И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 36
Текст из файла (страница 36)
<Функции Бесселя Уравнение 1, / иг~ У + — у+(1 — — /уе О (, хг/ называется уравнением Бесселя, а любое его решение — функцией Бесселя (цилиндрической функцией). Решение уравнения Бесселя ср ( «+гй й1Г(й+ и + 1) се ( ) -и+ге ЙТ(х — и+ 1) й=е называются функциями Бесселя первого рода с индексом и. Если и не является целым числом, то .7„(х) н Х „(х) линейно независимы и тогда общее решение уравнения (1) есть у(х) = С1 А (х) + Сг 7-и(х) ~ где Сг и Сг — произвольные постоянные.
При целом и функции .1„(х) и,7 „(х) линейно зависимы, причем если и = и, и б Е, то 7 н(х) = ( — 1)" 7»(х). В случае натурального и (и = п) функция Бесселя записывается в виде ряда (,) +гь л'„(х) = ~ (-1)" я=о который абсолютно сходится на всей числовой прямой. Простейшими функциями 1„(х), и б л., являются,7е(х) н,У1 (х). Все другие функции с целым индексом выражаются через них с помощью рекуррентного соотношения 2и ,7„г(х) + 7„+г(х) = —.1„(х), и = 1,2,.... Через функции Бесселя выражаются и нх производные: 7е(х) = -З1(х) !'лина П!. Специальные функции 374 2,1„'(х) = 1„~(л) —,!и ы(х), и = 1,2, Пример 18. Докажем, что функция И'(г, 1) = е й (' ) ), 1 ф О, является производящей функцией для функций Бесселя с целым индексом.
Решение. Разложение функции ет(~ т) н ряд по степеням 1 получим как произве!)ение двух степенных рядов соответственно для функций е ~ н е й,объединяя члены, содержащие одинаковые степени 1. Имеем Перемножая эти абсолютно сходящиеся ряды, получим абсо- лютно сходящийся двойной ряд цл=е Поскольку у такого ряда в силу его абсолютной сходимости можно собирать члены произвольным образом в скобки,то +ОО преобразуем этот двойной ряд в повторный ряд ~ ~А„1", где А н=~ ( — )... и= — 1,— 2,...
1=0 Из видал„(л) и з „(я) находим, что А„=,1„, А „= ! „. Следовательно, )У(я,1) = ей(' ) = ~ ),1„(я)1" = = ! ( )+ ~~', ! (к)(!" +( — 1)"! "), 1 ~ б. и=1 1 6, Функции Бесселя 375 Функции Бесселя второго рода определяются формулами 1„(х) сових — 1 „(х) и(х) = Е1П КН если и не является целым числом, и У„(х) = 1пп У„(х), если и — целое число. Функции 1„(х) и У„(х) всегда линейно независимы. Для функций Бесселя 1„(х) с произвольным индексом так- же имеют место рекуррентные формулы, позволяющие на- ходить значения функций Бесселя и их производных через функции Бесселя, например, 2и 1н 1(Х)+ 1„+1(Х) = — 1е(Х), 1н-1(х) — 1„.1.1(х) = 21„(х), †( 1.( )) = * 1. — ( ).
Другие формулы такого типа, а также многочисленные свой- ства функций Бесселя приведены в задачах. Специальный класс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равным половине не- четного целого числа. В этом случае они могут быть выра- жены через элементарные функции. Пример 19. Выразим через элементарные функции функ- цию 1112(х). Решение. По определению 1112(х) имеем .. (,), (,))+- ~~~-' Г(й+1)Г(й+3/2) ) 2~ 'с~ 11ь 2Ь+1 х ~-~ 1 22а+1,й)Г(й ! 3/2)' 3'! (2й + 1)!! Поскольку Г й+ — ! = "1/к, то 22" +' й)Г й+ -) = 2" х!(2Й+ 1)!1~/к = (2й+ 1)! 1/к, 3'1 Хаааа И1. Г'неинальные функции 376 l 2 ь хзье1 и следовательно, 717з(х) = ~/ —. У ( — 1)" .
Так как ')/ '„, (2й+ 1). ОО за+1 х ' ( — 1), есть разложение в ряд функции в1вх, то (2й+ 1)! в=а l 2 окончательно имеем 717з(х) = )( — сйп х. Аналогично дока- 12 зывается, что 7 17з(х) = ~~ — сове. Используя рекуррентные формулы, получим, что /~ а 7 +1/г(х) = (-1) и =0,1,2,.... В различных приложениях полезно знать интегральное представление функций Бесселя (см. задачу 248) 1 Г У„(х) = — / сов(хв1п1а — п1а)И1а, и =0,1,2, а Пример 20. Вычислить — *Ха(Рх) Нх (о > О, )3 > О). а а 1 Решение.
