И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Использование функгГиг1 комплексного переменноео 255 Эти ряда расходятся при О < х < 2к, однако для соответ- ствующего ряда при стремлении точки 2 = гег* по радиусу к точке ег* на окружности имеем 1 1 . 1 — гсовх — ггвпг х 1 1пп — 1пп 2 г-+1 (1 — гсовх)2-!- гэвгпвх 2 ->1 1 — ге' 1 — г совх 11 1 Вгне = 1пп г+1 11,1+ г2 — 21'совх 2/ 1+ гз — 2гсовх 1 — г 2 1В1П Х = 1пп г-ьг ! 1+ г2 — 2г сов х 1+ г 2 — 21 сов х) гвгпх гс1К 2 х ф 2Ьг, «Е К. (1 — сов а)2 2 Пример 2. Найти сумму рядов зг( ) ~2),~( 1)«-1 ( )х ««1 , вш(2п — 1)х 2п — 1 «=1 Решение. Рассмотрим ряд ьь 2«-1 ~~Ь ( — 1) ' (2(< 1, 21Е~11 «=1 В теории функций комплексного переменного выводится, что сумма этого ряда равна агс1к 2.
Функция иг = $к в не принимает значении Ы (проверьте!). Применяя формулы Эйлера, 11 получаем, что при 2 ф й + — ! гг, й Я К, вшз 1 егн — е гл 1 евгн — 1 162 = — = —.. СОВ2 1 Егк+Š—" 1 Езгк+1' 256 Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье 1 е2м Уравнение ю = —, . разрешимо относительно гс 7 езлГ + 277 1+юг 1 1+юг 1 — иа' 27 1 — юг' т. е. получено выражение обратной многозначной функции Агсьи ю. Если для логарифма взять его главное значение, то получится главное значение арктангенса 1 1+юг агськ ю = —, 1п,, ю ф Ы, (9) 27 1 — юг' которое характеризуется тем, что его вещественная часть содержится в промежутке ( — в/2, я/2). Положим в формуле (9) ю = ег~, О < х ( в, х~ —, тогда имеем 2' 1+ Гег 1 — в(п х+ 7 сов х 1 — Гегз 1 + вйп х — 7 сов х (1 — вгпх+Гсовх)(1+в(ах+ Гсовх) Гсовх 1+ вгп х (1 + вйп х) 2 + сов 2 х (7Г х) 77 77 Гг Я' равен —, если х < —, и — —, если х > —, то 2' 2' 2' 2' +, =1 ~1~ (- — -) ~ ~ -* агс292 = ж — + — !и ~1~ ( — — — ) ~.
Следовательно, ГГ 77 — 0<х< —, 4' 2' 7Г 77 — — — <х(в. 4' 2 У( ) = 1 77 Х л у(х) = — 1и )1~ ( — — — ) ~, 0 < х ( Гг, х ф —. Так как модуль этого числа равен ~$у Š— — — 1 ~, а аргумент (4 2)Р 207 Ь' Я. Онньеграл Фурье и преобразование Фурье ~3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье Определение. Функция Дх) называется абсолютно инпьегрируелеой на ( — оо: +со), если Дх) интегрируема по Риману на любом отрезке [ — 1; 1), 1 > О, и существует несобственный интеграл / [7(х)[о[х.
В этом случае будем говорить, что функция Дх) принадлежит на прямой ( — со;+со) классу Л и писать )(х) е пЛ1( + )) Определение. Пусть Дх) б Л~( — оо, +со). Интеграл +ос (а(Л) сов Лх + Ь(Л) ьйп Лх) дЛ, [х[ < оо, (10) о с де а(Л) = — ~ Д1) сов Л1 й 1 (11) Ь(Л) = — / 1(1)в[пЛ1М, Л Е (Ое уоо), 1 Р (12) Цх) «- — ~ ЫЛ Д1) осе Л(1 — х) й. 1 (13) ) Аналогично определанное класс функций рс' [О, +со) называется интегралом Фурье функции Дх) для любой Дх) Е б Л1( — оо,+со). Отметим, что оба интеграла а(Л) и Ь(Л) существуют для любой функции Дх) Е Л1( — сю, +оо). Подставляя в (10) выражения (11) и (12) для а(Л) и Ь(Л), получим, что функции ,[(х) Е Л'(-оо, +ос) сопоставляется интеграл Фурье +со +со !'лаьо !!. !'я>!>> Фурьг.
