И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Из соотношений в' = 7сов(к+б) = 7'в(п(к+ б) + 7 сов(я+б)(1+б'), вн = у' сов(я+ б) — у(б'+ 1) в(п(х+б) = — (1+ а).у вш(х+б), находим б = а(х) в1п (я+б) = О ( — ), х -++оо, (2) 7У б2 7 18(х+ б) (3) / 1 1 = — а(х) вш(х+ б) сов(х+ б) = О ~ — ), х -++со. 1хз) ' Из (3) находим аналогичными рассуждениями, что 7(х)=7 1+Π—, х-++ос, 7ФО.
Следовательно, любое решение уравнения (1) при х -+ +оо /11 имеет нид в(х) = 7вш(х+ б) + О ~ — ), а решение уравнения Бесселя имеет внд вш(х+ б) у 1 258) Узуз(х)=-~( — внзх-)1 — совх=~( — ~ — -совх х~ * ~/лх -~(лх ~ х 2 хв1пх+совх а Так как б(х) = б(а) — ~б'(в) Ыв, то в силу (2) получаем, что /1'1 существует 1пп б(а) = б н б(х) = б+ О(-), х -+ +со.
а-++со х 462 Глава 1П. Специальные функции /2 /Звшх Зсовх .~в~»(х) = — — — — мих 1/кх ( хг х 2 /хгсовх — Зхвшх — Зсовх а — Чг(х) Указание. Применить рекуррентные формулы задачи 246. 260) Указание. Применить рекуррентпую формулу задачи 252 а), положив и = 1/2, н использовать значение 1~~»(х) = ) 2 = ~( — вгпх. 262) Указание. Использовать результат задачи 260. 263) а) Из формулы задачи 245 б) следует, что х~1„г(х) = (х"1„(х)), откуда ~х"1„г(х) ах = /(х"А,(х)) Ых = х" Л„(х) + С. б) Указание. Использовать формулу задачи 245 а). в) Указание. Использовать формулу Х г(х) — У„+1(х) = = 2,1,'(х) задачи 246. г) Установить рекуррентные интегральные соотношения А,+г(х) дх = / уа(х) ~Ь' — 2уа+г (х). 264) а) Указание. Функции у = 1„(ах) и = 1„фх) удовле- творяют соответственно уравнениям (см.
задачу 242) х — +х — +(а х — и )у= О, гау ау гг л г г х — + х — + (~3 х — и )» = О. И» гг г 6хг Дх » у Умножив первое уравнение на —, второе — на —, вычесть нз первого полученного соотношения второе и получить — х» — — у — = (/г — а )ху». Проинтегрировать затем полученное уравнение от 0 до х,, за- менив у(х) на 1 (ах), а»(х) — на/„()ух). Применив формулы И вЂ” Аа( ) = уи( х), Й(х) = — у (х) — Аа+г(х) 463 Отеешы, решения, ухизаиил (см. задачу 245 а)), получим требуемое соотношение. б) Указание. В данном интеграле сделать замену ох = и и получить равенство / „* з хуз(нх) сГх = — Лз(ах) — — 1 и Л (и)Л„'(и) Ыи; 2 " азу показать, что нзЛз(н) -+ О, и -э 0 (см.
задачу 255) прн и > — 1. В силу уравнения Бесселя — х Л (х) = х Л„"(х)+ хЛ',(х) — изЛ„(х). 2 -х'Л (х) Л'(х) = -[х'Л.'(х)]' — — (Л.'(х))', откуда следует необходимое утверждение. 265) Указание. Использовать формулы задачи 264. 267) Указание. Заменить Л„(17х) степенным рядом, проинтегрировать полученный ряд почленно. 268) Указание. Сделать в интегралах Френеля замену 1 = и 3 и использовать выражения для Л~~з(х) и Л ~~з(х) (см, гл. 111 $5).
269) Указание. Использовать формулу интегрирования по частям и соотношения задачи 263. л~ 270) Указание. В силу того, что функция е4(» *) есть производяп1ая функция для функций Бесселя, и тождества 4(е+у)(л-з) 1т(х-~) 4л(г-ь) имеем е41~+я)(' ° ) = ~ ~Ле(х+ у)г, +са с4( 1( ') = ~~' Лт(х)з ейл( — ') = ~ Л„(д),", Умножив обе части этого равенства на Л'(х), получить вы- ражение для — хзЛ„(х)Л„'(х): 1'лава Л1.
Специальные функции 464 В силу абсолютной сходимости этих рядов нх можно почленно перемножить, поэтому 10(Х)Е ~,70(у)е = ~~ )~,10,(Х)10(у)Е 01=-00 О = — 00 00и — ОО О= — сО +00 +ОО = Е " Е ~ (.)л-.(у) О Так как получен ряд для функции еь<*~"Й ), то +00 +00 +00 Е А)* '-0)*" = О, ( О 3 ) )) — )0))* й=-00 йи-00 й'Ф=-00 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е~, по+ оо лучаем 1й(х+ у) = ~~ ОО„,(х)1й-т(у) 271) а) Указание. Рассмотреть производящую функцию е *(' ° ) для 10(х) и положить в ней е = е'", тогда е' " )0 = 1е(х) + )~ [3й(х)е™)0+ 1 й(х)е *")0].
