И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 37
Текст из файла (страница 37)
-т) 1.(х.„-") Н.=О, тфв, о Ю -) =-. 3 2 г~ а тз а г3, (хтго ат = — А„(х~ иа) = 7р+1 (хит) а) 2 " 2 о Предполагая, что разложение (3) возможно, находим коэффициенты С по формуле Со= з з / У(г)тА [хита — ) (г, та=1,2, (4) 2 гх "у.'„(--) 1 а о путем умножения (3) на тли (хт -'1 и интегрирования по а) промежутку (О; а).
Условия, обеспечивающие сходимость рассматриваемого ряда к функции Дг) даются следующей теоремой. Теорема. Пусть функция 1(т) определена на [О; а] и удовлетворяет следующим условиям: 1) у(т) кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом отрезке [е; а], О < е < а; а 2) интеграл /~Я((г)] Й сходится. о мн задачи.
На первом месте среди этих разложений находит- ся разложение вида 1'лава П1. Специальные функции Тогда ряд (3) с коэффициентами, вычисленными по фор! муле (4), сходится и имеет своей суммой — (Д(г+ 0) + 1'(г — 0)], 2 Из интегральных разложений по функциям Пест еля важ- ное место занимает разложение в интеграл функции 1(г), определенной на (О;+оо), т, е, представление этой функции в виде +00 +00 Дг) = 1 ЛЛ (Лг) ИЛ Г рЛ,(Лр)((р)Нр, (5) 1 0<с<+со, и) — —.
2 Теорема. Пусть функция 1(г) удовлетворяет условиям 1) 1(г) кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вари- ацию на любом отрезке (О; а], а ) 0; 2) интегРал э~ ~/г]1"(г)] дг схоДитсЯ. в Тогда равенство (5) имеет место для любой точки не- прерывности функции 1"(г) и величина интеграла (5) равна 1 -[1(гв+ 0) + 1(гв — 0)] в точке разрыва гв функции 1(г).
2 1 7. Мноеочленм Лежандра 383 ~Т. Мной"очлены Лежандра Многочлены Лежандра определяются формулой дн( 3 1)н Р„(х) = —, п = 1,2,3, 2нп! дхн Ра =1 Если воспользоваться формулой бинома Ньютона 1)ь й)(п — й)! то для Р„(х) имеем выражение л~ а 2" Н(п — и)'(и — 2н)' В частности, имеем Р„(1) = 1, Р„(-1) = (-1)", (2п)! „(2п — 1) В 2зн(п()з (2п)Н) Рзн+ДО) = О. Выпишем несколько полиномов Лежандра: 1 Ра(х) = 1, Рз(х) = х, Рз(х) = -(Зх — 1), 2 з 1 Рз(х) = — (бх~ — Зх), Р4(х) = — (Збх4 — ЗОх~ + 3), 2 8 Рз( ) = -(83 ' — 70хз+18х). 8 Пример 22. Докажем, что функция ~р(х 1) — (1 — 2х1 + 1з) 1/з является производящей функцией для многочлепов Лежан- дра, т. е.
что имеет место разложение (1 — 21х+1зг11з = у 1" Р„(х), н=а 384 ! лона Ш. Ойн циольные функции Решение. Разложим функцию ~р(х,1) в ряд по степеням 1 с коэффициентами ао(х) при 1": (1 — 2х1+1 ) ~ =ао(х)+1а1(х)+ .+1 аь(х) При х = 1 имеем ~р(1,1) = (1 — 1) ', поэтому при х = 1 разложение должно совпадать с разложением (1 — М) 1 =1+1+1г+...+Го+..., !1!(1, откуда в силу единственности разложения в степенной ряд получаем, что а„(1) = 1. Покажем, что а„(х) удовлетворяет уравнению (1 — х )уо — 2ху'+ п(п+ 1)у = О.
