И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 40
Текст из файла (страница 40)
!'лава Г!!. Специальны- функции 414 Используя значения интегралов Эйлера, вычислить ь )сдуюшие интегралы. 1 з Г! зарх о о 154) / 1/* — * )!х. о 1 156) Ь')1 а *)') =) 155) 157) 161) 1+ хз о 173) 158) 1+ .з о Г )!х 166) Г! —. ./ 14-хз о 1 162) /~1 — хз)п)!х, и ЕИ. 163) о а 164) / хз~/а~ — хз)!х. 165) о 1 2п 166) Нх, ПЕИ. 167) ' *(1 — * ) а/2 168) ~ онпз!2 х соз)!2 х )!х. 169) о 1 76) / 1ье — о) )!! 171) о о +ап х Их З)2 о /) )!Х и ЕИ, п>2.
(! ! Хз)п ' о а 2п /аз 2 ! о п/2 З1П Х СОЗ Х )!Х. о )!Х з/3 — соз х о !Ье-п~ )!! о +аа о /'лава ///. Гиециальньге функции 190) / г/х, а ) О. /' !п(1 + ах) о г/х 185) / „; иг) О. о ь 186) г/т, 0<а</г, с>0, „/ (х + с)»г+ьао а 1 187 ) (1 + х)в»-1(1 х)гь — г (1 + х2)гь+и г/х. -1 188) / агой х х'" о 189) ( г/х. агсс$8 х о ь/2 т/2 191) а) ~ в(п~ гхг/х, б) / сов" ге г/х. о о ь/2 192) / 18" /х о 193) „г/х, О < (Ц < 1.
,/ (1+ 1 овх)" о — ь/4 а — 1 0 < /г < 1. ' ./ г, 1 + /г сов х / 1 + /г сов х ' о +го гг 196) / хь'е ь Нх, 197) ь/ ~ 1п — ~ г/х. х,~ о о 2 12. Упражнения 417 1 202) Проверив, что / 11х, 0 < р < 1, равен 1 — х а !пп (В(р, в) — В(1 — р, в)), вычислить зтот интеграл. е -Ф о+ Т1* л 203) Используя равенство В(х,1 — х) = / — Й = 1+ 1 вгп лх г проверить, что 1 = / 1(х равен ./ (1+ х) 1пх Р 9 В(х,1 — х) 1(х — з~ В(х,1 — х)11х (О < р < 1, 0 < д (1).
1/2 1/2 Найти величину интеграла Х. Вычислить. +ОО Г вЬох Г сЬрх 204) / — 11х, 0<о(13. 205) / Ых, 0<р<л. / вЬДх сЬ1 х о о Доказать. +ОО 206) !пп 1 е ' Ых= 1. О-++ОО о 201) О (1 — ~ *. ' 1*) О-++ОЮ о = -Г'(1). Проверить равенства. 1 Я вЂ” хо .l 1/à — х" 4 г хл 11пх 1+х о +СО г хв-1!пах 1+я а гх 1пх о +СО г О! 2 / 1+.г о 418 Глава Ш.
Спеииильиьге дгуньи/ии г/2 г/х гг в)Е - / Я г*г ' о — *'е 2 1 1 г/х / т" г/х л г,/! — ха",/ ф — хои 2п ' а о 1 1 / г/х ~ х' а 2и г' 211) г/х = е18 —, — — п)п — 2) п ' о о г г 212) ~ /1" и/ / и — 2Д' и о о 2лп гг сф8 —, п>2. (Зп — 2) (па — 4) п ' гг/2 в/2 Г г/х гг хр 213) / япг'хг/х.
~ — = — Ы вЂ”,, О < р < 1 япх 2р 2' а а +00 +00 -иг 2 -ть 214) / е ' г/х ( хе г/х= —. 8~/2 о о з Г э 2гг~/3 27 а о +00 +си 216) /е хЯ с/х./е~х" Я Их= о о 1 = — 2 ..„, п>0, О< и<п. паап и +ив +иг - /,й1~=' ~гг) П / *--"-" г*= '1-) (г ) =' о п > 2. Ь 12. Упрахсяеяия 419 219) / (! — хз) 1~з4х = Л / !хз — 1) 1д,) . 220) с)х— хг-Юз (х~+ ах + Ь)Р 2~/Ь(а-~- 2ъГЬ)г-1/з Г!Р) Ь > О, а+ 2ч'Ь > О, р > 1/2.