Преобразование Фурье !(ак и в тгорнн рядов Фурье, так н в теории интегралов Фурье огновная проблема — это указать условия на функцик> ((х) > нри выполнении которых инч еграл Фурье сходится 1 к !(х) илн к -Щх+0) + !(х — 0)]. 2 Теорема. (Признак Дини сходимости интеграла Фурье). Пусть !'(х) Е !с'( — со, +со) и в точке хо б ( — оо, +оо) гуществуют конечные односторонние пределы !(хо~О) !пп !'(х). Если в точке хо выполнены условия Дини, >' — >гохе т. е. существует !> ) О, такое, что несобственные интегралы !'(хо+и) — !'(хо+0) ! !'(хо — н) — ! (хо — 0) с!и и / с!и и ,/ и сходятся, то интеграл Фурье (13) для функции у(х) сходится 1 в точке хо к -[у(хо+ 0) + ((хо — 0)]. 2 Итак, теорема утверждает, что при выполнении условия Дини +ьь ЕОО 1 — / с!Л [ Я)сооЛ(! — хо)й = 1 [У(хо + 0) + Дхо — 0)], если хо — точка разрыва 2 1 рода функции у(х); ! (хо), если хо — точка непрерывности функции !'(х).
Следствие. Пусть у(х) б Й~( — оо, +оо) и кусочно непрерывна на любом конечном отрезке. Пусть длн любого х б с ( — оо;+оо) либо существует конечная производная, либо существуют конечные односторонние производные. Тогда интеграл Фурье (13) для функции у(х) сходится всюду на 1 ( — ж, +ос) к функции -[!'(я+0) + у(х — 0)]. 2 Следствие. Пусть У(х) б !с'( — оо, +со) и у(х) б ("(-оо, +со), тогда интеграл Фурье (4) для функции !(х) сходится к !(х) на ( — оо, +ос).
259 1 3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье Заметим, что для четной функции Г(х) Е А~( — со, +со) +ьь +00 1 Г 2 Г а(Л) = — [ Д1) сов ЛМ сй = — [ Г(1) сов Л1й — ОО а Ь(Л) = — / Г(М)в1пЛКЙ = О, 1 Г (14) следовательно, ее интеграл Фурье имеет вид ,Г(х) — / совЛхИЛ / Г(1)совЛ1Ж, [х[< оо; 2 Г (15) для нечетной функции Г(х) соответственно имеем ,Г(х) — / ьйп Лх НЛ /,Г(1) ьйп Л1 М, [х[ < оо. 2 Г, (16) е о Если функция Г(х) определена в промежутке [О;+со), Г(х) Е Е Й'[О, +ос), то ее интеграл Фурье можно представить как в виде (15), так и в виде (16), доопределив на луч х < О в первом — четным, а во втором — нечетным образом. Теорема.
Пусть функция Г(х) Е Л~( — оо,+со), Г(х) Е Е С( — со, +со) и для любого х Е ( — оо;+оо) выполнены условия Дини, тогда 1) если функция Г(х) четная, то +сю +оо Г(х) = — / совЛхИЛ / Г(М)совЛ1сН, х Е ( — оо;+ос); 2 Г 2) если функция Г"(х) нечетная, то Г(х) = — / в1пЛхаЛ з[ Г(1)в1пЛйаз, х Е ( — оо;+со). 2 Определение.
Пусть функция Г(х) определена на отрезке[а;Ь)пТ=(а=хе <х1«...х =Ь) — любоеразбне- Главе П. Ряды Фурье. !!!и образование Фурье ь т нис отрезка [о',6]. Тогда величина )/!(х) = вор~ ]Ь/ь], где а тя 1 Л!ь = у(хь) — !(хл 1), называется полной вариацией функь ции !"(х) на отрезке [о;6].
Если ~/!'(х) < +со, то в этом а случае говорят, что функция !(х) имеет в промежутке [а; 6] ограниченное изменение (или ограниченную вариацию). Примером функции с ограниченным изменением может служить любая монотонная на отрезке [о;6] функция. Укажем, кроме того, пример непрерывной функции хьйп —, О<х<2, у(х) = О, я=О, которая не является функцией с ограниченным изменением (проверьте!) .
