И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть гр(х,Я) обозначает сумму любого числа первых слагаемых тригонометрического полинома Я(х, и), определенного в задаче 17. Доказать, что для любого б > 0 существует такое число Мб, что ]гр(х, п)] < Мб для всех х: б < ]х] < я и всех и Е И. 19. Пусть(„> (х) =Ьб(х,2~ ),гдетригонометрнческийполинога Я(х, и) определен в задаче 17. Доказать, что функция Ь 5. Теоретические задачи 321 1 .Г(х) = ~ — Ят(х) непРеРывна па Яг, а РЯд гг(1) Расходитсв и!з т=1 при х = О.
20. Доказать, что для любой функции г' Е В( — гг, !г) и всех и Е И определены числа 1 Г 1 а„= — д! у(х)сояпхдх, Ь„= — д! ('(Х) 81ппхдх, и = 0,1,2, 21. Функция з определяется на [ — !г; л] следующими условиями: хе( — „! „-11, г!с!'! У(х) = 3".юп4" х, ,г'(0) = О, У(х) = — у( — х), х Е [-гг;0). если а„= а [ — ), Ь„= а [ — ), и -+ оо, то а(1) 4 З на [ — к; л]. Показать, что а) у Е С[я,!г] для любого 8 > 0; б) У Е В( — я', !г); в) 1пп Ь„= оо, где Ь„= — / У(х)81ппхггх (ср.
с задач-+сО л,/ чей 18 гл. 1 $5). 81П ПХ 22. Пусть у(х) = ~ ~—. Показать, что / Е В( — гг,л), и но з Е В [-я, гг]. 81П ПХ 23. Пусть у(х) = ~~! —. Показать, что 1п и У Е С ([ — !г; !г) 1 [ — е; е)) при любом 8 > 0: 22?, по з' Е В( — !г, !г). 24. Пусть !' Е С[ — л; !г) и ряд а(з') сходится к функции у(х) для всех х Е ( — !г;!г). Доказать, что 1(х) = у(х) для всех х Е ( — !г;я').
25. Пусть 2я-периодическая функция з" Е С[ — я;к] и а„, ܄— ее коэффициенты Фурье по системе (!рг). Доказать, что Глопи П. Ряди о!>урье. Преобразование Фурье 322 Ответы, решения, указания 1. Реонение. Из определения зп(х) получаем, что 0 < ~З'з1> ) дх < 2д„— 2 о и так как дп -з +оо при и -+ оо, то, следовательно, о 11уеть хо б 10; 1].
С одной стороны, существует такая подпоследовательность п„1 +ос, что 1п 1хо) = 0; а с другой стороны, существует такая бесконечная последовательность ~тп, 1 тп, 1 и; 1 +оо, что хо б ~ — — —; — + — и, следователь'12о" 2о" ' 2о" 2о" 1 но, 1п,(хо) > —; откуда и следует расходимость последова- 2' тельности Цп(х)). 4. Указание.
Пункт а) проверяется непосредственно. Пункт б) доказывается по индукции. Длв доказательства пункта в) воспользоваться равенством К1о1(1,х) = 11'~ 1 1(1,х)+" ЛО1«)у01(х), 1 < д < 2". 5. Рещение. ПУсть хо б (О; 1) и не Явлаетсв двоично Рациональным числом. Тогда, применяя результаты задач 2 и 4, получаем, что 1 1 где 11о1 есть интервал длины — нли . Если же хо б и> 2п> 2п>+1 (О; 1] -- двоично рациональное число, то либо 11"~по1(1, хо) равно 2п'+', 2'и нли 2'и па интервале 11о1, включающем хо, и Ответы, решения, уиазвния 1 1 1 длины, — нлн — соответственно; либо К1в1(1, хв) = 2ы+1 ' 2"* 2'" П~ = 2 на интервале 1® = хв — , .х н 2~ ' на нн,н-,,+, в 1 1 тервале 11ч1 = хв,хв+ —,~(.
В первом случае для 5~~1(хо) справедлина формула (в), а во втором — равенство ~Я1(,) = — 1 У(1) и+ — 1 У(1) а 1 Г 1 2 ф1 ! 2(1~~ч1 ) (см. рис. 12), В силу непрерывности 1 в обоих случаях имеем Рнс. 12 Глава П. Ряды Фурье. Иреабразааааие Фурье равенство !пп Вт(д)(хо) = Х(хо). 6. 1'ешение. Интегрируя и раэ по частям, получаем равенство ! Р„(х)Р (х) дх = 1' ™ ( ) (ддп( 1)д-1((1 2)п)(п-д) ((1 2)т)(т+д — 1)+ (П1)222п+1~~ г д=1 1 +( — 1)" о~ (1 — х )" ((1 — х )т)(т+") Йх) Так как — 1 и 1 — корни порядка и многочлена (1 — х ), чо 2 и отсюда получаем, что 1 1 -1" ! +! Р ( )Р ( ) д ( ) ( и+ ) 1 (1 2)п((1 2)т)(т+и) д ( !)222п+1 / — ! -1 Если гп < и, то степень многочлсна (1-хо)™ меньше, чем од+и, и следовательно, 1 1.
