И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 10
Текст из файла (страница 10)
11оскольку множество значений 1 есть ком- 1 пакт, функция неотрицательна и непрерыв- (1» ггг) Д г ! !1х на на [0,1) х [О; Ц и функция у(1) = (1+ г1г),/~ г о непрерывна на [О; Ц, то в силу теоремы Дини 2!/Г+ 1г йх интеграл сходится на [О; Ц равномерно. .1 (1 + ггг)Л:хг о Итак, у янах Пример 48. Вычислить пнтстрал ( — е нс пх, )У>0, х и Е И. й Гласи 1. Иесобсасаснпый интеерал 76 Решение.
Запишем данный интеграл в виде +с с а 7с ()'.-с*. ~ ю) с*. а о Покажем, что при лгобых Д > 0 и а Е Й функция У(х,г) = = е Л~ соя1л удовлетворяет условиям теоремы об иптегрир анании несобственного интеграла по параметру и, следовательно, с*= Дя,,асс)с,= с а о с +со а +ос =7с[7с ясн)аг) а = 7с(7с я ~*с с,с*)сс. о о а о Функция у(х,с) = е о соясл непрерывна на [О;+со) х [О;а), +со а б й. Так как для любого )7 > 0 интеграл / е Л~ с7х схоо дится, то неравенство Щл, г)[ ( е ~*, 1 е [О; а), показывает, +си что интеграл / е Д*соясхс7в сходится равномерно на [О;а] о в силу признака Всйерпгтрасса. Итак, с7л=агса~ —, Д>0, пай.
Д а )уг + гг )7' о 7' Ы Пример 49. Вычислить интеграл Дирихле с7х, а бас. з 3. Несобственный интеграл, зависли!ий от параметра 77 Решение. Воспользуемся результатом предыдущего при+ аа Г, айнах а мера: 7[1) = / е ' — (1х = агсок-, 1 ) О. Интеграл х + Оа о , тпах е а ах сходится равномерно на множестве [О; Ц о в силу признака Абеля — Дирихле, поскольку интеграл +ОЭ в(п ах -ы (1х сходится равномерно на [О; Ц, функция е мое нотопна на [О; +со) при любом 1 Е [О; Ц и 0 ( е ' ( 1 для всех х Е [О; +оо), 8 Е [О; Ц.
Следовательно, в силу теоремы о непрерывности интеграла, зависящего от параметра, функция +ОО Г то)пах ,1[1) = / е * с!х непрерывна на [О; Ц, откуда получао ем, что +СО в)п ах а и йх = .ЦО) = 1пп,Ц1) = 1~и агсод — = — в!кпа. о-+о+ (-+о+ 1 2 о Внимание! В приведенных примерах вычисления несобственных интегралов проверка выполнения условий теоремы об интегрировании несобственного интеграла по параметру — существенная часть решения. Отсутствие такой проверки — грубая ошибка, н формальное вычисление никоим образом не представляет решения.
Приведем пример, показывающий, что условие равномерной сходимости интеграла Г[Х) = Дх,1) о!х на [с;(1] суще- а отвеина для справедливости равенства а а 2хз1з Пример 50. Функция Г[х,1) =1агссоб1хз- „опре1+взха Гласи 1. Песобстиениыб иннсегрил 80 3) существует хогя бы один из двух интегралов (~ а а а а а) с* - ~ [( щ,, а ~ с*) а. с а а Тогда справедливо равенство () .=~р()~ а с или й а ы )'()'л*,аа) с*=)'[)'л*,ас*) сс О с с а Используя теорему Дини, получим следующее Следствие.
Пусть семейство функций,, 1 Е [с;й), удовлетворяет условиям: 1) функция Дх, 1) непрерывна и неотрицательна на [и;ы) х [с;й); 2) функции г(8) = ~~(х,~)Нх и Ф(х) = / у(х,1)й нес с прерывиы на [с;са) и [а;ы) соответственно; 3) существует один из интегралов гЯсН или Ф х Их.
