И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 42
Текст из файла (страница 42)
330) Разложить по системе мпогочленов 1«(х) функцию 1(х) = е * на (О;+со). Пусть 1«(х) — обобщенные многочлепы Лагерра. 331) Выписать многочлены 1)(х), 1,з~(х), 1л~(х), Ц(х), 1л~(х). г 12. Упралснеиил 332) Доказать равенство Г(п+ а+ 1) ( — х) ~-'-Г(й+ а+ 1) И(п — й)! ' 333) Доказать, что производящей функцией для многочленов 1 Ь~(х) является функция р(1, а, х) = е 1-', т. е.
(1 — С)е+г 1 е ггт = ~~~ 1.„(х)1", ф < 1. п=е 334) Доказать, что производящая функция у(1,а,х) много- членов Ь„удовлетворяет уравнению а) (1 — 1г) 1о', + [х — (1 — 1) (1 + а)) р = О; б) (1 — 1)~р' + бр = О. Вывести отсюда рекуррснтные соотношения для Ь„"(х): а) (и+1)Ь~+г(х)+(х — а — 2п — 1)Ь„"(х)+(и+а)Ь„1(х) = О; б) х " = п7~(х) + (и 4 а)1.„",(х); 47:( ) д~ — (х) 336) Доказать, что производящая функция 1о(1,а,х) много- членов А~ удовлетворяет соотношению а) (1 — 1)1е(х,1, а+ 1) = 1р(г:,1,а); б) ' ' = -11о(х,1,а+1).
д1е(х,1, а) дх Вывести отсюда рекуррентные формулы а) ь„+'(х) — А„+,'(х) = Х„(х), п = 1,2, дх 336) Доказать, что многочлены Ь~(х) удовлетворяют уравнению ху" + (а+ 1 — х)у'+ ну = О. 337) Доказать, что решения уравнений 1+а х г(и — а)1 хи" + (1+ а — 2и)и'+ и+ — — — + ~ и=О 2 4 х — — а 1 1 г1 ии+ 4п+ 2а+ 2 — хг+ ~ и = О .г 436 !'лиоо !!!.
Специальные функции соответственно есть е и = е е х~+хй~(х ). и=с *х й (х) н Установить связь заданных уравнений и уравнения, которому удовлетворяет функция й„"(х) (см. задачу 336). 338) Получить интегральное представление полиномов й„(х): +со й (х)= — ~!"+* у (Мх1)» ' й а > — 1, и = 1,2,. о 339) Используя результаты задач 338 и 350, получить форму- лы связывающие функции Лагерра и Эрмита (см. гл. П1 з 10). Установить зту зависимость, исходя из определений функций й„(х) и Н (х). 340) Получить интегральное уравнение для полиномов й~(х): +00 ( 1)и е йхйй~(х) = /,й„(~/ху)е 'уйй„"(у)е!у, о а > -1, и=0,1,2,....
341) а) Доказать, что при и 1 гп полиномы йи(х) и й" (х) ора тогональны на положительнои полуоси с весом р(х! = х е +аа т. е. х е ~й„"(х)й~~(х) Нх = О, и ф пь о б) Доказать равенство е *х (1, (х)) Ых=, п=0,1,2,..., а> — 1, и 2 Г(п+ а+ 1) 'и ' и! о т. е. функции 1 1/3 р„(х) = ' ) е йхтй„(х), и = 0,1,2,..., ( Г(п + а + 1) 3 12. Упралсненил 437 образуют ортонормированную систему функций на (О;+оо). 342) Используя разложение производящей функции 1с(х, 8, а) для полиномов Лагерра, получить разложение по системе многочленов Ь„"(х) функции е 343) Разложить следующую функцию по системе полиномов 7.( ): а) у = хз; б) у = х~; в) у = х" (и > — 1/2(1+а)); г) у = (ха) й l (2~/ла), а > О, а > — 1; а д) у= х у(а,х), 7(а,х) = е 8~ Й.
а 344) Доказать формулу А~~+я+ (х+ у) = ~~~ 7,„''(х)й~я „(у). е — 0 345) Доказать формулу е х 7(а,х)=~~ — ", о> — 1, 0<х<оо, Ь„(х) и+1' е=е +ОО где у(а,х) = / е Че я1. В частности, показать, что огсюда следует равенство -е* Е1(-х) = е~ у(0, х) = ~~' — ", 0 < х < со. 7-(х) и+1 „.. 4" (е-*') Пусть Не(х) = ( — 1)" с* — многочлены ЧсбышеДхи ва — Эрмита.
