И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Эйлеровы иитеералы График функции у = Г(х) приведен на рис. 17. Рис. 17 Пример 7. Вычислить вх. о Решение. Используи представление +СО +СО (~+.)' ) (~+*):+' о о Глава П1. Специальные функции получаем, что ' =Г 1+- à — =-à —, Г сю х г ..*=*П( — — ), ь~< . „гп,гг пьи 1 Полагая здесь 1гх вместо х, получаем -".*=- П ~1- — ') )*(< ,пг ) и1 =1 Поскольку Г(х) = — П, "., Г(х+1) =хг(х), 1 (1+ -„') х, 1+ — „ Г(1 —.) = —. (-.) = й (1+ Ц и то Г( )Г(1 ) 1 й (1+Ц (1+ ) (1+ -*.) ( — —:) Значит, 1 -П вЂ” ' 1— и=1 иг Г(х)Г(1 — х) = т. е. Г(х)Г(1 — х) = —,, х ~ и, п Е л.. в(п ях 1 /1ь1 Положив здесь х = —, получим Г ~-) = 1/к.
2' ~,2) (11) Известна формула представления функции в1п х бесконечным произведением 359 1 5. Эблеровы интегралы Из формул (2), (9) и (11) следует, что +а« = (,-)= Г(х)Г(1 — х) х аг = В(х,1 — х) = (1+ г) ' Г(1) вш в.х ' о О < х < 1. Пример 8. Определить область существования и вычи- +о« х«ъ слить интеграл ах, (а л. йх«)в о и > О. х Решение. Введем новую переменную 1, полагая Н = х, ~ь) 1 ха ~з-1 а тогда — ~-1) .— М = Йх, поэтому и (а + йх™)в пав,/ (1 + 1)г о о И) пав / (1 .1 1) -"+'-+в- -"+'- о 1 ( -;> .~.1) Следовательно, данный интеграл сходится при условии т+1 О< < р. Заметим, что подобные преобразования явля- и ются обратимыми, поэтому из сходимости последнего интеграла следует сходимость исходного.
Таким образом, при решении задач подобного рода можно не выяснять предварительно сходимость заданного интеграла, поскольку она эквивалентна определенности полученных Вета- или Гамма-функций. Пример 9. Определить область существования и вычи- «/2 слить 1 = / вш~хсов" хдх. о Решение. Положим в1пх = ~Л, 1 > О. Тогда саввах = 1 = — си, Глава /Л. Специальные функции 360 а а Следовательно, данный интеграл сходится при условии т+1 п+1 2 > О и — > О и его значение равно 2 1 пь+1 и+1 Пример 10.
Найти площадь области, ограниченной кри- вой(л +у) =я у. Решение. Поскольку я н у входят в данное уравнение в четной степени, то кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Следовательно, достаточно найти пло- щадь ~Рь~ области Рь, ограниченной этой кривой и осями координат и лежащей в области х > О, и > О. Введем поляр- ную систему координат, совмещенную с декартовой систе- мой, и сделаем замену я = гсову, у = гв1п у, тогда уравне- ние кривой в полярной системе, ограничивающей область Ры запишется в виде г = г сов уьйп ьа, т. е, г = соя 1ав1п 1а, 12 в л 2 в О ( 1а ( —. Следовательно, к/2 Г, 1 /-"+1 -+1~ )РЫ' = — 1 соей 1ав)п* ~о<йр = -В ) з 2/ 2 ~, 2 ' 2 ) (7 6') 1ГЦ) Г(-,') 2 ~хб 6/ 2 Г(2) =-Г 1+ — à — = — à — Г и площадь всей области, ограниченной данной кривой, есть л 2к.
4.—, т. е. —. 6' 3 +оь 1 !и я Пример 11. Вычислить 1 = ~ йя. =l 1+. й 361 1 5. Эйлеровы интегралы Решение. Полагая х = 1, получаем, что Г 1-зйв)„г1 — а. 64,/ 1+ $ а +со +со 3~41пг1 Г 11-1! Пг 1 Интеграл / й1 равен /,, й1 и явля- а а (+) ется второй производной функции В(р, 1 — р), вычисленной в 1 точке р = —. Позтому 4 4 =-'( —:(:")),—:=-'[(-':::),) „,= 64 вгя яр -в ~г язв)пг в +2совг 4 из 1+ ( г ) Зяз,/2 4 ~ г/ Пример 12.