с а Тогда существуют оба зти интеграла и я ы ~Г() а = / Ф( ) й с а или и Цу\*Сс*) а=~[~у\.,~)а)с*. с а с П 51. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона ример 1 = е * Их, используя перестановку двух несобственных а 1 3. Несобствессный инасеерал, завислслссй оса нарамссарп 81 интегралов Решение. Положим ф(1) = 1е <*П сся, тогда Ф(0) = 0 о +ОО +Оа иф(1)= /1е с П сЬ'= / е" с(и=1при1>0. Следова- о о тельно, +оо +аа +00 )с()с «-с"а"с*)а= 1с.-"Оспа о о о +ОО есо е-с 7д, 7 /' с-с*,ц уз о о Функция 1(е,1) = 1е О+* Р непрерывна и неотрнцательна +00 на [О;+со) х [О;+со). Функция Ф(е) = ~ 1е -О+ ')Р л о +00 1 непрерывна на [О;+со) и интеграл [ Фщ сся = 2(1 + *з) — сходится. Функция же г' (1) 4 2 1 1+во о +ОО 1е О+а 1 с1я = е Я1) непрерывна только на луче [е;+со), где е > О.
Таким образом, условия следствия теоремы о перестановке двух несобственных интегралов выполнены для семейства У(я,1), я Е [О;+оо), 1 Е [е;+ос), при любом с > О, т. е. ! +оа +сю +ао +со 1' (1' л*,с)с,) а= 1 (1' п*,с)сс) с*= 1' аь,ос* о о с о ! '.нн и д Загс.сьбгтю ньььььь' ььььоьь:рсьл нрн зььобсьль > О ь дг С (х,с) .= / Х(х,1) сИ, х б [О;+сх), е [О; 1). ь 1!еравенство О < ьу(хсе) < / /(т,1) сй = Ф(х), е ) О, о -Ь-сю показывает, что в силу признака Вейернпрасга ~ 1с(х,с) ььх о сходится равномерно на [О;!], следоватгльнос +Ос .Ь.
сю +юа -Ь-сю (1с сьн,ььси) сь = ° «. 1 ()с я,,ььс,) сь = о о о с О 1нн 1 С(хьх)ь1х= / С(х,О)с1х= с-+о о о 1(/ " ")'=-' о о ,,ся Отсюда получаем, что,1 = —. 2 Пример б2. Вычислить интеграл Френеля +сю +юа 1 1' соох соя х с1х = — ~ — ь(х, 2,/ л/х о о х/х л/л з пользуясь формулой — =— о +с Решение. Ин сеграл — с1х сходитгн и гнлу нрнзнака ,) ~/х ь ь / сил нс аЛбсля — -Днрнхлс, интеграл ! — с1х сходится н силу р- 1 3. Негобстоенноис онтсграл, заоснлсяая от парометра 83 ~сое;г 1 втютва ~ — ( — и теоремы сравнения, следовательно, ~л -л интеграл Френеля сходится.
Запишем его в ниде +ао +оо ~ (~ ...,.-"* л) ь. о о +ао о Интеграл ~ соя яс *~ о(1 расходится при я = О, следовао тельно, сходится неравномерно на (О;а] при любом а > О; +ао ~о интеграл / сояхе *~ Их расходится при 1 = О, следовательо по, сходится неравномерно на (О; с) при любом с > О. Таким образом, теорема о перестановке двух несобственных инте+со +оо ~о -а.о ° ° а у ~(~ ° -*' о1)о* о о неприменима. Поскольку именно нулевые значения я и 1 дали расходящиеся интегралы, рассмотрим интеграл ~(~-.*.-"'о) * для е > О и о > О. Покажем, что для такого интеграла условна теоремы о перестановке двух несобственных интегралов выполнены.
Функция Дя,1) =соя яе " непрерывна на [е;+ос)к[6;+ос). — зо Если 1 Е [3;с), то [1'(х,1)[ ( с а~, н из сходимости инте+со грала е ~~ Ия и признака Иейерштрасса следует равно+со а мерная сходимость интеграла гс(е,1) = / Дя,1) 4я па [б; а). о Если я Е [е; а), то Щг.1)[ < г " . и пз сходпмости пнтегра- !'лала 1. 13есобснаеенный исстеерел ла / с " еу н признака Вейерштрасса следует равномерная +00 б сходнмогть интеграла Ф(х,б) = ~ 1(х,б) й па [е;а].
