И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Разложив Функцию /(х) в ряд Фурье, вычислить интеграл ь У(х) гьх. Использовать следующие разложения: О 1 — а сов Ьх = 1+ ~~! а" совпЬх, )а) < 1; 1 — 2а сов Ьх+ аз п=! вгп х згп Зх вгп Ьх ггх 93) — + + + = — (л — х), 0<х<гг. Зз 5з 8 вгп(2г! + 2)ье 2 94) ~ = е4п2гр — (л — 2!р) вгп ьо— п(п + 1) — в(пгрсовгр-1п(4вгп 1в), О < х < гг.
95) ~ —— 2(л — 2гр) вгп р + сов(2п + 1) р пз(п+ цг / 2 + ( — — 2лгр+2гр! — 3 совр, 0 < х < л. сов Зх сов 5х сов 7х 2 96) + — — сов! х — — сов х, О < х < гг. 357 579 соз пх 1 сов х л — х 97) "г = — + — —, в(пх, 0<х<2л. пз 1 2 4 2 ч- е4пих /1 г, х! '! 98) ~ — = вгп х 1 — — 1п ~2 зги — ) /!, 0 < х < 2гг. вгп пх 1 99) ~~! = — [л — х — ггсЬах+ в сьЬаз вЬах), п(пз + аз) 2аз и=! Глава П. Ряды Фурье.
Преобразования Фурье а в1п Ьх а" в)п пЬх, )а( ( 1; 1 — 2а сов 6х + аг п=1 аг = 1 + 2 ~~~ ав сов пЬх, )а! ( 1. 1 — 2а сов Ьт + аг в=1 102) / 1п(1 — 2а сов х+ а ) дх. о 103) / совах!п(1 — 2а сов х+ и ) ах, о и Е И. 105) / — 2 г пгЕИ. в х хдх в)п Ьх 1+ хг 1 — 2асов6х+ аг' о 108), Нх. 109) 1 — а сов х 1 — 2а сов х+ аг а Ь) О. х дх 1 — 2а сов 2х + аг а гл 1 — 2а сов х + аг о л д 1 — 2а сов х+аг' о /' совпгхдх 114) / ппЕИ, )а(<1. 1 — а сов х' в 1п вра х дх ~а~ < 1. 1 — а сов х О !пв)п хдх 1 — 2а сов х + аг а 106) дх.
1 — 2а сов х+ аг х сов ьпх дх , ьаЕИ. 1 — 2а сов в+ аг ' о ° л-еа !!. Ряды Фурье. !!реобразованил Фурье 290 < 1, ф<1, О, (х) > 1. е ~*, х > О, О, х < О. < Ь 1 — — ), /х/<а, Ф~ а) О, (х! > а. 1 х > О 131) П )— < в!ах, )х( ( в, ( совх, 133) Дх) = ~ О, (х( > в. О, в18п(х — а) — в)8п(х — Ь), Ь > а.
< 2кп Ав)пых, (х( < пЕИ О, ф>~™, е ~~~, о>0. < е", х>О, О, х=О, а>0. — ее, х<0, !х/ < 1, /х/ > 1. 126) Цх) = 128) ~(х) = 129) 7(х) = 130) Дх) = 132) у(х) = 134) 7(х) = а > О. 136) У(х) = 136) !'(х) = 137) !(х) = е ~~*> сов Щ о > О. е ~ ~ейп13х, о > О.
138) 7(х) = 139) 7(х) = 140) )(х) = 141) !(х) = Найти преобразование Фурье функции !'(х). (О, ф>1. )'1, 0<в(1, ~10, — оо < х ( 0 1! 1 < х < +оо. 1!анги интеграл Фурье 7г(х) функции !'(х), Построить график функции г" (х). 1 4. Упражнения 293 193) У(х) =, 11уз — функция Бесселя (см. гл, П1 Ц 6). ,71р(х) ззр(х) 194) 1(х) =, Уз~э — функция Бесселя (см. гл. П1 1 6). 195) Доказать, что для четной функции преобразование Фурье есть ее же косинус-преобразование Фурье. 196) Докаэатсч что для нечетной функции ее преобразование Фурье удовлетворяет соотногяению г (Л) = 1г,(Л).