Доказать формулу Лежандра Г(~)Г *+ — =, Г(2*). Решение. Преобразуем интеграл 1 В(я,з) = ~1 '(1 — 1) в1 следующим образом: В(*,*) =1 [- — ( — — Р) 1 й = 21 [- — (- — й) ~ л 1 1 и сделаем в нем замену — — 1 =- г~/и, тогда получим 2 2 362 /',1аоа В!. Специальные функции В(х, х) = — — ) и 1/2(1 — и)е Ии = В 1 —, х 2гь-1 1 2' о Выражая функцию В(х, у) через функцию Г(х), имеем Г( )Г( ) ! Г(1/2)Г(х) Г(22) 2г — 1 Г(!/2+х) ' откуда получаем искомое соотношение. Пример 13.
В 2 4 гл. 1П было получено соотношение ЕЛ'+ Е'К вЂ” КК' = С, С = сопя$ (12) (относительно обозначений см, там же). Для нахождения кон- 1 станты С возьмем частное значение к, например, й = —. Л' Тогда /л = к, и значит, Е' = Е, К' = К, и тождество (12) примет вид (2Š— К)К = С. Проделывая в интегралах ~г/2 я/2 г=~ Г",а,, к=( о 1 — — ьйп у1 последовательно подстановки соя!а = 1 и 1 = х, приводим их к виду о= 1/,-1~ге-,Г'Р1,+-'~'О-,1-'ьь)= 1 (1 4ъ'2 ~ о 1 -3/4 -з/4(! )-1/г,1 2ъ'2 ./ о 1/4 — 1(! )1/2-1,1 В 22/2./ 2~Г2 г,4' 2) о Поэтому 2Š— К = х '/4(1 — х) '/~1/х = — В о 1 5.
Эйлеровы интегралы 363 и тогда С= К(2Š— К) = —  —,— .— В 1 Г(3/4) Г(1/2) Г(1/4) Г(1/2) гг 8 Г(5/4) Г(3/4) 2 Пример 14. Доказать, что à — à — .Г =(2гг) 1 и Ег Г Г ' Г Г Г " Г Поскольку г ( — ") г (-) = . '., то „«-1 3 «« яп — ° 81п 2- °... ° 81п(п — 1)— «' «« « «-! '1 1' . 1ГР Длл вычислении 1 1 81п — рассмотрим тождество и р=1 л« вЂ” 1 / 2ргг,, 2рн'1 ~Л вЂ” СО8 — — ГЯП вЂ” ~ =п~ и П,Г' р«1 В пределе при з -+ 1 имеем «-1 "=П с 2рн, .
2рн'1 1 — сов — — Гяп — ~, р=г откуда «-1 -=П ! 2рк,, 2рл 1 — сов — — Гяп — = 2" и и П.— „ рн р=г р=1 и натуральное. Решение. Обозначив данное произведение через Е, рассмотрим его квадрат Глава lП. Специальные фунь.ции :5б4 тт. ри и (2л) Г Поэтому П е!в — = — и, значит, Е = и — 2а-1 1/и о=1 а+1 Пример 15. Вычислить 1(а) = / !п Г(х) Ых, а > О. а Решение. Заметим, что функция 1пГ(х) непрерывна как функция двух переменных на (х; о) = (О;+со) х (О;+со). Таа+1 ким образом, при любом а > О интеграл 1п Г(х) 15х есть а собственный интеграл, подыитегральная функция в котором непрерывна как функция двух аргументов х и а, а пределы интегрирования — непрерывные функции параметра а. Пре- 1 дельное значение этого интеграла — интеграл а( 1в Г(х) Их -- о является уже несобственным интегралом, так как подынтегральная функция )п Г(х) является неограниченной на (О; 1).
Г(х+ 1) Из равенства Г(х) = получаем, что Г(х) 1 х -+ О+, откуда из равенства 1пГ(х) =!пхГ(х) +!и —, следу- 1 1 ет, что 1п Г(х) 1п —, х -+ О+, и следовательно, з~ !пГ(х) 15х сходится. о Дифференцируя данный интеграл по параметру а, имеем Г(а) = 1пГ(1+ а) — !и Г(о) = 1п(аГ(а)) — 1п Г(а) = 1и и, откуда 1(а) = а(1ва — 1) + С, (13) где С вЂ” константа. а+1 Ин'геграл / 1и Г(х) 1(х стремится к нулю при о — ь О как 1 непрерывная функция переменной а. Следовательно, для лю- 365 2 5, Зг/леровы ингпеералы бого в > О существует б > О, такое что для любого о, удовле- творяющего условию О < а < 6, о < 1, имеем 1 а+1 а ~ г1ег.
