И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Специальные функции « « Г ~l ! (! 2) в;пг 0,(0— о вг/2 = — / (1 — (1 — *')в)п О) «!В+ о « + — ! (1 — (1 — х )ьдп О) «(О. л,/ «/2 Сделаем во втором интеграле замену 0 = к — гд, тогда «г/2 (Р„(х)) < — З~ (1 — (1 — х )ьдп О) «!0. о я 2 Поскольку для О ( В < — справедливо неравенство — 0 < в)п 0 2 и при неотрицательных о неравенство 1 — а < е ~, то вг/2 )Р„(х)! ( — ~ (1 — (1 — хг) в(пг В) «(0 ( о 2 /'~ «/2 4021 и/ < — 1 — (1 — хг) — «!О < о,! .г ! ! П ') аВ ~ ! ар ') аВ. )Г,! я,! 2Г« и .в...
в = 2 «! — ) )«.) )) г -' 2 «1 — *) 2 ГВ «В ! 2 «! )) 2 2«2(!) 469 Опьеетм, решения, указания Рис. 1з 290) Положим з = сов 0 (О < В < и), тогда 1 а( е=-~[ ~-;- / '~-Т. се~~ о 1 Г = — / (сов О+ 1з1п В сов 1е)" 01». о Введем новую переменную 1 = сов В + 1вш 0 соз 1е.
'Гогда 1» 01 Р»(сов В) = —, И/ ! — » И'-» где интеграл берется по прямолинейному отрезку АВ, А = е 'з, В = е'з, причем при 1 = соз 0 значение корня равно вш В. По теореме Коши (об интеграле по замкнутому контуру от аналитической функции) интеграл по АВ равен интегралу по дуге АСВ 1рис. 18). Полагая 1 = е'а, находим, что Глава П!. Специальные Функции 470 и после отделения вещественной части получаем, что в 1 2 /' сов(и + 2) !» Р„(сов 6) = — в' а а!й. 2 ~:2 а о 291) Указание. Применить па+ 1 роз формулу ннтегрнрова+1 ния по частям для интеграла / Я (х)В~"!(х) а(х, где В„= -1 = (х — 1)", и использовать равенства Л„(~1) =О, В'„(~1) =О,..., Ва" ')(~!)=О, Я„,+'(х) =О. 292) Указание.
Применить рекуррентную формулу а) задачи 284 два раза: сначала выразить из нее (заменив и+ 1 на и) Р„через Р„а н Р„з, а затем хР„через Р„+а и Р„а. Учитывая ортогональность полиномов Р„, Р„а и Р„+з, получим, что ЦР„Ц~ = — / Рп(х)((2п — 1)хР„а(х) — (аа — !)Р„з) Ых = 1 -1 а п,l " 2п -1-1 -а Последовательное применение этой формулы дает равенство !)Р !) = !)Ро!)з, откуда, так как ))Ро((з = )!Ц(з = 2, 1 2п+ 1 г имеем )1Ро() 2и+ 1' 293) Предположим, что Р„(х) имеет кратный корень хо. Тогда Р„(хо) = Р„'(хо) = О. В этом случае из формулы б) задачи 284 следует, что Р„а(хо) = О. Используя формулу а) задачи 284, получим, что Р„з(хо) = [(2и — 1)хоР„а(хо) — иР„(хо)) = О.
1 п — 1 Заменяя в этой формуле п на и — 1, получим также, что Р„-з(хо) = 0 н далее Рв-4(хо) = .. = Ро(хо) = О. Однако Ро(х) = 1, и равенство Ро(хо) = 0 невозможно. Покажем, что Ответы, решения, указания все корни находятся на отрезке [ — 1;1]. Предположим, что на отрезке [ — 1,1] всего 0 < т < и корней, Обозначим их ог ог,, и„,. Рассмотрим мпогочлен Я,н(х) = (х — ог)(х — ог)...(х — о,„).
1~1ь(1) > О, так как все аб 1 = 1,2,..., т, меньше единицы. Далее, Р„(1) = 1 > О, поэтому Я (х) и Р„(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [ — 1; 1], так как корни у них общие, а знаки в точке х = 1 совпали. Следовательно, Я,„(х) Р„(х) > О, ]х] < 1 (кроме точек ог, ог,..., оы). Но тогда 1 Я (х)Р„(х) дх > О. -1 При т < и это противоречит результату задачи 291. Значит, т = и. 295) Указание. а) Воспользоваться формулой д) задачи 284. п(п+ 1) б) Воспользоваться формулой а) задачи 284.