197) Доказать, что если у(х) = р(х) + ф(х), где у(х) = нечетная функция,то г (Л) = Р, „(Л) + 1Г, а(Л), где Р, (Л) — косинус-преобразование Фурье функции р(х), Р, а(Л) — синус-преобразование Фурье функции т/~(х). 198) Функция Дх) называется двойственной себе при данном интегральном преобразовании, если после преобразования ее вид не меняется, а заменяется только аргумент х на Л. Доказать, что функция Ях) двойственна себе как при косинус-преобразовании Фурье, так и при синус-преобразовании Фурье, если а) У(х) = е ~; б),Цх) =— ~/х 199) Доказать, что функция 1(ах), а > О, имеет косинус-пре- 1 /ЛЛ образование Фурье — г', ~ — ), где Р,.(Л) — косинус-преобраа Ла) эование Фурье функции у(х). 200) Пусть функция у(х) допускает продолжение Ях) на верхнюю полуцлоскость, так что 1) у(г) регулярная в области 1тпг > 0 за исключением конечного числа полюсов, при этом на действительной оси полюсов нет; 2) гпах Щг) ~ -э 0 при В -+ со, где Ся — полуокружность с радиуса В в верхней полуплоскости.
1 лава Н. Ряды Фурье. Преобразования Фурье 294 Тогда: а) если Г(х) четная, то Р,(Л) = ~Г2~п~гевГ(в)еы', где сумма распространена на вычеты в полюсах, расположенных в верхней полуплоскости; б) если Г(х) нечетная, то Р,(Л) = ьГ2х У сев Г(е)еы', где сумма распространена на вычеты в полюсах, расположен- ных в верхней полуплоскости. 201) Доказать, что если Р[Г] = д(Л) — преобразование Фурье функции Г(х), то 1 (Л'1 а) Р[Г(ах)] = — д ( — ); ]а[ [, а,/ б) РЩх — а)] = е ' ~д(Л); 1 в) Р[Г(х) совых] = -[д(Л вЂ” ы) +д(Л+ы)]; 2 1 г) Р[1(х) в(пыл] = —.[д(Л вЂ” ы) — д(Л + ы)]. 21 202) Доказать, что если Р,[Г], Р,٠— соответственно косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье функции Г(х), то а) при Г(0) = 0 Р М = — ЛР.[Л' Р.М = ЛР.[Л' б) при Г'(0) = О, 1пп ~'(х) = 0 Р,[Гн] = — Л'РДЯ; Р,[Ги] = — Л~Р,[Я.
203) Доказать, что преобразование Фурье функции Г(х) = 1 Г1' в имеет порядок О [ — з ] при Л -+ со. 1+ ]х[в 1 4. Упрахсменил 295 204) Доказать, что если 7(х) абсолютно интегрируема на любом конечном промежутке [а; 6], имеет ограниченное изменение на (-оо;+ос): +ОО А 1/ У(х) = 1пп ~/ У(х) и 1пп 7(х) = О, а а то в каждой точке хе интеграл Фурье сходится н имеет зна- 1 чение -[1'(ха + 0) — )'(хе — ОЦ 2 205) Доказать, что функция х ьбп —, хфО, г х У(х) = О, х = О, я вляется функцией ограниченной вариации на любом промежутке [а; Ь]. 206) Доказать, что функция хсое —, хфО, ~(х) = 2х' О, х=О, не является функцией ограниченной вариации на [О; 1].
207) Доказать, что функция 1'(х) = / 1е(1) й, е я 2х х у/( .) — (х) — хг, .г 2хьйп — — — сое —, х ф О, О, х=О, не является функцией ограниченной вариации на [О; 2] (срав- ните с утверждением 4 гл. П г 3). Р я)п1 208) Доказать, что функция Дх) = ~ — ~й в промежутке о +ОО [О;+оз) не есть функция ограниченной вариации (~/ 7(х) = 1пп 1/~(х)). а Глава И. Ряды Фурье.. Преобраэования Фурье 296 209) Пусть Р[Г) — преобразование Фурье функции Г(х). Доказать справедливость формул +со в+я а) — е ' Р(о) Ио = — Г(~) Ы~; я-О б) — е~~Р(о) совоа Но = -[Г(х+ а) — Г(х — а)). ~Г2я ./ 2 210) Пусть Г(х) — четная функция и Р[Г[ — - ее преобразование Фурье.