— / ~ грег* а ~~ га)г. г о а о а+1 ... / 1 га1а~а 1 а+1 1 1пп 1п Г(х) г/х = /!п Г(х) г/х. а-40+ / а 0 Для вычисления интеграла 1 = ~1пГ(х)г/х заметим, что 1 о 1 = З~ 1п Г(1 — х) г/х. Тогда о 1 1 1 = — / !п(Г(х)Г(1 — х)) г!х = — ( 1п, г/х = о о 1 1 1 2 2у (1п х — 1п в)п ях) г/х = — ! п х — — ! п огп лх г/х = — ~(„ о а 1г/2 1 1 /, 1 1 / = — 1па — — / 1пв!пхг/х = — !пх — — ~ 1по)пхг/х. 2 2х,/ 2 гг у' о а Для вычисления этого интеграла положим х = 2!, тогда а/2 а/4 11 —— / !пв!пхдх = 2 З~ 1пв!п2!г/! = а о 1г/4 а/4 = — !и 2+ 2 ~ !и огп / г!! + 2 ~ 1п сов ! г/!. 2 а о гг Подставляя в последнем интеграле ! = —, — и, приведем его 2 Глана !!!.
Специальные функции 366 а/2 л к виду 2 / !пз)п иг(и, откуда 1г —— — )п2+ 2!ь и значит, 2 а/4 12 — — — — 1п 2. Поэтому 2 1 1 1 г х 1 = з~ 1п Г(1 — х) г/х =- — 1п гг — — ~ — — 1п 2) = )п Лх. 2 гг~ 2 о Переходя к пределу при а ь О+ в (13), имеем )пп а(!п а — 1) + С = 1п ~/2~г, а-+0+ откуда С = 1п з/2х, и следовательно, !(а) = 1п зг/2~г+а(1п а — 1). При вычислении многих интегралов большую роль играет так называемая логарифмическая производная функции Г(х) — функция Н 1п Г(х) Г'(х) г!х Г(х) именно, важны различные ее представления в виде интеграла. Рассмотрим тождественное равенство при х > О, у ) О Г(у) — В(х,у) = Г(у)— Г(х)Г(у) Г(х + у) Г(у).у Г(х + у) — Г(х) Г(1 + у) Г(х + у) — Г(х) Г(х + у) у Г(х + у) у Если перейти к пределу при у — + О+ в этом равенстве, то в силу дифференцируемостн функции Г(х) и ее непрерывности получаем,что 1пп (Г(у) — В(х,у)) = Г'(х) л-+ а+ Г(х) +аа +аа 1л ' Поскольку Г(у) = / !л е гг!!, В(х,у) = / г!!, (1+ !)а+и Поскольку для О < е < х е -»« е -»« 1 1 е»( 1)(е» вЂ” 1) (1 + е)* 1 е' < !П(1 + с) е + е)*-' 2(1+ е) ез !п(1+о) = е — — +о(ез), е — ) 2 и, значит, с1,1 ~ (.-" ..-"* ) о Полагая в (14) х = 1, имеем о Вычитая зто равенство из (14), получим 1 Введя новую неизвестную — = з, получаем формулу Гаус- 1+( са — — Г'(1) = ~ 1(».
Г'(х), Е 1 — е* Г(х) / 1 — з о (15) 1 Поскольку = 1+о+ з~+ ., Ц < 1, то 1 — е 1 1 1 г*-1 йз=~(1 — е ')(1+я+о'+ ) Ь 1 — г о о 1 — ~~, '(л з + — 1),(г м=о е-» е-»(е» 1) е-»» е— Ии < 1 — е» е(1 1»(1Ч») 1 лава !П. Специальные функции е -«« О+,то !пп 1 Ни=О с-+о+ / 1 — е» 1«(1+») 1 5. Эялероеы интегралы 369 Прн любом и ) 0 члены ряда, стоящего под знаком интеграла, являются непрерывными и знакопостояннымн на [О; 1] функ- 1 — ге циями, причем сумма ряда, равная, непрерывна на 1 — г (О;1] при любом я. Следовательно, этот ряд в силу георемы Дини сходится равномерно на (О;1] и его можно интегриро- вать почленно. Итак, (16) Отсюда получаем, что сР 1п Г(я) «~ 1 л з Л (т+ )з и вообще Дифференцировать почленно ряды по я можно, т.
