с помощью замены з = з)ну), сведем к эллиптическому инте- гралу 3-го рода в форме Лежандра Ь = 2'з/2.
(1'14 ' р)ф:р ! 'р' Пример 5. Свести к вычислению эллиптического интех4 (1х (1 — *')(1 — 4*') Р ..ПР рРР 4, 3хз — 52; (*р (! — *')(1 — 4Л)) =р(!-*')(1-4Л)4*. (1-*')(1-4*') ' Тогда г 24(~1- )(1-ррг) 1 рР(1 — *Ч(1-4Л) = а р * р (1 — ) (1 — 4* ), (1 — ')(1 — 4 ) т. е. х'4)х 5 1" хз(1х Д1 )(1 4 ) 4 1 1(1 )(1 4Л) 1 /' х + — (1 — хз) (1 — 4хз).
12 1 42(Т вЂ” ))(1 — 4 ) 12 Интеграл 41х 1 1 1 заменой х = — з)п (а сводится к эллиптическому интегралу 2 41х 1 — -„з)п р 2 4. Эллиптические интеерелы 22 ( л. ° - -. сделаем а — *')Π— н') 1 в нем также замену е = — е)п (р, тогда 2 ~ ~''4 е)п (р сое(р(1(р 1 е(п (а(1(р ),((:~'Р ) -. ")( — Н" — 4 (1 — 1 е1п' р) + 4 8 1 — — е)п (е г 1 — — ен) Рассмотрим полный зллиптический интеграл К(й): К(й) = а Перепишем его в виде К(й) =~ а и сделаем замену переменного по формуле 2е)пИ а)п 22— 1+ Л вЂ” й2+ (1 — Д вЂ” /сУ) е!п2 2) ' Тогда легко проверить, что интеграл перепишется в виде е(~) =(1..),).1' — Ц. Рв где /~ йг й,= 1+ Л: йг' Последовательно применял формулу (Т), получим К(й) = (1+ й,)(1+ й,) " (1+ й„) Л (й„), 1'лика !11.
Спецнильные функции 348 где )- й:е; 1:.= 1+ 1 — йз, Ясно, что О < йи < 1 и йи < й~~,. Отсюда следу~т, что йи -+ О прн и -+ +оо (причем довольно быстро). Кроме того, имеем неравенства о<кол — — = 1 1 — к~ в1п 1и ' -у7:еы . —,л=т„- И~о < —. 2,/Г. и откуда следует, что К(/с„) -+ — при и — ~ +оо, т. е.
КЯ = — 1пп (1 + Й~)(1 + lсз) (1 + 1с„). (8) Полученная формула позволяет записать разложение функ- ции К(й) в бесконечное произведение, т. е. '() =-'П(+1-) 2 »=1 где 1се —— ьч О < 1с < 1. На формуле (8) основывается также метод приближенного вычисления интеграла К(й): К(й) — (1+ 1ч)(1+ й~) (1+ й„), 2 где Йи онредслешя выше.
е г4. Эллиптические интегралы имеем е(Е = ~ гБ-~* ' 'е 4*= о 2( ~( (2 )О ) ги — 1) (11) Полученными рядами можно воспользоваться для приближенных вычислений значений Е(Й) и К(Ц. Пример 6. Вычислить с точностью до 10 з значение Ю Применяя разложение 113г5з35 =1 — — х+-х — — х + — х — ..+ ~/1+ х 2 8 16 128 и (2п 1)" и (2 и + в силу неравенства 0 < й з(п р < й < 1, получаем .г г .г = 1+~ н "й "г(пг" гг.