1 1 Используя равенство — = / 1~ е' ~ Й, х > О, и Ф" Г(т),/ о возможность перестановки интегралов, вычислить инте1 ралы. 221) / Ых„О<т<2. 222) / Их, О < т < 1, о о Обосновав возможность дифференцирования по параметру интеграла задачи 221, вычислить интегралы.
вычислить интегралы +00 б) / 1п( — !их) Их; о +00 г) / е ~!и хс)х; о а) / е *1паИх; о в) / е !п1а1; о +со д) / е ~ !п 1а1. о Г ьйпх 31п х 223) ~ — !плах. 224) / — 1п хая, о о 225) Используя соотношение Г'(1) = — Сз, Сз .— константа +00 Эйлера, и дифференцируя по х формулу Г(х) = / 1Я е ' М, о Глава !!!. Специальные Яункпии 420 226) Используя формулу Лобачевского (см, задачу 39 2 6 гл.
1), +со Г я!и вычислить интеграл / 4/х, где р есть рациональная о дробь с нечетным числителем и знаменагелем. 227) Используя формулу Гаусса (гл. Н1 формула 16), вычи- 1 Г хг — хо слить интеграл / 4!х, р+ 1 > О, д+ 1 > О. а 228) Используя результат задачи 227, вычислить следугощие интегралы: 1 Г (1 — х И1 — ху) а) а! Ых, о+1 > О, /1+1 > О, о+ !1+1 > О; ,! (1 — х) !пх о 1 Г ха(1 — х!1)(1 — х'1) б) Г! 1(х, а > — 1, о+!3 > — 1, о+ 7 > -1, (1 — х) !пх о о+/1+7 > — 1; ! хР-1 в) ~ !~, > О, /! > О; (1+ х) !их а ! Г ха-1 -а г) / 4(х, 0 < о < 1.
(1+ х) !их а а/2 1/х Г(о) 229) Использу ф р у у / ьйпга '!2Ы22 = 2 Г(о+ 1/'2)' а и/2 о > О, вычислить интеграл / в!пгв !а !пайп уг 1!у. о 230) Найти площадь области, ограниченной кривой ( 2+„г)4 „з 231) Найти площадь области, ограниченной одной петлей кри- вой г™ = а™ сов пир, 1п Е И, и длину атой петли. 1 12.
Упражнения 421 232) Найти объем тела, ограниченного поверхностью х" + + у" + х" = а", и ) О, и координатными плоскостями, находящегося в первом октанте х ) О, у ) О, х ) О. 233) Исходя нз определения функции Г(х) для х < О, х ф — и, п Е И (гл. П1 в 5), проверить равенства а) Г(х)Г( — х) = —,, х Е (О;1); хв!пхх' б) Г(1+ х)Г(1 — х) =,, О < !х! < 1; В1ПОГХ в) à — +х à — — х = —, !х!< —; ( 111 г) Г --) = — 21/я; 2) 11 ( — 2)" д) à — и+ -) = ~/л, и Е И.
2) (2п — 1) О Исследовать сходимость интеграла. +00 +оо 234 1" хв и'х 235) ~ Г(2х) 4х ),/ Г(2х+ 1) ' ,/ 30Г(2х -1- 1)Г(х)' 1 1 +00 +00 1 1 238) / 11х. 1 Найти предел. 239) 1пп ' . 240) !пп х~В(о, х), о > О. ./хГ(х + 1/2) *-++ Г(х + 1) О-++00 241) Проверить, что функции !0(х) = ~~~~, н ИГ я+и+1 в=о 1 (х) = ~ 1 являются решениями уравнения й!Г(й — и+ 1) Бесселя у + -у'+ ~! — — ) у = О. 1 / и ! ! з) !'лова П! Гьвииазьныв фунниии 422 Определить область сходимосгн рядов для Ув(х) и У.н(х). Исследовать этн ряды на абсолютнук> схолнманть 242) Показать, что функция Он(ох) удовлгтворягтураянгняю х'ун + ху' + (о х — и )у = О.