Поскольку 7а(х) = — ~ сов(ха)п 1а) Иу, то дан а ный интеграл можно записать в виде а а Так как ~е "* сов(Щ в(п 1а)~ ( е ~~, то интеграл е * сов(~Зх в(п 1а) Их о у 6. Фдницан Бесселя 377 сходится равномерно относительно гр на отрезке [О; я), поэто- му -ах 7(а,)7) = — / е ххсоо(!Ухогпр)дх гЬр= о о гг,/ аз+/1~о!в'!о яа./ 1+ Щогп !о о о 1 2я 1 гга ф Я /ао+)72' Пример 21. Вычислить е ' 3,(бх)х+'г(х, а>0, Ь>0, и> — 1. о Решение. Заменим функциго Бесселя степенным рядом (- )" ®"" А (х) = 7 и проинтегрируем почленно, тогда е Х„(Ьх)х~+ г1х = о ОО ( 1)» (ох)а+2» — е "* х"+'11х~ ,/ ~- Ь!Г(й+ и+ 1) — а х 2~ -!-2»Е1 Ь!Г(Ь + и + 1) 1,2 »=о о +аа ( 1)» Ь и+2» ! +аа 1!"+» 11!— Ь(Г(Ь+ и+ 1) ! 2/ 2оз.+2»+2 / »=о о х» Ь" + ( оао) Ь" г* (2О2)и+! Е Ь! (2О2)х.»! 1 — о !угаси П!.
Оиеииилвиыс угуикггии 378 Законность перестановки порядка интегрирования и суммирования следует из равномерной сходимости ряда, стоящего под знаком интеграла. При х -+ +оо для функций д,(х) и 7 (х) справедливы асимптотические формулы ,7„(х) = г/ — соз ~х — — и — — ) + О ( — ~, 1/ лх ~ 2 4) (,хз/2) ' У „(х) = )/ — сов ~х+ — и — — ) + О ~ — ) . )/ лх 2 4 ~,хз/2) ' Отсюда можно найти приближенные значения корней функ- ций Хя„(х).
Так, например, для функции де(х) приближенные значения корней находятся из уравнения 2 Г лх — сое ~х — -) = О, 1 д г д$/'~ 1 дгИ вЂ” — 1т — ) + — +ЛЪ'=О тдт 1 дт) 2.2 д~р2 (2) и краевым условиям У(т,уг))„-„, = О, Щт,гр)( ( оо, Р(т,го) ф О. Полагал Цт, 1и) = 21(т)Ф(22) и разделяв переменные, получаем для В(т) и Ф(гр) уравнения Фи+ иФ= О л гг 3 откуда хь — — лй+ —, й Е К, т.
е. хь лй+ -гг, й Е У. 2' ' 4 Известно, что при больших х корни функций 7„(х) удовлетворяют асимптотическому равенству л 3л г'1Л хс = (21г+и) — + — +О ~ — ), и Е.'Е. 2 4 г,х)' Важность изучения функций Бесселя определяется большим их приложением в задачах математической физики. Так, например, простейшая краевая задача длв уравнения Бесселя на отрезке [О; те) связана с задачей о собственных колебаниях круглой мембраны, т. е. с задачей нахождения функции И(т, уг), удовлетворяющей уравнению 1 б. Функции Бесселя 379 -( — ( — )),-(~ — — ",,)»=о, оса=о, условие периодичности для Ф()а) дает и = пз, где и— целое.
Таким образом, функция В(г) должна определяться из уравнения Бесселя ,( /,(В, пг — ( г — ) — — В+ЛгВ=О (. (, (.) при граничном условии В(го) = 0 и естественном граничном условии ограниченности в точке г = 0: )В(0)) < оо. /хЛ Полагая х = з/Лг, у(х) = В(г) = В ~ — ), получим урав- )~,Гл) ' пение — — х — + 1 — — у — О, у(х) фО, с условием у(з/Лго) = О, !у(0)) < оо. Отсюда находим у(х) = А)„(х), н в силу граничного условия у(зГЛю о) = 0 имеем 7»(грГЛ) = 0- Это уравнение относительно Л имеет бесконечное множе- ство нулей р,, рз,..., р„,, .. и и значит, уравнение (2) име(и) (и) (п) ет бесконечное множество собственных значений Л(") = — , тп = 1, 2,..., которым соответствуют собственные функции / (и) В(г) = А)» ~ — г ~ . га / (и) )лш Функции )и — г ортогональны с весом г, т.
е. (~ го ) / (и) ~( / (и) Хи г,7» — г г((г = 0 прн ш~ ф тпз. )Ь»1 )низ го ) ( га ) а Глава 1П. Специальные функции 380 Кроме того, имеем равенства го ) 2 о в частности, ~'о го ) 2 о В силу общих свойств собственных функций краевых задач имеет место Теорема. Любая дважды дифференцируемая функция /(г), ограниченная в окрестности точки г = 0 и обращаю. ынся в нуль при г = го может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд ОО ( (а) Дг) = ~ ~А У„~ — г), аь=1 го где Эта теорема является аналогом теоремы о разложении в ряд Фурье по ортогональной системе, перенесенной на системы функций ортогональных с весом. Аналогично предыдущей решаются задачи об охлаждении цилиндра, о дифракции плоской электромагнитной волны, падающей на бесконечно длинный проводящий цилиндр, о поле точечного заряда д, помещенного вблизи прямолинейного края проводящей пластинки, находящейся при нулевом потенциале и т, д.
Все эти задачи и им подобные основываются на разложении в ряд заданной функции по цилиндрическим функциям, причем вид розлоххения определяется конкретными условия- 1 6 Функции Бесселя 331 Лт) = ) Спи'А (хипа' 1, О < 1 < а, а) юи=1 (3) где 1(т) — заданная в интервале (О;а) функция. 1„(х)— 1 функция Бесселя индекса и > — —, х — положительные корни уравнения Х„(х) = О, расположенные в порядке возрастания. Коэффициенты С,„находятся из свойства ортогональнот, сти с весом г системы функций 1г (хт,ь — ) ~ ш = 1~ 2 а ~г1. (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