346) Прил|еняя производящую функцию р = е~*~ ~, получить соотношения н,„(0) = (-1)" —,', н,„+,(о) = о. „(2п)$ Глава 1И. Специальные функции 438 347) Проверить рекуррентные соотношения в) Н„.~1(х) — 2хН„(х) + 2пН„ г(х) = О, и = 1, 2,., 4 б) Н„'(х) = 2иНи г(х), и = 1,2,., 4 в) Ни.~1(х) — 2хНе(х) + Н„'(е) = О, п = 1,2,....
348) Доказать, что Н„(х) является решением уравнения ии — 2хи'+ 2пи = О, ь 349) Доказать, что функция и(х) = е ь П„(х) является ре- шением уравнения ни+ (2п+ 1 — хг)и = О. 350) Используя значение интеграла +СЮ 2 е ' = — ~ е сов 2х1Й, ,лl доказать, что ь +ьь 2гия ( 1)нее Г ь» г Нги(х) = / е ' 1 "сов2хгй, п =0,1,2,..., о +со 2гитг ( 1)" е' 1' -е' и=0,1,2, т. е. г +ьь 2гп 7;ШЕ Н (х) ) е ь +ггее 1и (1 351) Используя результат задачи 350, доказать, что -льъс " е.(ноЛд) )1) (1. Рассмотреть случай х = у. 352) Доказать справедливость соотношений -~-ьа е ь Нг (х) = ( — 1) )/ — / е гг Нгы(у) сов худ, о 3 12.
Упразхненил ау е - Нг +)(х) = ( — 1) ~/ — / е э Нз„,.ь~(у) я(пхус1у, ~п = 0,1,2,. 353) Доказать, что полиномы Н„(х) ортогональны на 2 ( — оо;+со) с весом е *, т. е. е ~ Н„(х)Н„,(х) Нх = О, и ~ гп. 354) Доказать, что е * Н~(х)~Ь=2п ~е * Н~~ ~(х)Нх, п=2,3,..., отсюда получить, что е Нз(х) Нх = 2" ' и! х с Нз(х) Нх = 2".и!~/я, и = 2,3,..., т.
е. 1е„(х) = (2"п)~/я) зе ч Ня(х), и = О, 1,2,..., — ортонормированная система функций на ( — ооо уоо). 355) Доказать асимптотическое представление полиномов Н„(х) при больших значениях п для любого конечного х: Н„(х)= (2 + пте * еч соя(~г2п+ 1х — — )) (1+ а(п)), 2 а(п) -+ О, и -+ оо. 356) Доказать, что если К„,(х,у) = — ~ ",", то 1 Н„(х) Н„(у) 2а ьл я=с +оо а) / К,„(х,у)с " ЫУ=1; б) К (х,у)— Н~и+1(х) Нт (у) Нп~+л (у) Нт (х) (х — у) 2пз+'т) /л 1'лаеа 1П. Специальные функции 440 357) Используя тождество +00 +00 Н„(у)е " Ыу = НО(у)йо(у)е " 0(у, вычислить ~ Н„(у)е " ау.
358) Доказать формулы: +00 / а) ~ х е Нг(х) Их = 2"и!ь/к ~и+в +00 и — 1 г б) / е г Нг(х)Их=2" '~гГ ~и+в и=0,1,2, 2Р+ (2п)~(ф)г ук г) / е * Н (х)Нг„(х) Их = р= 0,1,2,..., и = 0,1,2„.,р. 359) Доказать, что +00 г и и=0,1,2, 360) Доказать, что +00 г = — "е ' ахеОО(1) (и — >оо). 20.п!ь/к,/ 1 + хг 441 3 12. Упрахсненил 361) Доказать, что если ~г(х) — кусочно-непрерывная функция на любом промежутке ( — а; а) и +СО (1+ я )е ~ р (х) Ых (+со, то !пп / е Я Н„(х)р(х) Нх = О. л-+оо (2еп! Я~/з / 362) Доказать, что е 'йе(х) =, ~ е ' Н~(1)сов /2х141 а (здесь Ь„(х) — полиномы Чебышева — Лагерра (см.
гл. 111 3 9)). 363) Доказать формулу е Н„(х) = ~ е Ь„( — ) соалхпя (здесь Ь„(х) — полиномы Чебышева — Лагерра (см. гл. Ш 3 9)). 364) Доказать, что полипомы Нз~„+,(х) удовлетворяют интегральному уравнению е-*Нз„+,(~х) 7 .— Н,'„+,(У~) о (здесь 1~(х) — функция Бесселя (см.
