И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Теорема 1. Пусть функции /(х) н д(х) дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [а; 6], и пусть на отрезке [а; 6] функция д(х) имеет единственный ланнилаум в точке хо Е (о; 6), причем ди(хо) > О, д'(х) > О при х < хо н д'(т) < О пРн х > хо, 1(хо) ф О. Тогда прн Л -++со справедлива аснмптотнческая форму- ла Глава 1П. Специальные функции 400 Пример ЗО.Найти агимптотику при х — д +ос Функции Бесселя,1ь(х) = — 1 е' """ г1и. 2л,1 е Решение. Положим у(и) = агп и, 1(и) = 1. Тогда у'(и) =соаи, д (и) = — дйпи, д'(-')=д ( — ') =ю, д(-') =д, д( — ') "(-;) =-' Разобьем отрезок иптегриропаиия (О;2х] на (О;юг] и [юг;2юг] и иа каждом из иих применим формулу (2).
Тогда 1а(х) = — ю — (е'~ «1 ) + сд +~1 1) + о — сое (х — — ) +о ~ — (, х — г+оо. 1 лиеп ЛП. Специальны ' ГГГункиии ~/л 14) Показа гь, что функция 6(г) = — -гг ег1(л) является ре 2 шлшем уравнения уУ -2х„' = 1. 15) Показать, что функции 4(л) —.= г " ) — -егГ(л)+С Г ~(тг С = сопо1, являются решегшем уравнения д' + 2го' = 1. 16) Доказать, что функцил 1'(г) =. с / г'" Ии о а) является решением уравнения Га + 2л Р' —.—. 1, Гг(0) =- О; =. (--ц'г' з" +' б) Гг(х) = З вЂ” — — —., )л) (,ю; (2й+!)!! 1 в) Гг(в) —,, в — >+ос.
2х' 17) Получить интегральные представления,оля кнадрата интеграла вероятности 1 2 4 Гг г!Ы ! а) егГ (х) = 1 — — ~ — — — -„— - й, у !+Го о .!-о. 4 Гг П+ ! б) (1 — егГ(ж))з =- — / — — — — - й. / ! ! 12 1 18) Вывести формулы а) 1 — егГ(в) = — — е ' / е +а б) (1 — ггГ(х)) =- --г г / г ' з" о ее!(!) 4! ~/я Доказать равснгтпа. о 2!) С(г) + пал) = !) ггГ ( — — ) . г 12. Упражнения 403 /' 81 и у + сов у о через интегралы Френеля. 26) Вывести разложения интегралов Френеля 12 С1(х) = / сов — М, 2 о -12 Я1(х) = 81п — п1, 2 о кхг г О(х) 81П вЂ” — Д(х) со8— 2 2 2 кхг1 а(х) сов — + 17(х) вш 2 2 ~' Я1(х) = х С1(х) = х где 1)в( . 2)гв 1 3 .
(4й+ 1)' 12 27) Пусть С1(х) = / сов — й 2 о Доказать равенства: 1 81П а) С, (х) + Я1(х) = — / о 1 Г 81П 0) С,'(*)-Я1( ) =-~ о Г- (-1)'( ')'"+' ~-' 1 3 ... (4й + 3) ' 812 и Я1(х) = / 81п — Й. 2 о 12)1 12 111; ~ их~ (1 + 12)1 1+12 М. 1 22) С(х) — 15(х) = — ег1(х1/1). А/21 23) Найти разложение функций Я(х) и С(х) в степенной ряд. 24) Доказать, что при х -+ +оо справедливы следующие соотношения: Ях) —, С(х) —— 2 2 ъ~2~гх 25) Выразить функцию 1 12.
Упраж44еипя [Е!( х))з 2е-э* ~ -г*4 "( + ),!1 1+! е 44) Получить интегральное представление Г1— а) С!(х) = Сэ + 1п х — / й; о Г е' — 1 б) Е!(х) = Сэ + !их+ / 4(!. о 45) Применяя правило Ловителя, показать, что а) 1пп е *Е!( — х)=0; О-4 +ОО б) 1пп хе *Е!( — х) =1 О-4+ОО и получить отсюда соотношение ее Е!( — х) — —, х -з +со. 46) Доказать, что / е" Г(и) 4(и, где Г(и) — произвольная рациональная функция, представляется в конечном виде через функцию Е!(х) и элементарные функции. Доказать соотношения п О е* Г й! Г е' 44) Е~Ь) = — (С' — 44,4 4),.- " 4 ) а=о х Г !4! 44) ьЦ*[ = — (Е ' ', 4,.4,[), а=о [г„(х)[ = О([!их[ " '), х -+ О+, 49) Е!(ха) = С!(х) — 4' ( — — %(х)1, х > О, 2 50) Е!(-хй) = С!(х) + 4 ( — — 8!(х)~, х > О.