(9) 1 — Й яп ~л Так как ряд (9) мажорируется сходящимся числовым рядом (2п 1)" г» Г хг 1+ ~ и 1г", то он РавномеРно сходнтсл на [О; — ~, и (2п) И ' 2~' и=1 значит, его можно почленно интегрировать. Следовательно, = й" ~("'<.>"")'"") Аналогично, применяя разложение 1 1 г 1 з 5 4 ~е1+х=1+ — х — -х + — х — —,х + + 2 8 16 128 и г(2п — 3)И 350 1'лава П/. Спецаальные фуикцгги Решение. Используя разложение (! 1), имеем Если ограничиться только написанными членами ряда, то сумма отброшенных членов оценивается следующим образом: я гг9!11 1 4 35 = — ~ — ) — — < 2 — = 0,00007. 2' ~ 100) '9,2го'3 '10в Следовательно, с заданной точностью имеем /11 к/ 1 3 5 1751 Е д = — ~1 — — — — — — — — ) 1,449.
~2) 2 ~ 16 32з 64з 128з) Найдем производные от полных эллиптических интегра- лов. Имеем: г)Е (й — = — / йвш ьо(1 — йзвгп ог) гУ г(ог= о 1(У =-11(1 — ь' ' 'а'' А -~(1 — е ~ 'а 'ьФ) = -йЦ Е(й) — К(й) Аналогично находим 4К Е К 4й й(1 йг) Дифференцирование функций К(я) и Е(Й) законно, твк как Ьу"" "" 1 й '" ~" РР " "Р" 1 1-е' р зф 4. Эллиптические интегралы л! моугольнике [(2;Ц = [О! — ~ х [О(Ао), где О < /се < А" < 1, Ы н имеют на нем непрерывные частные производные по 1.
Если ввести сопряженный модуль 1л = ф — И и функции Е'(й) = Е(й'), К'(/с) = К(л'), то легко проверить выполнение тождества — (ЕК' + Е'К вЂ” КК') = О, сУс откуда следует, что ЕК' + Е'К вЂ” К К' = С. (12) Для нахождения константы С перейдем в равенстве (12) к пределу при л -+ О+. Так как функции 1 — йяягп ((2 и 1 2'2 " "2 2 (21 2( 1 — 2' ' '1 = (ф -! ° (2:2.(, - К(2! «2(2( — «2.2 - * 22-2 21 на [О; 1). Поэтому !пп К(й) = 1пп = (6р = —, с(у( р я = -.С 222 2'.
ф о а 2 11пс Е'(Й)= 1пп 1 — й(зтпсйп ((201(2= / сояср(1(р=1 л-+о+ ь -+(- у о о Поскольку И((2 я 1 (Л 1 — 2 2Л2 2 1 — 2' 21 " =1 о (С(2(-12(1((=12(2(-Л(2(= ( 22212 —, 1 — ь 1 ф 2' о то [Хс'(/с)(Е(/с) — К(й))[ = [К'(А)ЦЕ(12) — К(й) ) < —.й 1 лава 111. Спеннальные фуньции )~ш 11'(Š— К) = О. л-+о+ И гак. имеем, что !пп (ЕК'+ Е'К вЂ” КК') =— ь-+в~- 2 ЕК'+ Е'К вЂ” КК' = С прн всех О < й < 1.
Следовательно, ЕК'+ Е'К вЂ” КК' = — для О < й < 1. 2 Другой вывод этого соотношеннл см. в З б этой главы. 353 1 а. Эйлеровы интегралы ~5. Эйлеровы интегралы (Бета- и Гамма-функции) 1. Бета-функция. Так называется интеграл Эйлера первого рода В(», у) — 1 (1 1)" Й, а где х > О, у > О. Данный интеграл равномерно сходится по х и у на множестве х > ха > О, у > уа > О соответственно. В области х > О, у > О функция В(х.у) непрерывна и бесконечно дифференцируема. Делая в интеграле (1) замену , получаем другое аналитическое выражение функ1+г ции В(х, у): +ва в-! В(х,у) = / !1».