Доказать равенства: +ьь я+а Г2 Г в(пЛа 1 Г а) ~[ — / Р(Л) — совЛхдЛ= — / УЫ) д4; л 2,/ о е-а !2 1 б) )/ — / Р(Л) сов Ла сов Лх ДЛ = — [Г(х+ а) — Г(х — а)]. 2 о 211) Пусть,Г(х) — нечетная функция и Р[л — ее преобразование Фурье. Доказать равенства: +ео я+О Г2 Г вьпЛа . 1 Г а) )/ — / Р(Л) в1пЛхдЛ= —, ~ Я)~Ц'; Л 2ю',Г о е-а Г2 Г 1 б) )/ — / Р(Л) сов Лая(пЛх ИЛ = —,[Г(в+ а) — Г(х — а)). х 21 о 212) Пусть Р(Л) и С(Л) — преобразования Фурье функций Г(х) и у(х) соответственно.
Доказать, что Р(Л)С(Л)е'~* НЛ = Г(х — в)у(в) Ив. 213) Пусть Р,(Л) и С,(Л) — косинус-преобразования Фурье функций Г(х) и у(х) соответственно. 1 4. Упражнения 297 Доказать, что +ос +ОО Г,(Л)а,(Л) Л дЛ вЂ” — (Г( + )+Г((х 81))д(8) 1 е о 214) Пусть Р,(Л) и С,(Л) — синус-преобразования Фурье функций Г(х) и д(х) соответственно Доказать, что +со +ос р',(Л)0,(Л) соя Л дЛ = — 1 (Г(х+ ) — Ях — 80]д(~) с18 1 а о 215) Проверить формулы Фурье +оа +00 Г(х) = — / сое«хсЬ / Г(и)сое«иИи, 2 Г е о -~-со +со 2 Г д(х) = — ~ 81п «х Ы« / д(н) 81п «е с)е е е для функций Г(х) и д(х), если: .г а) Г(х) =соя —; б) Г(х) =ьйп —; 2' Г со81 в) Г(х) = с1х = — / — Й; Г 81п1 г) д(х) = 84 х = — у — с(1; 1 д) У(х) —, 0<8<1; 1 е)д(х)= — 9<8<1 Доказать соотношения 2 ~еш г ~1 — х; О <х< 1, 216)— я Г г О, х> е 298 Глана Н. Ряды Фурье.
Преобразования Фурье 217) — 1и совх~д~ =, > О. 118) У— Уп1 ~~ /~ о +со 220) де = —. *= —."'- ел/о — е л/о 2 е™ + е о р д„(~) ( (1 — х~)" ~1~, 0<я<1, 22]) / соввхЫх= (2п — 1)!! о О, х>1, и Е И, дн(г) — фУнкциЯ БесселЯ (см. гл. 1П 1 6). 222) Пусть Р(Л) — - преобразование Фурье функции у(х). ~Р(Л) ~ называется амплитудным спектром функции у(х). Найти амплитудный спектр функции )1, 0<х<1, ( О, х Е ( — оо; 0] 0 (1;+оо).
223) Доказать, что преобразование Фурье функции 1"(х) = 1 дважды дифференцируемо на всей числовой прямой. 1+ х4 224) Доказать, что преобразование Фурье функции у(х) = = хе ~~~ бесконечно дифференцируемо на всей числовой прямой. 225) Доказать, что в формуле Фурье +00 +Он 1 1(х) = — / ах / у(и) сове(и — х) Ии 1 4. Упрахсненил при соблюдении достаточных условий теоремы интеграл у(и) сов в(и — х) Ии может быть заменен интегралом по любому конечному про- межутку [а; Ь[, т. е. интегралом 1'(и) сов в(и — х) Ии, а 1, 0(х<а, 1 2' в=а, О, х>а у1(х) = Г2в!и ах косинус-преобразование Фурье Р,(х) = ~ — — меняет знак; б) для функции !(х) = е 'в синус-преобразование Фурье Г2 Р,(х) = ~[ — хотя и сохраняет знак плюс для х > О, и аз+хз но не интегрируемо в промежутке [О;+ос).