2 51) С!(х) = — [Е!( — хет) + Е!( — хе 'й)1, 2 43) Получить интегральное представление для квадрата ин- тегральной показательной функции $06 1 52) 81(х) = — — — (Е1( — хст) — Е1( — хе з )~, 2 2! япх сов х ЗЗ) а) С1(х) = Р(х) — — ®(х), х -~ + х.. х созх е1пх б) —, — 81(х) = — Р(х)+ — ьГ(х), х — ~+со. 2 х х ( — 1)" (25)1 где Р(х) = ~ „+ 0(х " ), х -о+со, о=о ( 1) (~~ ) +О(, -г — з) хгь.ы о=о Выразить через интегральные функции следуюгцие инте- гралы. 68) / в1пЗхС(2хде. 70) / яп 4а % 5х Их. 72) / С1 2х % 2х Их. ~ в1п 5х Г е"'* 56) / — Их.
58) / дх. Г егк / (.12)г егк 62) ! г и. хг — Зх+ 2 64) з г Нх. езе + 2егк + 4 ха+ хг — х — 1 Гхг — х+2 (п х !'лава !l!. Специальные функции !' совг гах 59) / Нх. н)! (1 — -) 'ы. Г х4егк !' 2х — 1 65) ~ — Их. !пх е' 67) ! й, х(0. ,! !г(! — 1) 69) / сое Зх % 2х Нх. 71) / соз2хС( хнах. 73) / %2х814хИх. 407 о 12. У~ролсненил Вычислить +со +ОО +00 28) ~ Т.(/" — 68)6. 26) /' Т.(/' — «1 о х о с +ОО +СО +СО Го)п1 ~ Р . / Г еа1 26) 1 «*(/ — 62) 6*. тт) 1 "т (1 6) 6 о о х т8) 1 *(1 — х) 6*.
о +оо +со +Оа т9) /6 (1 — Й о ах ох 66) 1 6*(1 ' — '" х 1 ' — ', 0). о «х +ОО + 20 +СТО 82) 1 6 (1 — х 1 — 62). о ТХ )тх 82) 1 6*(1 — 66 1 — 68) о х 84) 1о ТМ 83) „ТГТ~: Т))Т ~8 86) 1 87) / -1 < ж ( 1. х. > 2. Привести к эллиптическим интегралам следующие интегралы. 408 88) / Привести к эллиптическим интегралам в форме Лежандра следующие интегралы.
<Ь<а, х>0). <х(Ь). <Ь(а<х). <х <Ь< а). <Ь<х<а). <Ь<х, а>0). (х<б<а). < Ь ( х ( а), <6(а(к). >О, 0 <Ь< а). 89) ,Я~~Рць+~,)) о 90) ьь)ь -~)(..ье) о ь1х ')** *— )))е — ь)) й 92) ьЛР:Рць —, ) о 93) ь )1х ьЫ*' е +)))л — ь') ь 95) ь))е - ))ье- Р) о 96) ьц л — *О) С)**' ' — — ьь'')) ь 97) ь))*' - ")) —.* ь ) 1 в 2 1 98) ьЛР+Рць .ь,) о ь 'лава 111. Г.'пец)ьальные функции (О (О (О (О (О (О (О (О (О (х 410 Свести вычисление следуазщих интегралов к вьгзиз:лззнию значений эллиптических интегралов в форме Лежандра, 1/г 113) з(1 — хб ' о зз 115) а 129) за ззаз- и' ' о 131) з!х ,гзз з,*.,— з' о г 117) ~ ' з 119) з/ 4 — Р3 г 1 121) / з/х.
о з/4+ хг з/4хг — 1 з/г ь/б 125) сов з/зз/р 25) ззз .ь'з ь/б ззз) ! зз з /з- Ыззз о ! ',зизззз !!!. ! 'зн ииильньзе ф1/нкцизз ! 114) ,~ 1Р3) ~ — '- ~'„. з з 1 г,! 118) б з зз*з.зз о г 120) .зФз — -з)Зз)) з/г 122) з!х. о зз/3 124) зЗз: .Ь з ' зз/б 1 г 126) бар.