(2) а Непосредственно из определения Бета-функции следует (если положить ! = 1 — г), что В(х, у) = В(у, х), а с помощью формулы интегрирования по частям получаем, что В(я+1,у) = В(х,у), х+у (3) В(х, у+ 1) = В(х, у). х+ у Если у есть натуральное число, то, последовательно применяя формулу (3), получим равенство и — 1 и — 2 1 В(х, и) = ° .... В(х,1), я+и †1х+и в х+1 и поскольку ! 1 В(х,1) = /1* '!11 = —, а 354 / лппп В!. Специальные функции то 1 2.3 .
(и — 1) В(п, х) = В(х, п) = х(х+1) ..(х+и — 1) (4) Полагая в формуле (2) у = 1 — х, О < х < 1, имеем +ОΠ㻠— 1 В(х, 1 — х) = / — г!». 1+» о 2. Гамма-функция. Гак называется интеграл Эйлера второго рода Г(х) = / !л е 'г!!. а (5) Данный интеграл сходится равномерно в области х > хо > О.
В области х > О функция Г(х) непрерывна и бесконечно диф- ференцируема, причем Г!"1(х) = / !и" !4» е 'г!!. о 1 Положив в (5) ! = !п —, получаем другое аналитическое выражение функции Г(х): 1 г[е=!' (и-') о (б) Г(х) = !пп п~ /(1 — » ° )* г!». а 1 г 1 Поскольку 1и — = !пп п(1 — » ) и выражение п(1 — » ° ) при и гсю возрастании п стремится к своему пределу, возрастая (раса смотрите производную функции по о), то аналогично о утверждению задачи 5е 51 гл. 1 5 5 из (б) следует, что 355 1 5. Залеровы интегралы Полагая з =1", имеем Г(х) = !пп и' / 1" '(1 — 1)* ' ~И. о Применяя формулы (1) и (4), получаем 1 1" '(1 — 1)* 'а1= В(п,х) = 1.2.3.
(и — 1) х(х + 1) ..(х + и — 1) о Следовательно, 123 (и — 1) Г(х) = 1пп и* -+оэ х(х + 1) (х -1-и — 1)' Из этого равенства следует, что Г(х+ 1), пх = 1пп =х, Г(х) в-~во х+ 1+ п откуда получаем формулу приведения (7) Г(х + 1) = хГ(х), * > О. Из этой формулы, в частности, следует, что (8) Г(п+ 1) = и!, и Е И, так как Г(1)= / е ~ах=1. о Для любых х > О и у > О справедлива формула, устанавливающая связь между эйлеровыми интегралами Г-функцией и В-функцией: Г(х)Г(у) (О) Г(х+ у) 1П (1+-„') Рассмотрим функцию С(х) р х ~ О~ х ф х з — целое отрицательное число. Глана П!. Специальные функции 356 Поскольку ( ь) ел1ь(1+-„') (1 и 1+х1п 1+ — + +о — х = 1+х — — — г + — 'г+ — г х х 1 — — + — +о — — 1+ +о и — > оо, то бесконечное произведение сходится абсолютно для любого х ф О.
Так как и-ое частичное произведение есть 1 (1 + 1) (1 + 1) ...(1 + ) (и+ 1)л ° ( + х) ( + -,) -" ( + ~) .( + х)" ( + т) и+1') п)пл и / х(х+1)(я+2). (х+и)' то и! и* С(х) = 1пп =Г(х), х>0. «-+ х(х+ 1)(х+ 2) - (х+ и) Итак, функция С(х) совпадает с функцией 1'(х) для х > 0„ и, следовательно, получено разложение функции Г(х) в бесконечное произведение Г(.)=-.П „'., х>0 1 " (1+-.')' (10) «=1 Так как зто произведение сходится для всех отрицательных нецелых х, то можно принять равенство (10) за определение функции Г(х) для таких значений х. Используя связь Г(х) и С(х), можно непосредственно проверить, что для отрицательных нецелых х справедливо равенство хГ(х) = Г(х + 1). Зб7 ~ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
