И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следовательно, равенство 16 ( — 1)" 'п хсовх = — 7 ып2пх гг с 4пз — 1 о=1 имеет место на всем отрезке [ — —; — 1. 2' 21 Справедливость этого равенства в точках — — и — видна и 2 2 непосредственно,так как в этих точках обе его части обращаются в нуль. Но хотелось обратить внимание на общий принцип исследования поведения тригонометрического ряда Фурье в концевых точках рассматриваемого отрезка. Пример 7. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции /(х) = х вш 2х на отрезке [- —; — 1. 4'4~ Отрезку [ — —; — 1 соответствует система (г/г; (хЦ = (1, !г/а! вш4х, сов 4х,вгп8х,сов8х,...,в!и 4пх,сов4пх,...).
В силу четности функции /получаем,что Ь„ = О,п Е й,и «/4 «/4 г 2 оо = — з/ хв1п2хдх= — — ~хсов2х[ — / сов2хдх) = —; гг о / х' а а в/а 8 / ао = — ( хвгп2хсов4пхдх = а в/4 4 à — х(вш(4п + 2) х — вш(4п — 2)х) дх = о в/Я 4) ! /'сов(4п — 2)х сов(4п+ 2)х и '('1 1 4п — 2 4п+2 о < ~/4 вш(4п — 2)х вйп(4п+ 2)х'1 (4п — 2)з (4п + 2)з,г' ( 1)о.2(4пз 1, 1) в(4пз — 1)з Глава П. Ряды Фурье.
Преобразование Фурье я ) ь[ 238 Периодическое с периодом — продолжение функции 2 и к! 7(х) = х в[и 2х с ~ — —; — 1 дает функцию у', непрерывную иа 4' 4] всей числовой прямой' ), но не дифференцируемую в точках к яй хь = — + —, Й Е ,'Е. равенства 4 2' ,1' (ь,"+ —, + Л) — 1* (ййх+ -,') ь-+о+ 6 1*(ь;+-,+й) — 1 (ь;+-",) ХИ+8) -~® )пп ' = (х е[п 2х)'~ = 1 л-+о- Ь 1ен е/Е показывают, что в этих точках условие Дини выполнено. Итак, равенство 1)о+1 и х вш 2а = — + — 7 сое 4пх л я '-л 4нз — 1 н=1 «) Длв непрерывных и четных на [-0 1) функций 21-периодическое продолжение с [-11!) всегда непрерывно на всей числовой праной. имеет место во всех точках отрезка ~- —; — 1.
4' 43 Поскольку аргументы всех функций системы (у~)(х)) кратны аргументу — второй и третьей функции этой систе- 1 ях вх мы, то минимальный период 21 функций о[п — и сов — явля- 1 1 ется и минимальным общим периодом всех функций системы О) (у] )(х)). Поэтому„если функция 1 имеет период Т = 21 и у Е Гь~( — 1, 1], то при отсутствии других условий естественно [0 рассматривать разложение 1' в ряд Фурье по системе ( р) (х) ] на отрезке ( — 1; 1]. Кок следует кз результата задачи 10 гл. П 1 5 коэффициенты ряда ао у нях пихт а~(~) = — + ~~~ ~носов — +Ьо в1п — ) ) 1. Рлдм Фурье не зависят от того, является ли Т = З минимальным периодом функции вли нет, т.
е. этот ряд есть ряд Фурье функции у по любой системе 1 О Г . ка ял , 2нв 2кя (~я. ) = ~1, 81п —, соя —, зш —, соя —,, шбя, тл1 он ш1 пИ ' Поэтому, если Т = 21 — минимальный период функции у лайз и в условии задачи не указан отрезок, на котором ищется разложение у в тригонометрический ряд Фурье, то это раз- ложение производится по системе (~р; ) на отрезке [-1; 1].
О> Если же отрезок [ — о; е) (или [О; 2а)) указан, то необходи- мо различать два варианта. Первый — 2а не является крат- ным Т вЂ” в таком случае разложение производится согласно общему правилу по системе (р(~~) (см. пример 5 гл. П 1 1). Второй вариант — 2а является кратным Т, т, е. 2а = йТ, й б Я.
В таком случае, как указано вьппе, достаточно вы- числить козффнциенты Фурье функции у по системе (<р; ), и полученный ряд будет одновременно и рядом Фурье по си- стеме (~р( 1) = (у( )). Пример 8. Символ (я) обозначает расстояние от числа л до ближайшего целого числа. Найти разложение функции У(я) = (я) в тригонометрический ряд Фурье а) на [О;3/2), б) на [О;8). Решение. Функция у имеет минимальный период 1 (см. 3) рис. 8а).