гл. 111 ~ 6)). 365) Доказать формулы: «юе Р б) Нр(х)Нг+,(х) = 2 (р+ г)!р! ~~~ »=а р= 0,1,2,..., с =0,1,2,.... 1 12. Упрахспепил 443 373) Доказать, что многочлен Ь„(х) является решением уравнения уп — ху' + пу = О. 374) Доказать формулы е=~Ь„,(х)Ь„(х) йх = ( ~/2япп), т = п. 375) Доказать следующие представления многочленов Ь,(х): ( — 1)" (2п)! ч ( — 1)Я2" Ь! 2" и! ~ (2Ь) ! Ь ( ) (-1)"(2 +1)! - (- )"2'."(С + 2" п! ~-~ (2Ь+ 1)! 376) Проверить равенства ( — 1)" (2п)! Ьхп(0) —,, Ьгп+1(0) — О, Ь',„(О) = О, Ь',„+,(О) = ( ')" ( ",+ ')' 2".и! 377) Найти разложения следующих функций по системе функций Ь„(х): а) у = сЬ1х, б) у = оЬ1х, в) у = сов 1х, г) у = о!п1х. 378) Установить соотношение между функциями Н„(х) и Ь„(х) (см.
гл. П1 ~ 10). 379) Показать, что при любом а > 0 а „,з 1 /к е пх -~/ —, Л вЂ” Ф +со. 27' Л' о 380) Показать, что для функции,К Е С'[О; а) О у(х)е пх -~ — 1(0), Л -++со. 1 в 2'!1 Л о 444 Глава Ш. Специальные функции ь ь ~(х)е "а~ 14х е "а1л'1 ((ха) Л -ь +со. '[/ Лдн(хо) а 384) Доказать формулу Стирлинга: Г(я+1) = / 1 е 'й х е ь/2чх, х ь+оо.
о 385) Доказать, что если Л -ь +со, то для любого а > 0 27'Л а 388) Пусть 1' Е С'[Ои) ну(О) ф О. Доказать, что при Л -++оо а 1У( )..'"* *--.Г.ь "У(0). а 387) Доказать формулы: н/2 о ~.'."~л=~/ [1+оЯ а 381) Пусть и < 0 < Ь и функция д Е Со[и;Ь[ удовлетворяет условиям: 1) д(0) = 0; 2) д'(х) < О, х к [в;0), д'(х) > О, х Е (О; 6]: 3) дн(0) > О. Показать, что для у Е С'[а; 6) ь --~.-(.) -л ' у(х)е ~~ ь(х — „7(0), Л-++со. 2 ~[) Лдн(0) о 382) Показать, что в условилх задачи 381 о 7(х)е "* дх — „ДО), Л -++оо. а 383) Пусть )' б С [и;6)', хо Е (а;6); функция д Е С [а;6) и д'(х) < О, х Е [а; хо), д'(х) > О, х Е (хо,'Ь), дн(хо) > 0 Показать, что 44о у 12.
Упражнения е/г (2п — 1)гг гг Используя равенство е(п" 1г(г = „—, получить о 1 ) (2п))) формулу Валлисе я = 1пп — ~ »-+со п ~(2п — 1)1! 6) — / е* е соопВйВ = (1+ 0(я гдг)], х -++ос гг у ~/2яя о % 1 Г о в) — ( (е+ ~/Р-1соеВ) юЮ = о (,+ /г 1)п+г/г [1+ О(п гуг)), п — + со. чг2япЯ~ — 1 1 г) (1 — е )" Ве г —, п -+ оо.
у и -1 п д) ~ С~Ив ~ = ~ — (1+0(п ')), п-+оо. 1( 2 я=о Г'лава !!!. Ггнсцаальныс фунлцаа Ответы, решения, указания 9) Указание. 11редставнв функцию егГ(.г) н вид~ егГ(г) +сю 2 1 — — е ' Й, сделать в интеграле замену а = 1 н применить два раза пнтегрировангн по частям, а также воспользоваться соотношениями 1 л'-'Г'" =- с — ин — /з ~Га < с-е а — 5/2 ~!а г — х а ~ 4.оо 3 г 2 ( — ! )" хз" +' 10) егГ(х) = — ~~»,, )х) < оо, Ф()=)( — ~ ( — !)" —, ! 1< !! гг 2л.(г((2й + !)' !!) а) егà — 1; б) е~ " егГ(И~гго).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