(2) Непосредственно проверяется, что функция Р(х, 1) удовлетво- ряет уравнению гд ф г д ф д~Р дгг 1г — + (1 — хг) — + 21 — — 2х — = О, д1г дхг д1 дх, Подставляя в это уравнение вместо функции у(х,1) ряд а„(х)1", имеем — п(п — 1) а„(х)1", о=г / %~ и $ьг, = г па„1 ь=! СО (1 — хг) — = ) (1 — х )а'„(х)1", а=о 2х — = ) 2ха'„(х)1", дх поэтому ~~ 'п(п 1)а„(х)1о+ ~(1 хг)а(((х)го+ о=г о=о + г 2па„(х)1" — ~~~ 2ха'„(х)1" = О. о=о 385 1 7. Много»лены Лехсондра Собирая коэффициенты при 1», имеем (1 — х )о'„'(х) — 2хо'„(х)+п(в+1)о»(х) = О, и = О, 1, 2,.... Значит, о»(х) — решение уравнения (2). 11оскольку о»(1) =1, то на основании задачи 282 имеем а»(х) = Р„(х), что и требовалось доказать.
Во многих задачах, связанных с приложением полиномов Лежандра, возникает необходимость представления функции Цх), х б ( — 1; 1), в виде ряда по многочленам Лежандра: ѻл(х). КоэфФициенты С„этого разложения находятся »=0 из условия ортогональности (см. задачу 6 гл. 11 з 5) и равны 1 С„= в+ -) ( ~(х)Р„(х) с(х.
11 2),/ -1 Досгаточное условие разложения функции ('(х), х б ( — 1; 1), по системе полиномов Лежандра устанавливается теоремой. Теорема. Если ~ б Й~( — 1;1) и в точке ае б ( — 1; 1) функция 1' удовлетворяет условию Дини (см. гл. 11 ~ 1), то ряд фЄ(х), где С„вычисляются по формулам (2), сходится »»е Лха + 0) + у(хе — 0) в точке хе к значению Заметим, что все условия этой теоремы выполнены, если функция у является кусочно-гладкой на отрезке ( — 1; 1). Пример 23.
Разложить функцию у(х) = Л вЂ” х, х б б ( — 1; 1), в ряд по системе многочленов Лежандра. Решение. На интервале ( — 1; 1) функция у(х) имеет непрерывную производную и ее квадрат интегрируем на ( — 1; 1). Для вычисления коэффициентов С„= ( Л вЂ” хР„(х) Их 2п+1 Г 2 -1 можно воспользоваться формулой (1) представления много- членов Р„(х) через ряд. Однако полезен прием, часто встре- Слили !)1. Специильнме функции .'!й!! чающийся при решении такого рода задач. Будем исходить из представления производящей функции лшогочлевов Лежандра !с(л, !) = (1 — 2!я-1 !з) '~~.
Умножим обе части равенства (1-2! +!з)-'!' = ~'Р„(*)!" и=0 на Д вЂ” л и проинтегрируем от — 1 до 1. Получим, что Законность почленного интегрирования ряда следует из его равномерной сходимостн относительно з на [ — 1; 1), поскольку !Рн(х)~ ( 1, )з) ( 1, (см. задачу 283) и ряд мажорирустся сходящимся числовым рядом ~~~ !", )!) ( 1. Далее имеем 1 «=О = — (1+ ! — ! : ( (1 - !)з 1 + ,Л'! А -и*зв и ~ 2л 1 — '7~ — 1 Разложим зту функцию в ряд по степеням 1, Имеем !и = 1п(1+ у'!) — 1п(1 — ч"!) = 1+,Л 1 — у! ( (!)' (~Л)' (у!)" — -ху!— 2 3 и =2 ъ/Р+ + + +... 3 2н — 1 Следовательно, / (1 — !)' ! + ,Л'! ! ( — 1-1-! — !и ~ = — ! 1-1-! — (! — !)з х ил2! 'х 2у'! 1 — и'с!) ~!2! !, х 1+ — + — + + + $7, Многочлены Лежандра 387 1з — 1 — — — —— + 21+ 3 5 2п+1 2!о+1 13 !и+2 ° 2 — — ! 2п+1 3 2п+1 оо 1о ~ Я вЂ” 1)О; 1!)' +-!+.+ 2 3 откуда 4 !/2 Л- хРо(х) до = —, 3 — ! 1 - *г.(*! ~* = — 4зГ2 — 1 +! 2п+ 1 и значит, поскольку С„= — 7! Л- хР„)х) Нх, то 2 — — 3 ИРо !х) — 2~/2 ~~ л 2 — 1 2 3 ' о=! 388 Глава ]П.