Поскольку длина отрезка 0; — ~, заданного в п. а), 240 Гяово 11. Ряды Фурье. Лреоораэовоние Фурье не кратна 1, то производим разложение по системе (1р, ) = (з/4) 4яе 4яя . 4япе 4япе 1 81п — сов — ... 8!и 3' 3' ' 3 ' 3 сов — .... Имеем зуз 4 Г 43 1 ао = / У(е) дя = — — = —. 3/ 38 2 в 1 Для упрощения выкладок заметим, что функция у(е) — —, ( 3~ периодически продолженная с интервала 0; -) с периодом 1 2) 3 Т = —, дает нечетную функцию (см. рис. 8б,в).
Следователь- 2' Рис. 88 Рис. 8и $1. Рады Фурье 241 но, о„= О, в Е 1Ч. Вычисляем коэффициенты б„: 1/2 1 4 Г . 4лвх Г . 4лвх б„= — ( хап Их+ ~ (1 — х)вш дх+ о 1/2 З/2 4лвх 1 Г 4лвх)'/2 + / (х — 1)вш г/х = — ~-хсов — ~ + 3 лв) 3 о 1 1/2 4лвх 41гвх)' + сов — дх — (1 — х) сов — ~ 3 3 1/2 о 1 З/2 4лвх 4лвх)з/2 Г 4лвх — ( сов Их — (х — 1)сов ~ +/ сов дх = 3 3 ! / 3 1/2 1 1 ) 1 2лв 3 , 2лв 1 2лв — — — сов — + — 31п — + — сев —— ов~ 2 3 41гв 3 2 3 3 , 4лв 3 , 2лв 1 — — ап — + — ап — — — сов 2 в в + 4лв 3 4лв 3 2 3 3 , 4лв) 3 9 21гв + — вгп 21гв — — ап — ~ = — — + — згп —. 4лв 4лв 3 ~ 8лв 4лзвз 3 Так как во всех точках интервала (О;3/2) функция Г удовле- творяет условию признака Дини, то равенство 1 ч 3 Г 6 , 2лп), 4лвх Г(х) = — — 2 — ~1 — — ап — ) з)п 4 ~8лв(1 лв 3 ) 3 верно для всех х Е (О; 3/2).
В пункте б) формально надо было производить разложение по системе (4) Г . 1гх лх . 1гвх ггвх Ь. ) = ~1 вгп — соз — ... ап — соз — ...), 4' 4'"' 4 ' 4 по так как длина отрезка [О; 8), заданного в этом пункте кратна 1 — минимальному периоду Г, то требуемым тригонометрическим рядом будет ряд по системе (гр; ) = (1, вгп 2лх, (б) 242 Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье сов2лх, в1в4лх, сов4ггх,..., в1п2лпх, сов2ггпх).
В силу чет- ности функции Цх) получаем, что 6„= О, и Е И, и 1 ао=4/ г"(х)дх= —, 2' о а„= 4 /,г" (х) сов 2лпх дх = — '[ х ьйп 2в пх ~ лп о о ь 1 1г — ) ьйв 2ггпх дх) = — сов 2ггих ~ ) гвг о О, п=2пг, 2 ггг(2пг — 1) г ' Так как функция у 1-периодическая и в каждой точке числовой осн удовлетворяет условию признака Дини, то равенство 1 2 ч-«сов(2пг — 1)2лх (') = 2 4 ггг л-л (2гп — 1)г «««г верно на всей числовой оси. Используя связь показательной и тригонометрических функций, можно получить тригонометрический ряд Фурье аналитической относительно сов х и в)па функции у на отрезке [-л; л], не прибегая к интегральному вычислению козфг~+ 1 фициентов. Для этого положим $ = ег«, тогда сов х =— 21 1г и гйпх = —. После разложения функции у в степенной 2$ ряд но 3 обратным переходом к функциям сов пх и ьйп пх получается тригонометрический ряд по системе (1о;(х)).