2н+ 1 4пз+бпг . в) Использовать представление Р„(х) (2и — 1) (2 и+1) г (2п+3) с помощью производящей функции (см. г 7 гл. П1 пример 22). 1 ( л— 1)~(2й — 1)!! Отри т = 2п, — прн и = 1... и = 2й+ 1, й Е И. ' 2 ' (2й+ 2)!! 296) а) у = Р1(х); 2 1 б) у = - Рг(х) + -Рв(х); 3 3 2 3 в) у = — Рз(х) + -Рг(х); 5 5 8 20 10 г) у = — Рч(х) + — Рг(х) + — Ре(х); 35 35 35 1 5 д) у = — — -Рг(х) + 2 8 +~ и Рг (х),]х]<1; ( — 1)~ '(4т+1)(2га — 3)0 1 лава 111. сгпециальные функции 472 1 1 е) у= — + — Р>(х)+ 2 2 ч ( — 1)™(4>п+ 3)(2т — 1)(1 2.[2т + 2)!! ( — 1) (4т+ 3)(2т — 1)>1 ж) у = Р>(х) + ~~~ > Ргщ.~.1(х). т=> 3 1 108 105) 21 / 15>> 297) — — ~5 — — + — ~ Р>(х) + — ( 1 — — ) Рв(х).
2„г ~ „г вв ~ ') 298) Указание. Воспользоваться формулой г) задачи 284. аг 4 Ьг 299) Указание. Воспользоваться неравенством ~аЬ~ < 300) а) Уравнению удовлетворяет функция и = Р„(сов 6). б) Уравнению удовлетворвет функция и = >/в>п В Ра(сов В). 301) Указание. Записать уравнение б) задачи 300 в виде г и+ и+ — и=— и получить формулу 1'> и(В) = Р„(0) сов ~ и+ -) ( — — В) + 2) 2 + ", в>п ~и+ -) ( — — В) + »/г + ) и(1е) айп (и+ -) ( — >р) . (5) 4 (п+ 1),/ 2) вьнг 1а Используя формулы Г(т+ 1) Р,'„,(0) = О, Рг',„+,(0) = (- )" получаем, что равенство (5) можно записать в виде и(В) = оа в(п п+ — В+ — + г„(В) 473 Ответы, решения, указания где он обозначает первое или второе из выражений Г(г+ —,') 2Р(г+1) ,/ Г(-,+1),Р( +-) Г(-+-) в зависимости от того, четное или нечетное п, и «бг г„(0) = ) и(р)ебп (и+ -) (Π— р) .
г 4он (и+ 1) ) (, 2) в)вг ге в откуда ч-1 Мн ( гг„1 — совес б~ Г г 4(2п+ 1) в. совесг б г гг г 2п+ 1 > — совес б 4 2п+ 1 > — совес б, гг г 4 н, следовательно, г„(О) =Π—, п-+со, и(0) = опвгп п+ — О+ — +а„Π—, п -+ оо. Из формулы Стирлинга а„—, п -+ оо, и длв и(0) имеем и(0) = — вга п+ — О+ — + Π—, п -+ оо, откуда Р„(совО) = вгл и+ — О+ — + О и-+оо, б<0<гг — б. Если ̄— максимум модули и(0) в интервале б ( О < и — б, О < б ( — то имеем 2' ~и(0)! ( он+ ™ совес б, 4(2п+ 1) 475 Ответы, решения, указания 324) Указание.
См. решение задачи 323. В случае т = и а" Ь„ имеем = ( — 1)" и!. Поэтому лхв +00 Х„„= (-1)" и! (-1)" х" е * Их = (и!) . о 325) Указание. Доказать, что производящая функция удовлетворяет равенствам (1 — 1)зу, — (1 — Ф вЂ” х)р = О, (1 — Ь) у + пр = О. Подставить в них ряд ~~~ Г„(х)ув и приравнять коэффицненв=о ты при 1"+е к О, откуда получить формулы а) и б). в) Заменить в а) и на и+ 1 и продифференцировать по х.
Затем, применяя формулу б), исключить Г'„+з и Ь'„+,. 326) Указание. Разложить функцию у(х,1) в степенной ряд в круге р~ < 1, где С„(х) определяются по формуле Коши 1 — а 1" Ы Г у(х,1) — е= = ~~~ С„(х) —, С„(х) = —, 1 й. — » пР ° — 2я / 1в+1 о=о Здесь 7 — любой замкнутый контур, охватывающий точку $ = О и лежащий в круге ~1~ < 1.
Ввести новую переменную х интегрирования и = —. 'Рогда 1 — 1 4 ( 1 1 ) 1 в + ! '~1 ~! г ев-вп» да ~~~! г с "и" Лн 2яГ / (и — х)"+1 2~гю,Г (н — х)а Ы' где 71 — образ контура 1, охватывающий точку и = х. Интеграл вычислить с помощью вычетов дв(с-инп) Лв(с-вхв) С„(х) = е .— И1п = е* ( ) т. е. коэффициенты С„(х) совпадают с многочленами Лагерра Ьв(х). 476 Глава П!. Специальньье функции 329) Указание. Продифференцировать соотношение в) зада чи 325 и исключить 5'„+г прн помощи соотношения б) зада чи 325.