243) Доказать, что 1о(0) =1, ля(0) =О, ла(0)=ге(0) =О, п ЕИ, н >1, .11(0) ев —. 244) Показать, что при н Е И функции в'„(х) и У „(х) линейно зависимы, причем У „(х) = ( — 1)",lв(х). 245) Доказать, что при любом и справедливы рекуррептнгяе формулы 1И/1 г 1 а) — — ( — А,(х)) = — — У„.~1(х); х Лх (~хн ' ) хьв1 й б) — (х" У„(х ) ) = х" У, 1(х) . В частности, проверить, что уа(х) — зг(х) (хз1(х)) = хзо(х), то есть, что хУг(х) = ~83а(с) йа, / 1г(~) й~ = 1 — аа(х).
а о 246) Используя результат задачи 245, доказать рскуррентные формулы 1н г(х)+У,+г(х) = — У„(х),,У„г(х) — Яиы(х) = 2У (х). 2н г х Найти выражение функций аг(х), аз(х) и 14(х) через функции уо(х) и уг(х). 247) Показать, что Лг(х) = Уо (х) — — Уо(х), Яг(х) — Уо(х) = 2Ло (х). 248) Проверить, что функция Бесселя в'„(х), и = 0,1,2,..., 1 представляется в виде,7„(х) = — ~ соя(х выл 1а — п1а) гав. л,/ а 422 1 12.
Упражнения денег- у) 249) Показать, что функции у(х) = — / е ~ и Ф удо- -2/ влетворяет уравнению — ю е4п хи хзу" +ху'+(х~ — и~)у= (х — и). 250) Доказать, что для произвольного и имеем У (х) = — ~ соз(:ее4п 1е — п1и)~Бр — е Ыу. 1У ь4п ия 7Г 251) Доказать, что ~Х„(х) ~ ( 1 при и = О, 1, 2, 252) Доказать, что а) ( — — ) ~ — У (х)~ = ( — 1) У~+„(х); <Ух) (хи ~ хп+и и б) ( ) (хи Уи(х)): х~ ~ Уи-т(х) х ~Ух где — — = — — — — ..
— — (Лг)) 253) Доказать формулу Пуассона 1 Г (1) Г (и + 1),У или, полагая 1 = соя В, л Уи(х) =,, ~ соз(хсозВ)мп ВНВ. (з) У зи 254) Показать, что при х -+ 0 справедлива формула хз Уо(х) = 1 — — + 0(х"), Хо(О) = 1. 4 255) Показать, что при х -ч О справедливы формулы .и 2" Г(и+ 1) ' хиГ(1 — и) Глава 111. Специальные функции 424 256) Доказать, что любая функция Бесселя при больших х вш(х+б) / 1 представима в виде У~(х) = 7 + О ( з1г), где 7 и ~/х ~ хз/г) ' б - — некоторые постоянные. 257) Выписать РЯД, опРеделЯющий фУнкцию 1 г1г(х), и До- 12 казать, что 1 г1г(х) = гуг — сова. у ггх 258) Выразить функции 1з1г «-з1г 1в1г 1-в1г через элемен- тарные функции. гйп х сов х 259) Проверить, что функции — и — удовлетворяют /х,/х дифференциальному уравнению Бесселя при и = 11'2, т. е.
уравнению у" + -у'+ ~1 — — ) = О, 4 .г) 260) Доказать рекуррентную формулу , г1г е г 2 г в.~.г г 1 А,+г1г(х) =( — 1)" — х" 1 — — п=О, 1,2,.... ,е г(х Г' г) '1 (Обозначение ( †) см. в задаче 252.) х г(х 2н1„ 261) Показать, используя формулу 1,+г(х) = — Х г(х)+ — ", что .1„+г1г(х) = 11 — 1 вгп (х — — ) Р„( — ) + 11 ях( ~ 21 'г,х) где Р„(и) — многочлен степени и, а ф, г(и) — многочлен степени и — 1, Р„(0) = 1, Я„г(0) = О. 262) Доказать, что при х -+ +ос справедлива формула 1„,,1,( ) = )1 —.1 ( — — ) + О ~ — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