™ Р„(х)Р„„(х) Ых = О. -1 Если т = п, то наскол!а!у старший коэффициент многочлена (1 — х2)" равен (-1)", то 1 1 = (.1) — ! -1 (2п+ 1)! ( 11 (2п+ 1)! 'В п+1,— ~= ' =1. (и!)222 +! ! ' 2/ 2пвЦ2п+ 1)п 7. Указание. Если 2 Е В2[ — 1,1), то для любого е > О существует тригонол!етрический полинам п1 ао 7т(х) = —. + ~(ап соя пах + Ьп о!п пах), 2 и=! Отвея!и, решения, указания 325 Е приближающий !" в среднем с погрешностью не больше, чем —, а тригонометрический полинам на [-1;1] равномерно приближается алгебраическим многочленом с погрешностью не е больше, чем —. 2 8. Решение.
Представим многочлен П„(х) Е А„в ви» де П»(х) = ~~', оп,Р»(х). Так как степень многочлена Р,„(х) ~»=0 равна т, старший козффициент П„(х) равен 1, а в Р„(х) стар( — 1)" (2п + 1)!! 1 ший козффициент ае =, ', то о„= —. В силу (и!) 22»+ 1/2 ао полноты системы (Р!(х)) справедливо равенство Парсеваля: 1 1 »-1 П'.(х) Ых = — 2 + Е о2, аг — 1 1 о гкуда видно, что интеграл ) П„(х) ОЬ принимает минималь- 2 »-1 -1 ное значение на множестве А, если ~~ о = О, т. е. 2 П„(х) = — Р„(х). 1 ао 9. Решение. Представим многочлен П„(х) Е В в виде » П„(х) = ~ ~'!г,»Р»(х).
В силу неравенства Коши — Буняс»=О » » ковского имеем: П„(0) ( ) Д ~~~ Р (О). Так как систем=е ш»О ма (Р1) полна, то, используя равенство Парсеваля и условие 1 » П» 6 В, получаем, что 1 = ~ П„(х) О!х = ~~~ ф~, откуда сле» вЂ” 1 г»=О дует, что П2(0) ( ~~! Рг(0) для всех П„(х)СВ. В тоже вре»1=0 1 !!г мя для многочлена П1~!2(х)=(~~ Рт(0)) ° ~ ~Рт(0)Р,(х) »1 =О 326 Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье 1 1/г справедливы соотношения П С В (П ) (0) = [ ~ Рг(0)) пг= в что и завершает доказательство.
10. Указание. Равенства ап,л —— ап 1, 6пгл = Ьп,г Дла ги = ид проверяются непосредственно, а равенство нулю всех остальных коэффициентов следует из равенства Парсеваля. 11. агп-1 = Ьги-1 —— О, и с И. 12. а) Ьп=О,ага=О,ийИ;б) Ьп =О,агп 1 — — О,ибИ. 13. Указание. Продлить функцию у с отрезка [О;я] или [О; л/2] на [ — гг; гг] таким образом, чтобы в ряде а()') коэффициенты при функциях, не входящих в рассматриваемые системы, равнялись нулю (ср. с задачей 12), и использовать полноту системы (р;) на [ — гг;гг].
14. Указание. В интеграле, определяющем ап и6п, сделать замену 1 = в+ —. и 15. Указание. Проверить, что неравенство йлп-'~ 1(.+-')-1[.+а-") .. справедливо для любого 6 б У., и сложить эти неравенства для /с = 1,2..., 2и. То же самое рассуждение проводится для Ьп. 16. Решение. Пр любом и б И функция Фп(х) нечетная, поэтому достаточно доказать ограниченность в совокупности семейства Фп(х) на (О;и]. Для х б (О;и] положим [11 и, = ~ — ~. Если и < и„то и [Ф„(*) ] = ~~' "" йх ~ < * < .* < 1. й й=! Если и > и ,то представим Фп(х) в виде й=1 й=п +1 Первое слагаемое, как и выше, по абсолютной величине не прево~ходит 1.