з — з ~з о 1 /-. 4 128) — з/х. Л:Р.Л: хг о ь/г 2бзп 1о — 1 030) зз — з' ' 'з о 132) , гзз зл з з' 1 12. Упралсненил 411 г 133) Ил *~С*~- 2 135) Я*+О(*.~2) 134) — гз + 4 — ),б 136) 4) +О)(*+2) 137) Написать разложение в степенной ряд по й функций Е(й, уг) и Р(л,)р). 138) Проверить, что а) г"(й, р) = — К(й) — яп рсоб)р х 21о (1 12 24 2.4.6 х -агй' + — а454 + — абй' + ..
б) Е(й,у)) = — Е(й) +япу)соб)р х 2~7 2 1 4 13 б х ~-агй + — абй + — абй + )2 24 246 где 131.2355,21,4 аг=-, аб — — — +-бшг)р, аб= — + — яп~)р+-81п )р, 2' 24 4 ' 246 46 6 357 57 г 7 4 1 ав= 2,4,68+ 4,6,881п''Р+ 6881п''Р+ 881п')Р и К(к), Е(й) находятся из формул (10) и (11) или таблиц. 139) Показать, что 12.32 12.32.52 К(й)= — (1+пг) ~1+ — т + — пг +, пг~+ .. 2 1 22 22 42 224г 62 1 — й' где пг =, й' = АЙ(1 — кг. Заметим, что этот ряд схо- 1+ й'' дитсн быстрее, чем соответствующий ряд (10) гл.
П1 2 4, поскольку гп ( й . 140) Показать, что б+ х ( 2 12 1232 2(1+ т) 1, 22 22 42 2242.62 Глава 1Н. Сиециольнае функции 412 г где т = —, /с' = 1/1 — Ьг. Заметим, что этот ряд схо- 1+6'' дится быстрее, чем соответствующий ряд (11) гл. 1П г 4, поскольку гн ( Ь . 141) Доказать, что если а > О, 6 > О, то е/г в/г 40 агсовгВ+Ьгв)п В а)С=/ о а+Ь где а1 = —, 6| = з/аЬ; 2 ь/г 40 б)С= о и=2,3, а„|+ Ь„ где ан —— , Ьн — аи гЬн ы в = 2,3, .. 4 2 в) 1пп а„= !пп 6„= д(а,Ь); н-+со н-+ос г) д(а, Ь) = —.
2С 142) Используя равенство г) задачи 141 и калькулятор, вычив/г Ф 1~. р о г 143) Найти длину дуги эллипса — + — = 1 (а > Ь > 0) от аг Ьг точки А(а, 0) до точки М(л, у), лежащей в первой четверти. 144) Найти длину лемнискаты (в~+уз) = 2а~(яг — у ), а > О. 145) 1!оказать, что вычисление дуги гиперболы — — — = 1 аг Ьг приводит к вычислению эллиптических интегралов. 140) Ноказать, что длина кривой г = асов 0+ 6 (а > О, Ь > 0) (24и61 равна 4(а+ 6)Е 1 а+ Ь)) 147) Найти длину кривой (крнвая Вивиани) г = Нв!п 1, у= Вв1п!сов!, е = Псов!.
418 1 12. Упражнения 148) Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами, один — радиуса г, а другой †- радиуса Я (г ( В), оси которых пересекаются под прямым углом: х +у =г, уг+г =В. 149) Найти площадь поверхности тела, ограниченного двумя цилиндрами из предыдущей задачи. 150) Используя разложение эллиптического интеграла Е (в) в степенной ряд, вычислить е/г Е(Ь в1п О) в1п О . г 1 — Ьгв1п 0 о 151) Доказать, что ИК Е К ~),ц, й(1 5г) (И Е вЂ” ХГ б) — = <й й 152) Доказать, что 1 в/г 1 Г го Г вхсоб х а) / К(й) Йй = / —, о) р = 2 / — ~Ь", в~и ~р ./ о о о б) вычислить с точностью до 10 г постоянную Каталог Г носок х на С = / Их, используя разложение в ряд функции о у = агс18х. 153) Доказать, что в) ЕК'+ Е'К вЂ” КК' = —, где К' = К(в'), Е' = Е(й'), 2' 1л= Я:И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