к. они схо- 1 1 дятся равномерно вследствие оценки < —. Инте(т + я)" та грируя почленно ряд (16) по г от 1 до л > 0 (это законно в силу его равномерной сходимостн), имеем равенство 1и Г(я) — Г'(1)(я — 1) = ~~( — 1и— от+1 т+1/ Полагая здесь г = 2 и учитывая, что 1пГ(2) = О, получаем равенство „,( ~( 1 2~ ) 370 Глава !П. Специальные функции т, е. т(ц= — г ( — — ~ "). пи=1 Частичная сумма Яп этого ряда равна 1 1 1 — 1+ — + — +...+ — — 1пп 2 3 п Следовательно, в силу равенства 1 1 1пп ~1+ — + + — — !и и = Сэ и-ь+оо 1, 2 и где Сэ — постоянная Эйлера, получаем, что Гь(1) = — Сэ, (Сэ — О,й77) (17) Пример 16. Вычислить ~ е к 1п ха!х, о Решение.
Полагая х = 1, перепишем исходный интеграл +00 в виде 2 ! ! Пге '!и !ай Рассмотрим функцию Г(х) +00 / 1* ~е ' а!. Последовательно имеем о +во +во Г'(х) = /!пИ* 'е 'М, Ги(х) = / 1п !ц' 'е 'й, о о „ /!'г и следовательно, данный интеграл равен 2à — . Значение ~,2,) Ги — выводится иэ формулы (16): 1,2/ И 1п Г(х) (Г'(х) ! Га(х) — (Г'(х)) ~ ! ~1хг ( Г(х) ! Гг(х) л- (и + х)г 1 При х = — имеем 2 Ги (г) Г (г) — (Г'(г))' !г(й) ~ (2п-1-1)г' 371 1 5. Эйлеровы интеералы П оскольку по формулам (15) и (17) 1 1 Г(г) 71 — 1 '( Г а о о = Сэ — 21п2, то Г' — = ~/х(Сд — 21п 2) .
12/ Поскольку в=1 «=1 в=1 ви1 то 1 Гкг „г ) „г (2п — 1)г 2 (, 6 12,/ 8 и 1') 4'в .Г (г) + (Г' (г)) Г (-,') = — /к+(~к) (С -21 2) = —, +(С вЂ” 21 2) 2 2 Пример 17. Вычислить интеграл 1 1(а,А7) = (1 — х")(1 — хл)(1 — хг) (1 — х) 1пх дх, о «> 1 Ф> 1 7> 1 а+1г> — 1, а+7>-1, р+7> 1, а+р+7> 1 ° Решение. По формулам (15) и (17) имеем, что 1 И!пГ(х) /' 1 — 1* Значит, 1г — Ьо И 1п Г(о + 1) Ип Г(р+ 1) и'1— 1 — 1 иО 'гр о 1 Глана ПД Специальные функцууа 372 1 Г (1 — Р')(1 — 1Л)(1 — 1з) Рассмотрим интеграл 1 = 1 — у11.
Его (1 — 1) 1п1 а 1 (1 — уе)(1 — 1 ) производная по а равна — = — уу . Й. Поуу а 1 — 1 а скольку 1а(1 1Л)(1 1У) (1а уа+Л) (уа+У 1а+УУ+У) то Н /Н1п Г(а + ф+ Ц Н1иГ(а+ Ц й 'у, у1а ауа уу1ПГ(а+)3+7+ ц уу!пГ(а+ у+ ц у1а ууа Г(а+ ЦГ(а+ ф+ у+ Ц у1а Г(а+ф+ ЦГ(а+ у+ Ц Г(а+ ЦГ(а+,9+ у+ Ц Г(а+11+ цГ(а+7+ ц При а = 0 имеем у(0, /3,-у) = О, следовательно, , Г(ЦГ((1+7+ Ц С(уу 7) = 1" Г(,1+ цГ( + ц Г( + ЦГ( +)1+7+Ц Г(а+ уз+ цГ(а+ у+ ц Г(Р+7+ Ц " Г()1+ ЦГ(7+ Ц Г(а+ ЦГ(ф+ ЦГ(у+ ЦГ(а+ф+ у+ Ц Г(а+ ф+ ЦГ(а+ у+ ЦГ(ф+ у+ Ц 1 6. Функции Бесселя 373 ~6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