Второе слагаемое преобразуем; п п — 1 йпи +1 йпп +1 327 Ошее«»и, решемия, указамия (т+ -) х где В„, = ~~г сйп йх = 2 . (проверьте). Сле2з»п и й=1 2 довательно, !4=«+1 и окончательно, )Ф«(х)) ( 1+ 2к. 17. Указание. Получить равенство « Ягн ШХ Я(х,п) = 2вп»пх ~~4 «4=1 18. Указание. К сумме членов р(х, Я) с положительными коэффициентами и к сумме членов с отрицательными коэффициентами (если они присутствуют) применить преобраэой/ ванне Абеля и оценку ~Ясозпх~ <, (см. решение ) зш х/'2) ««! задачи 14 16). 19.
Указание, Показать, что ряд, полученный раскрытием 00 скобок в РЯДе ~~! —. (Яг«(х)), есть 4г(/) и этот РЯД пРн а = 0 гп «4=1 не удовлетворяет критерию Коши. 21. Указание. При ш = 4", и Е 14, имеем: 4Г «/2" «,„= — / /(х)аш4"хг/х= — ~~~ 3" 4( зш4«хвш4~х4/х+ о й«1 /4, /24 1 «/2» 2«-1 + 3" / в»в24"хг/х+ ~ 3" / з1п4"хя»в4~хдх+ «/2" й=«+1 /2»-4 4 С 4" / 4 4" 4 4"*4*). й=2«»/2» Пяааа П. Ряды Фурье.
Преобразование Фурье Показать, что первое и третье слагаемые равны нулю, четвертое является бесконечно лгзлым, а второе — бесконечно большим прн и -+ +ос. с в(п пх 22. Решение. Ряд ~ — сходится равномерно на ка- 2,д ждоля из отрезков [2Ьг+ е; 2(й+ 1)л — е[, й Е К, при любом сов пх е Е (О;гг).
Ряд ~~~ сходится равномерно на й, слеи=г еь ч сов пх довательно, функция Г(х) = — ~ непрерывна на й п~/и а=1 е и Р'(х) = Ях) для всех х ф 2тй, й Е К. Тогда / Дх) Нх = = Р(гг) — с'(е) для любого е Е (О; я), и в силу непрерывности Р существует 1пп Дх) г(х = с'(х) — с'(е). Так как функция г' г-+О+ г г нечетна, то отсюда следует, что 1 Е Л( — гг,гг). Поскольсов ох ку Ряд — ~ сходится Равномерно, то зтот ряд есть п уггп а'(Р). Из равенства Р'(х) = з(х), х ф 2н(г, следует что если в1п пх з Е гс ( — гг; гг), то ряд ~ есть о(З ), что противоречит равенству 11арсеваля,так как ряд 7 ( †) расходится.
Рл) ьчп пх 23. Решение. Ряд ~ сходится равномерно на ка1пп а=г ждом из отрезков [2л)г+е; 2я(1+ 1) — е) при любом е б (О; я). сов пх Ряд ~ также сходится равномерно на каждом тагг 1и и а=г ьь ч сов их ком отрезке. Следовательно, функция с'(х) = — зг и!п и и=в на каждом интервале (2яй;2(й+ 1)гг), й й,'Е, является первгп пх вообразной функции з". Ряд — 7 сходится равиомер- 2 п)п„ и=г ,'529 Ответы, решения, угсазиния но на 59, следовательно, его суъглга Ф(х) непрерывна на й и этот ряд есть а(Ф).
Функция Р непрерывна на множестве М = [ — л;л] '! (О), н Ф'(х) = Р(х) для всех х Е Лд. Предположим, что 1пп Р(х) = А. Так как функция Р четна, я-ге+ то в таком случае 1пп Р(х) = А, функция Р ограничена на я-+ив л соя пх [ — гг; гг] и ряд — ~ есть а(Р).
В таком случае в силу п1п и и а=я теоремы Фейера последовательность а„ = ~~ Ят, где т и+1 5„, = ~~, должна сходится к — А, а так как Ъп! Я„= ~-' Ь1пя' -г т а=а — + сю, то и 1пп и„= +ос. Полученное противоречие н-+ ! ОО показывает, что функция Р не имеет предела при х -+ О+, а так как / Дх) с5х = Р(гг) — Р(с) для любого е Е (О; гг), то Е л интеграл / у(х) ггх расходится. В силу нечетности у отсюда а следует, что )' Г Я( — гг, гг) . 24. Решение. Пусть Яа(х) = —, Я„(х) = — + г (а,„соя тх+ Ьт гйптх) 2' 2 пги! В силу теоремы Фейера 1пп ггн(х) = Дх) для всех хб( — л; гг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