Из аналитичности функции у следует равномерная сходимость этого ряда на [-л;гг) к у, откуда в силу приведенной выше теоремы следует, что полученный тригонометрический ряд есть именно ряд Фурье оЩ по системе (грг(х)) функции г. 1 1. Рядн Фурье 243 Пример 9. Найти разложение в трнгонометрвческый ряд Фурье функции у(х) = 1п(1 — 2усовх+ уз) ([у[ < 1). Функция г'(х) = 1в(1 — 2д сов х+ уз) имеет миыимвльный период Т = 2я. Поскольку в условии не указан отрезок, на котором производится разложение, то, как сказано выше, берем отрезок [ — я; х] и соответствующую сястему (рг(х)).
Полагая 1 = е",получаем, что 1п(1 — 2у сов х+ у ) = 1и [ 1 — д [1+ — ~ + д 4 - ] = 1/ ' '1,] = ( -")(--'))=1. — "(--') Так как [у8! = [дег«[ = !де г«! = ! — ! = [у[ < 1, то для любого !И [с! 1 = е',х Е [ — я;гг],имеем равенства: «1«г ь '"' «1-« 1п(1-д1)=-Š—, 1 (1--) =-Š—, и И ««1 «=1 « 1п(1-д1)+1п(1- ~) =-~ — '(1" +Г"). и «=г Отсюда следует, что для любого х Е [ — х; х] имеем равенство « 1п(1 — 2дсовх+уз) = -2~~~ — сових ([д[ < 1), д п ««г а поскольку этот ряд сходится равномерно на [ — х; гг], то он есть тригонометрический ряд Фурье своей суммы.
Таким образом, разложеыие функции Дх) = 1п(1 — 2усовх+ у~) в тригонометрический ряд Фурье получено. Заметим, что из полученного рвзложеаия для любого ыатурвльного п следует равенство 1п(1 — 2усовх+ у~) совпхдх = — — ([д! < 1). яу а Пример 10. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции Дх) = 1п [вш — ~ (х ф 2яв). 2 х! Функция ~(х) = 1п ]вш — ! имеет минимальный период 2я, 2! следовательно, разложение производятся по системе (~рг(х)) 244 Глава П.
Ряды Фурье. Преобразование Фурье на [ — в-, гг]. В данном случае полученная заменой ! = ег* функ!! — 1 ция У(г) = !и ~ — не является аналитической. Заметив, что ~ 2~Л 1пп 1п(1 — 24совх+ д~) =1п2(1 — совх) = ч-г г= !и 4+ 2 !и ]в!и — ~, х ~ 2ггй, !г б е« 2 постараемся найти связь коэффициентов Фурье функций уг(х) = 1п(1 — 2дсовх+ д ) н у(х) = !п]сдп -~. Обозначим г х 2 для краткости 1п(1 — 24 сов х+4~) = А(х) и !и 4 гйпз — = ~г (х), 2 1 тогда г(х) = — !п2+ -1г(х).
Пусть ае„— коэффициенты 2 24 Фурье Ях); как показано в примере 9, а㠄—— Функция ~г(х) Е Я~[ — гг, гг]. Если семейство уч(х) сходится при д -+ 1 в к )'г(х) не только поточечно на ( — гг;я') ~ (0), ио и в среднем на [ — гг;гг],то в силу соотношения (!) числа 2 а„= !пп ае „= — — являются соответствующими коэффив-+г- '" циентами Фурье функции уг(х) и, следовательно, ряд ~~-~ ~сов пх ««1 есть тригонометрический ряд Фурье функции у(х) =1и ]в!п — ~ 2 по системе (рг(х)).
В салу 2я-периодичности функции у и ее дифференцируемости для всея х ф 2в й, й б Х, равенство х! ч сов пх 1п]в!и — ] = — 1п2 — ~ 2] ««1 справедливо для всех х ф 2ггй, Й Е К. Для полноты решения осталось проверить, что семейство (Ях)) сходится при 4 — + 1 — к уг(х) в среднем на [ — гг; гг], поскольку это утверждение не следует из поточечной сходи- мости Ях) при д-+ 1- к уг(х) для х ф 2хх, Й Е .'Е. Функция !е(х,у) = [у (х) — уг(х)] = 1п 2 $1. Ряды Фурье 245 непрерывна на [е; и] х [О; 1] при любом 6, О < е < гг; следова- тельно, !пп г' уг(х,у)г(х= г' 1гш !б(х,4)г(х=О, О<4 <гг. ,+1 / —./ ч+! б б х 2 3 Если сов — > — и — < 4 < 1, то 2 3 4 2 > 1 — 2дсовх+ д~ = (1 — 4совх) +д~вш х > 2 2х 2а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