й=1 Так как Л й(х) = ( — 1)"3й(х) при х целом (см, задачу 244), то еьиьи =.7в(х) + ~,1й(х)(е'йт+ ( — 1)йе 'йг]. й=! б) Указание. Испольэовать результат задачи 271 п, а). 274) Указание. Показать, что производящей функцией для 1 (х) будет функция ей(*+ ° ), предварительно доказав, что ЕХХО+Эй функция 1„(х) „,иг( +й+ ц Ы ~ — ) есть решение уравнения хэу)~ + ху — (хз + иэ)у = О. + 00 О+Ш В формуле ет('+ ) = О 1й(х)ей положить е = еил и г = 1е'", й= — ОО 277) Указание. С помощью рекуррентной формулы 1„1(х) — 1„+) (х) = 21,'(х) Ответы, решения, указания 465 показать, что производные от обеих частей рассматриваемого равенства совпадают.
278) Указание. Применить формулу х"+' А (х) = — (х"+' 7и+> (х)) с(х и интегрирование по частялс. 279) Указание. Применить результат задачи 277. 282) Указание. Достаточно доказать, что этому уравнению удовлетворяет функция у = Рс("'(х), где й„= (хз — 1)". Продифференцировать (и+ 1) рвз равенство (хз — 1)Н'„(х) = 2нхй„(х). 283) Рассмотрим производящую функцию р(1, х) многочленов Лежандра. При х = 1 и х = — 1 имеем 1 р(1,1) = — =1+Ь+Ь'+."+Ь" +", 1 — Ь 1 (1 1) 1 Ь+Ьз +( 1)вйв+ 1+Ь Эти ряды сходятся абсолютно при (Ь~ < 1. Функция св(1, х) монотонна по х при фиксированном 1 (ф < 1), причем 1 1 1а(1, — 1) = — < ~р(М,х) < — = ср(1, 1), ф < 1. Непрерыв- 1+1 ' 1 — 1 ная функция (1 — 01) при фиксированном 1 как функция 0 принимает все промежуточные значения между (1 + 1) и (1 — 1) ~.
Значит, для каждого х ()х) < 1) найдется такое В(х), )0(х)! < 1, что са(1, х) = (1 — 0(х)1) . Разлагая зту функцию в ряд, получим ,а(1,х) = (1 — 0(х)1) ' = 1+0(л )1+Вз(х)1з+..+О" (х)1" + Поскольку р(1, х) = Рв(х) + 1Рс(х) + .. + 1"Р„(х) +, то, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, полу- чаем, что Р„(х) = В" (х), )х) < 1. Так как )0(х)( < 1, то и /Р(х)! = !О" (х)) < 1 при )х! < 1. 284) а) Указание. Доказать, что производящая функция ср(л, х) многочленов Лежандра удовлетворяет равенству (1+ Ь вЂ” 2хЬ) — — (х — 1)у = О. сСс l лава Ш. Специильные функции 466 Подставить в это равен< тво ряд р = ~~~ Р„(х)1" и собрать в=о коэффициенты прн одинаковых степенях 1.
б) Указание. Использовать равенство задачи 281. в) Указание. Использовать равенство (1 — 2х1+1 ) —— з Н1а Нх — 1оо = О и продифференцировать равенство, полученное в п. а). г) Указание. Сложить равенства п. 6) и в). д) Указание. Заменить в и. в) п на п — 1 и исключить из найденного равенства и равенства и. 6) Р„' я(х). е) Указание. Продифференцировать равенство п. д) и, используя равенство п. 6), исключить Р„' 1(х). 285) Указание.
В Разложении (1 — 21х+1~) Пз = ~ Рв(х)1а «=о положить х равным ж1 или О и затем разложить левую его часть по степеням 1. 286) Из формулы для Р„(х) имеем, что Р„(х) содержит только степени х той четности, что и номер п. 287) Указание. Использовать рекуррентную формулу а) за(2п — 1) О дачи 284. А„= п! 288) При и = О и п = 1 справедливость формулы устанавливается непосредственно. Докажем, что справедливо рекуррентное соотношение (и+ 1)Р„+1(х) — (2п+ 1)хР„(х) + пР„1(х) = О. Обозначим я = х+ ~/хз — 1сояд, тогда А = (и+ 1)Р +1(х) — (2п+ 1)хР„(х) + пР ь(х) = 1 Г1 — — — х»+1 = — / ~(п+ 1) ~х+ ~/х~ — 1 соед) — (2п+ 1)х х о в а-П х (х+,/хз — 1соя0) + и (х+ ~/хз — 1 совд) ~ ~И = Ответы, решение, указаиил = — '1 ~- з' — ц ' '~,- (*-; /Р:1- ~) ° а а-1 °,/,:1. в~ (,+ /Р:Т.„в) и.
(4) Обозначим и — и(хз — 1) в(пз 9, и= ~х+ л//х~ — 1 со»91 л//х~ — 1сояд, тогда интеграл (4) перепишетсл в виде л х А = ~и»а ~сИ+ ~ а»" '/И. а а Поскольку » в и»" л/19 = л/хз — 1 / »" сов9сИ = а а =,/Р:1(е'.е;-;-1.ь.в„"-'/Р— 1п ви) = а х л = и(х — 1) ~ »" лейн В~И = — »~и»" ~Ю, а а то А = О. Следовательно, поскольку Ра(х) и Р1 (х) совпада- ют с нулевым и первым многочленами Лежандра, то также будут совпадать с многочленами Лежандра и многочлены Р„ при всех и. Из этой формулы, в частности, следует, что по- скольку ! х+ л/1 — хзсовВ~ = (»+ ля/х~ — \ совВ = =/Р»а- '~..'в=/РЙТв+... в~1, ~ес1, 1 то (Р„(х) ~ ( — к = 1 (см. задачу 283). 289) Длл внутренних точек ~х~ ( 1 имеем из предьлдущей за- дачи )Р„(х) ) ( — а~ (х + л ~/1 — хз сов 9( /И = а ! лава П!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