Так как б ]б(я,б)] < е ' для я Е [е;+ос), б Е [б;+со), то +СО +СО 0 < сб(1) = ~ ]1(х,б)[с(х < / е *' С С н в силу теоремы сравнения интеграл +СО +СО +СО 1 [1 /хз,к)/с*)й= 1 с(Й)О 6 б +00 +00 сходится. Итак, ~ Ф(я,б) с(я= ~ Р(е,б) й длялюбыхе > О, б > О. С б +Со г рб соле — е1пе Функция Р(е,б) = соева " сбя = е *' 1+ йб бг для е > 0 н 1 Е [О;+со). Если положить Р(0,1) = —, 1 Е [О;+со), то получим функцию Р(е,б), непрерывную на [О; Ц х [О;+со). Покажем, что йп Г 16(е,б)сН= / Г(0,6)М, б>0. с~а+ 1 Для этого достаточно установить равномерную сходимость +СО интеграла ~ г(е,б) М на [О; Ц, что следует нз неравенства ~г+ 1 ]Г(е,'с)] < —, е Е [О; Ц, б Е [б;+со), и сходимости инте- 16+1' 1 3.
Несобственный интеерая, зависящий ст параметра 85 +00 11 + ! грала / 4 Й. Из всего вышесказанного следует, что 1 14+! б .1. ОО +00 +СО бз 411 = 1 Р(0,1)М= !пп 1 Р(Е,1)41100 14+1 / е-ее+ / б б б +00 +00 1пп Ф(а, а) Их = / Ф(х, в) Их. е-+а+ / +оо 2 сов х Если х > О, то Ф(х, О) 00 / соз хе *' 414 = — —, т. е. а +00 подынтегральная функция в интеграле / Ф(х, 0) 41х имеет а на (О;+оо) две особые точки.
Поэтому отдельно докажем, что 1 1 1пп / Ф(х, в) ах 00 ~ Ф(х, О) 4(х б-еа+ 1 1пп б Ф(х, б) ах = / Ф(х, О) Нх. б-Оа+ у Так как функция е *е, х > О, 1 > О, пеотрицатсльна, то для а > 0 справедливо неравенство +00 +оо )Ф(х йИ < /' е — ее* йб < ~' е-*е' й, откуда в силу признака Вейерштрасса следует равномерная 1 сходнмость интеграла ~ Ф(х,в) ах на (О;1). Так как фупк- о ! (ГГОО ! !!с с'О6Гасо( )(ньп( О))й)Г '!)ГГ 7 ЯО) » ция Ф(х,б) = / совхс " Г!! непрерывна на (О; 1] х [О;!], то д 1 следовательно, 1))п ! Ф(х, б) Г!х = э~ Ф(х, О) Г!х.
б-+О+,! О О ""'( (х,б) Г!., 1 Интеграл / Ф(х,б) Г!х запишем в виде где (О(х,б) = ~ ~/хе ~~ Г!!. Соотношение О +а» +о» +со 9...-"*~) *= 17(*,7) *= О О О (-со +о» +со !з Г !э !пп Ф(х,б)Г!х= 1пп / „4! = / — 77!1, б-она+ / з-»О+, 1~ + 1 ! + 1 О Б О + оо +оо Осс(*,Г)= ! а-*'(*с ! .-"ГГ э»/а О показывает, что функция 1О(х, б) ограничена на [1;+сю) к [О; 1] и монотонна на [1;+со) при любом б Е [О;1]. Функция— Г соах не зависит от б, поэтому интеграл Г! — Г!х сходится рав/ ,Гх 1 иомерпо на [О; 1]. Отсюда следует, что в силу признака Абе+о» Г соах ля — Дирихле интеграл ~ — у)(х, б) Г!х сходится равномср- 1,Г-* но на [О; 1].
Так как функция Ф(х, б) непрерывна на [1;+ос) х +со (-оо х [О;1],то 1пп ! Ф(х,б)(!х= / Ф(х,О)Г!х. З- О+ 1 1 Объед)(няя вес вышесказанное, получим, что З 3. Негой<'тес<па<й антсс1<аз, заалели<ай о<а «арал<сийм 87 откуда следует, что +<э +оэ /' 1 1' сое:с <оях <7х = — / — <7х = 2,/ ' /(/, „-* «)„'у'-,' о а Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