Специальные функции ~)8. Полиномы Чебышева Полиномы Чебышева (первого рода) для ]х~ < 1 определи- ются при помощи равенства Т„(х) = сов(пагссовх), и = О, 1,2,..., ]х~ < 1. Они находят широкое применение в теории приближений. 1 Так, например, многочлен — Т„(х) является многочленом степени п го старшим коэффициентом, равным единице, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [ — 1; 1], т. е. величина й = шах ]]у„(х)~ принимает наименьшее значение при ле(- г д] ] Ц„(х) = —, Т„(х). Пример 24.
Докажем, что производящей функцией для полиномов Чебышева является функция Ф(],х) =,, 1х! <1, !4 <1. 1 — 21х + ]з ' Решение. Применяя формулу Эйлера еьл = сов 1а+]в1п Ф, получим, что 1 — ]сову 1 ~ 1 1 Ф(1, р) 1 — 2]совр+1з 2 ]1 — ]сил 1 — ге Разложим Ф(1, р) в ряд по степеням 1, ]г( < 1. Имеем Ф(],р) = — ~ ~~> 1"ег"и+ Я1"е гпи) = ~ 1" совп]а. п=в п=а п=а Положим ]а = агссов х, тогда х = сов Ф и Ф(1, ]а) = Ф(1, х) = ~~~ сов(п агссов х)1", и=а откуда и следует необходимое утверждение.
Приведем несколько первых многочленов Чебышева (пер- вого рода): То(х) = 1, Т1(х) = х, Тг(х) = 2хз — 1, Тз(х) = 4хз — Зх, Тв(х) = 8х~ — 8хз + 1, Тв(х) = 16х — 20х + 5х, Тв(х) = 32хв — 48х + 18хз — 1. 389 1 8. Полииолгы Чебышева Справедлива основная теорема о рвзложимости функции у(х) по системе многочленов Чебышева.
Теорема. Пусть функция у(х) определена на ( — 1;1] и у(х) = . Если у Е В ( — 1;1) и в точке ха б ( — 1;1) У( ) 2 ~/Г: хз' функция 2' удовлетворяет условию Дини (см. гл. П 1 1), то 1 ряд — + у С„Т„(х), где С„= — / " г(х, сходится Са 2 1 Пх)7'„(х) а=1 У(ха + О) + ~(ха — О) 2 Заметим, в частности, что условие Дини выполнено в точке ха, если существуют обе односторонние производные ~+(ха) н ~ (ха) Чтобы получить разложение некоторой функции Г(х) в ряд по многочленам Чебышева, достаточно разложить четную функцию К(аа) = Дсов га) в ряд Фурье по косинусам. Так, например, из разложения 1п(2сов — ) =~ ( — 1)" г, 0(~р(я, а=! полагая в нем ~р = агссов х, ~~х~ ( 1, имеем ( 1)и-1 1п(1+ х) = — 1п2+ 2 ~ Т„(х).
в п=1 Из равенства яз — 2ягр г сов(2н+ 1)гр 8 ~ (2п+ 1)2 0(у(я, имеем разложения а Ч ~ 22»+1(Х) аГССОВ Х = — — — лг )х! ( 1, ,„2. (2п+1)» 4 ч Тз„+Г(Х) агсвшх = — ~, !х! < 1. (2н+ 1)г' !3ьгьььо !!!. Специально!с фунь цып 390 Используя разложение 2 4 соя 2пу! [ зьп ьр[ = — — — ~~ь . 0 < ~р < ьг, ьг я 4пз — 1' п=! имеем г — — 2 4 х-, 'Ггп(х) l! 2 х ~ и [ [< 1 ьг ьг г 4пг 1' и=! и из разложения 1 ! уьх соз(2п — 1)ьр — 1п ~сгб — ! = ~~ 0 < 1о < ьг. 2 1 2! 2п — ! «=1 имеем ! ! + х~ = тз. ь(х) 4 [1 — х[ 2п — 1 Функции ьбп[(п + 1) агссоя х) и„(х) = ъ'1 — хз и= 0,1,2, ио(х) = 1, иь(х) = 2х, иг(х) = 4хь — 1, из(х) = бхз — 4х, иь(х) = 16х — 12хз+ 1, из(х) = 32хз — 32хз+ бх, ио(х) =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