если точка х лежит между а и Ь. 226) Пусть Дх) монотонноубываетна(0;+оо), 1пп Дх)=0 Т-Ф.~.со и 1(х) интегрируема в окрестности точки х = О. Доказать, что ее синус-преобразование Фурье для х > 0 есть неотрицательная функция. 227) Пусть у(х) — ограниченная, монотонно убывающая функция на [О;+оо), !пп у(х) = 0 н при х > 0 существух-++со ет монотонно возрастающая 7 (х) < О. Доказать, что косинус-преобразование Фурье функции 1(х) есть неотрицательная функция, интегрируемая на [О;+сю).
228) Показать, что утверждения задач 226 и 227 не верны для следующих функций: а) для функции 300 1'лава П. Ряды Фурье. Преобразования Фурье 229) Вычислить свертку следующих функций: О ( 11 ' д( ) 11 ~х~ ) б) 1(х) = 1 ' ', д(х) = 1(х); в) 1(х) = ~ь(х), у(х) = , где Г1, 0<х<а, Ь'(х)=)0 ' и Ь>0. 230) Доказать, что для любой функции ьо Е гь~ ( — оо;+ос) ь-+о ь Ь (предел в смысле сходимости в среднем, т. е. 1пп у(х, Ь) =у(х), ь-+о если 1пп г /у(х, Ь) — д(х)) г1х = 0). ь-+о,г 231) Найти функцию д(х), удовлетворяющую урявнению у(г) в(п хх г(л = 1'(х), о если — в1пх, О(я<я, О, х>гг; 2 — совх, 0(х(в, б) 1"(х) = 4' О, х>я; в) 1(х) = е ~, х > О.
232) Найти функцию у(х), удовлетворяющую уравнению -ь 00 д(л) сов охг1г = 1(х), о если 1(х) = 1 -1- хз Отвешы х савве П 301 Ответы к главе П ( 1)п 1) 1 — — совх — 2 1 — сов пх. 2 пв — 1 п=2 1, л (-1)п п 2) — -вше+2~ вшпх. 2 п2 — 1 п=2 п=в п=1 вх, — 2<2<0, ах, 0<х<1г, а — Ь вЂ” я, х=~л 2 гг 2 г сов(4п+ 2)х 4 гг ~~ (2п+ 1)2 4 — гг 2 с сов(2п+ 1)х 2, ( — 1)п 1вгппх 5) — + — 2 4 ~- (2 + 1)2 1,~" 1+ 3(-1)п+', 6) — + — $ вш гпгх. 2 7) — — 4 ~( — 1)п 3 п2 п=1 пп1 ( х2, х Е (О; 21г), г 2 пю1 (-1)п+' вш пх 8 л в1п(2п+ 1)х 10) 21г~ и г хЕ(О.л) у(х) = -х2, хе( — л,О), О, х=гг, х=О, х= — гг. Глава П. Ряды Фурье.
Преобразования Фурье 302 ( — 1)" г япг пх ««! -я < х < О, 0 < х < гг, 1Ц Дх) = — — 2~ + вя ( — ц" 'сових ««1 О, 4 ~ вгп(2»+ Цх хз „1 (2п4 цв 2 е4п(2п — Цх (4п — 3) (4п — 2) (4и — Ц ай 2а 12) — + ~ — ягп пй сов их.
«=1 ай а 13) — + ~~~ — [(1 — сов пЬ) в1п ох+ е4п ой соя пт], 2я ««1 2Ь сов пй 14) —, +4ЬЕ г г г совах. яя 4язйз яв «=1 Ь т гг Ьвгпой, Ь(1+совой) «гз — Ьзпз ««1 4 ~-~ я(п(2п — Цх гг ~-' 2а — 1 »«а 1 1, 1 2 17) — + -в(пх — Г сов 2пх. х 2 Я х(4»Я — Ц 1 2 е ( 2сов(2п — Цх 2 гг ~-' 1,(4п — 3)(4п — Ц 1 1 1 2 19) — + — сов * — Ъ сов 2пх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