330) ~ 331) Ь, '= 2 — х; Ц = хг — ба+ 6; Х,4 — — — (х~ — 24хз+ 180хг — 480х+ 360); 7,зг — (хз — 15хг + 60х — 60). 332) Указание. Применить формулу Лейбница. 333) Указание. Доказательство аналогично доказательству задачи 326. 334) Указание. Подставить разложение производящей функции в соотношения а) и б) и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях 1. 335) Указание. См. указание к задаче 334. 336) Указание, Использовать результаты задач 334, 335. 338) Указание. В равенстве, полученном в примере 20 гл. П1 г б, положить Ь = 2~/х, х = ч'1, и = п + а, а=1, тогда имеем где,7 (х) — функция Бесселя. Дифференцируя это равенство по х и принимая во вни- 6 -1 мание равенство — аг,7 (2~/н) = ц * У г (2~/и), которое ац а' следует нз равенства — (г",1„(г)) = г~,7„г(г) при г = 2~/и И» (см. задачу 245 б)), имеем — (х + е ") =/ (~Я) .7 „ь (2~/х1) г~е 'й, т= 0,1,2, 477 Ответы, решенил, указания Полагая здесь «и = и, получаем требуемую формулу +00 е*х- /г г Ь„(х) = ! 1"+т,7 (21/х1) е 'й, о о>-1, и=0,1,2,....
339) Из предыдущей задачи с учетом формул для 7~17г(х) имеем е 1,„11г(х) = — / е 1" г сов(21/хг) й и! ~/т,/ о + О« е' 2 7' „«г„ — — — в и в сов2~Гхиди, и! «/я,/ о +«о Ь,',~~(х) = «( е '1" в!и (2~/х1) Й о +со — — е " и "+ в(п21/хи11и, п1/х! 1/и ./ о откуда на основании интегральных представлений для полиномов Эрмита (см. задачу 350) получаем требуемые соотношения.
340) Указание. Воспользоваться разложением (1 «)-а-1 — —,, «)» 7«( )«и !1~ л в заменить в нем х на уд умножив на е «у*,7 (1/ху), где 7„(х) — функция Бесселя, проинтегрировать по промежутку (О;+со). Доказать возможность почленного интегрирования ряда и получить соотношение (! 1)-а-1 ~ -$,, т7 ( «" ) о +с« = "~ 1" / е тут,7 (1/ху) Аа(у) е)у. а=о о ! липа!!!.
Специальные узуикции 478 Для вычисления интеграла в левой части положить |(у = и и +а» а»х» и+1 воспользоваться значением интеграла ) с ! (6х)х ах О (прнмер 20 гл. 1!! ! 6). Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях ! в равен~тве +»» 2х' с» ~~~ ( — 1)" 1„(х)!" =~ !" / с 'у' 1, (~/хУ) б„(у) 11у п=о пао получить требуемое уравнение. 341) а) Указание. Рассмотреть функции ип(х) = е» х» А„"(х) и и„,(х) = е»х» А~~(х) и дифференциальные уравнения, которым онн удовлетворяют (см. задачу 337): +1 (хи )'+ ~п+ 2 4 4 ) ип О о+1 х азу (хи' )'+ т+ — — — — — и = О. 2 4 4х) Умножив первое из них на и (х), а второе — на и„(х) н интегрируя по промежутку (О;+со), имеем +а» 11+ х (иипип, — и' ип) ~ + (и — тп) )! ип,ип 1(х = О, о о откуда следует требуемое уч вержденне.
+»а б) Указание. Для вычисления е хаЬ~ (х) Их соотноо шение а) задачи 325 умножить на Л~ 1(х); уравнение, полученное из этого соотношения заменой и на и — 1 умножить на !.~(х) и вычесть полученные соотношения. Затем умножить полученное равенство на х е * и, проинтегрировав по промежутку (О; +со), получить соотношение е»а +»» -х а (7а( ))з ! ( + ) / -х а (7а ( )) о о и = 2, 3,..., 479 Ответы, решения, указания откуда и и з (и+ а)(в+ о' — 1)...(о+2) / е х" (А„"(х)) е(х — х п(п — 1)...32 х е *х (А (х)) Их=, в=2,3,.... /' з Г(в+о+ 1) а Полученная формула справедлива и при и = О, п = 1, что проверяется непосредственно. 342) (2а+ 1) -' ) ( — ) Ь„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