Классы функций с ограниченным изменением: 1. Если функция !(х), заданная на промежутке [а; 6] такова, что этот промежуток может быть разложен на конечное число промежутков [ая;аь+1], 6 = 0,1,2,..., св — 1, ав = а, ом = Ь, в каждом из которых у(х) монотонна (такая функция называется кусочно-монотонной), то у(х) имеет на [а; 6] ограниченное изменение. 2. Если функция !'(х) в промежутке [а;6] удовлетворяет условию Липшнца]у(х1) — у(хз)] < ! [хз — хз] (Ь.- константа, хы хз б [а; 6]), то у(х) имеет ограниченное изменение, причем 3.
Если у(х) в промежутке [а; Ь] нмеет ограниченную производную: [!'(х)[ < !,, х е [а; 6], то опа имеет ограниченное изменение, 4. Если у(х) в промежутке [а;6] представима в виде инте- грвла л !'(х) = С+ / <р(1)д1, а 6 3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 261 где ~р(1) предполагается абсолютно интегрируемой (хотя бы н в несобственном смысле) на [а; 6], то Дх) имеет ограниченное изменение, причем ь ь О ь Свойства функций с ограниченным изменением: 1.
Функция с ограниченным изменением ограничена. 2. Сумма, разность и произведение двух функций с ограниченным изменением на [а; 6] есть функция с ограниченным изменением на [а; 6). 3. Если у(х) и у(х) — функции с ограниченным изменением на [а; 6] и ]у(х)] > о > О, то и частное — есть функция Пх) у(х) с ограниченным изменением на [а; 6). 4.
Если 1(х) имеет ограниченное изменение на [а;6], то для любого х е [а; 6] функция у(х) = )/ 1"(1) будет монотонно возрастающей функцией, ограниченной на [а; Ь); если у(х) непрерывна в х = ха, то и у(х) непрерывна в хь. Критерий для функций с ограниченным изменением. Для того, чтобы функция у(х) имела в промежутке [а; 6) ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в зтом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих функций. Для функции Дх) с ограниченным изменением в промежутке [а; 6) в любой точке ха зтого промежутка существуют конечные односторонние пределы.
Отметим, что непрерывная функция с ограниченным изменением представима в виде разности двух непрерывных возрастающих функций. Теорема. (Признак Дирихле — Жордана сходимости интеграяа <Фурье). Пусть Дх) абсолютно иитегрируема на всей прямой и в некотором интервале [хе — И; хе + И], И > О, функция 1(х) имеет ограниченное изменение, тогда ин- 262 Глава П.
Ряды Фурье. Г1реааразаааиие Фурье 1 тегрвл Фурье функции Г(х) скалится в точке хо к — (Г(хо+0)+ 2 + Г(хо О)]. Пример 1. Найти интеграл Фурье функции 1, 0<в<1, Г(х) = О, ! < х <+ск7, О, — со<я<0 и нарисовать его график. Решение. Но определению интеграл Фурье Р(х) функ- ции Г(х) равен: Е(х) = / (а(Л) сов Лх+ Ь(Л) яп Лх) дЛ, о где 1 1 япл а(Л) = — дг Г(х) сов Л1дГ = — Г совл1д1 = —; 7ГЛ СО о +со 1 (7(л) = — / Д(х)япЛ1д1 = — / вгпЛ1М= — (1 — совЛ). 7ГЛ вЂ” ьь о Следовательно, +ао Г Гсовлхв177Л (1 — совл) Р(х)= Г ~ + — в1плх~ Ыл 7ГЛ кл о нвллетсн искомым интегралом Фурье. Согласно общей тео- реме Р(х) имеет график, представленный на рис. 10 б.
Пример 2. Найти интеграл Фурье функции ) 1, 0<х<1, ) О, х>1, а) продолжив ее четным образом; б) продолжив ее нечетным образом. а) Если продолжение функции Г(х) четное, то имеем +ОО 1 +оь 2 Г Г 2 Г сов ЛхяпЛ Р(х) = — / совлхдл/ сов Л1Й = — / дл. л о о о 1 3. Ингпеерал Фурье и преобразование Фурье 263 График интеграла Фурье функции /(к) График /(к) Рис. 1а Следовательно, в силу теоремы о сходимости интеграла Фу- рье имеем, что ( +'"', ( к/2, при )Л( < 1, сов Лх вгп х г(х = гг/4, при )Л) = 1, о О, при (Л(> 1. б) Если продолжение нечетное, то +00 1 +со а о а откуда в силу теоремы о сходимости интеграла Фурье получаем, что О, при)Л)>1, 1 — при )Л( = — 1, 2' — 1, при — 1<Л<0, О, приЛ=О, 1, приО<Л<1, 1 2' приЛ=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
