И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Итак, в силу признака Дирихле— о-о+оо +оо Абеля интеграл / сЬ сходится. ,/ 40+ хз о Для исследования абсолютной сходимости данного интеграла применим указанную вьппе оценку ~созх~ ) совзх. Имеем ! хсозх хсоззх х (1 1 ) — -+ -соя 2х 40+ хз 40+ хз 40+ хз 1,2 2 / Дословно повторяя приведенные вьппе рассуждения, получа+оо хсов2х ем, что интеграл / з Пх сходится.
Соотношение ,/ 2(40+ хз) а Глава 1. Несобственный интеграл 32 в 1 —, в -+ +сю, и признак сравнения показывают, +ОО что интеграл ~ йв расходится. Следовательно, 2(40+ вв) о +оо )' * интеграл / яя расходится, откуда в силу теоремы 40+ в О Г ~ ясовв сравнения следует,что расходится интеграл ( пх, ,)( )40+ вз о / в сов л т. е, интеграл 1 Нв сходится условно. ,/ 40+ в:з о Пример 17. Исследуем сходимость интеграла в)п в /~3+ ~5 а в1п в Решение. Функция у(в) = имеет на (О;+со) /вз+ вв две особые точки ве = 0 и (+со), следовательно, необходимо отдельно рассмотреть сходимость каждого иэ интегралов а +Оо в1п в 1' в1п в йв и / а(в для некоторого о Е (О;+со).
,/из+ хв,l /ха+ в~ а а вше 1 Начнем с простейших оценок. Так как — при ~/вй+ в,/я в -+ 0 и подынтегральнзя функция неотрйцательна, то в силу а в)п в признака сравнения интеграл ~ ов сходится абсо- / /~3+ вз о лютно. в)их ~ 1 1 1 Так как ( и — при / з+ л) ' / з+ л /яз+ в вв/3 в -+ +со, то в силу теоремы и признака сравнения инте+ оо 8)П в грал дв сходится. Следовательно, интеграл (з+ л а 2 1.
Несобсшвенмый инюезрал +00 +00 / 1! 81ПХ ! Г зшх ~ 12х сходится, т. е. интеграл 1 01х /з+ о~ х +хо о о сходится абсолютно 1 Г сооПример 18. Исследуем сходимость интеграла / — * Ых. / .з12 соз 1 о Функция Г(х) = — О на (О; 1) имеет одну особую точхв/2 ку хо = О. Начнем опять с проверки условий признаков соз — ~ 1 1 Абеля — Дирихле, поскольку простейшая оценка — О <— .з12 !,212 не дает возможности утверждать о сходимости (абсолютной) данного интеграла. Особой точкой подынтегральной функции является левый конец промежутка интегрирования, поэтому и условия в признаках Абеля — Дирихле симметрично изменяются.
Функция 1 Г 1 1, 1 Р'(О) = / — соз — 1Ь = ош — — згп1 ограничена на (О;1), ь ь функция у(х) = 1/х монотонна на (О; 1) н 1пп у(х) = О, следо- 1 о Гсовг Г 1 1 вательно, интеграл / Нх = / 1/х — соо — 01х сходится. о о сов — ! соз — 1+ соз— 21 2 Применяя оценку — ~ > — = хз12 ~ хз/2 2хй2 *, видим, что ин- 1 1 Г!соз — ! 1 Гсоз— теграл / ~ — к ~ 01х расходится, так как интеграл — 1 — 01х ,/ ~ хз12 ~ 2 х! о о 1 1 Гох сходится, а интеграл — у — расходится. Итак, интеграл 2./ .212 1 о соз— 1 — 11х сходится условно. хо/2 о Замечание.
При исследовании сходимости интегралов е е вида Г(х) вш(1о(х)) ох и Г(х) сов(1о(х)) ох, где у(х) ло- О О Глава й Нгсобсшвенныб интеграл кальво монотонна слева в точке и н р(х) -+ +оо прн х -+ ы —, часто делают замеыу: у(х) = 1 с тем, чтобы прийти к инте- +ОО +ОО гралу остандартного" вида: 1" (1) айва Й н у'(1) сов1 М. а а 1 В даныом примере можно было, сделав замену 1 = —, перейти +со х Г со81 к интегралу / — а1, но поскольку проверка выполнения 1,л условий прнзнака Днрнхле — Абели оказалась несложной, особой необходимости в атом преобрвзоваынн ыет. Пример 19. Исследовать сходнмость интеграла вш(хз — х) бх. о /1 Решение.
Функцня1=х -х монотоннаналуче ~ —;+со, 2 1,2' 1 1 но обратная функцня х = — + у 8+ — на соответствующем 2 2' 4 / луче ( — —; +со имеет ыеограннчеыную проызводную. По- 4' скольку непрерывность производной х', является одним нз условий замены переменного в несобствеыном нытеграле (см. пункт 4 в основных свойствах несобственного интеграла), то 1 1 й замену 8 = хз — х, * = — + ь111 + †, бх = сделаем + 2 2' 4 2/41+1 в интеграле ~ в1п(хз — х) бх, так как на луче (1;+оо) уже 1 все условия замеыы переменной выполнены. Так как функцня вш(х — х) непрерывна ыа [О; 1], следовательно, ннтегрнруема в смысле Римана ыа (О; Ц, то сходнмость интеграла +ОО +оо ип(х — х) о(х н сходнмость ннтеграяа вш(х — х) бх = е 1 1 1. Несобс«поенный интеврал +«О «««зкаиввлентны. Функция Р(Ь) = «вш1««« = Г ип1 ./ 441+1 о а = 1 — сов Ь ограничена на [О;+со), функция у(1) = мо- «/41 + 1 потопив на [О;+со), 1пп у(«) = О, следовательно, интеграл «-++«а 1 в«сходится в силу признаков Дирихле — Абеля.
Так 8«п « ~41+1 о как ! 8«п«[ в«п «1 сов 2$ ~41+1[ ~/41+1 2~/47+1 2~/4г+1' +«а +«о Г сов 21 интеграл «расходится, а интеграл у ««« .1 2,%+~ л 2Ч41+ 1 о о +а« +«о Г ) 81п«[ / сходится,тоивтеграл / «ц= у [вш(х — х)[««храс- ,/ ~/4Ф + 1,/ а о ходится. Итак, интеграл вш(х~ — х) «1х сходится условно. а Пример 20. Исследуем сходимосчь интеграла (вп«х) 1в х ох. ,/ха+1 ' « ь Функция Р(Ь) = / в1пх«ахни сов1 — совЬ ограничена ва 1 1вх «Гх 1 (1; оо). Неравенство < =, поквзы- ~/~24-1 «Гх~~-1 1(« '+ 1' 1пх вает, что функция у(х) — стремится- к аул«о прв 4хз+1 х -+ +оо, но ничего не говорит о монотонности у(х). Так 'как у(а) не является алгебраической функцией, локальну«о монотонность которой слева в (+со) мы считаем известной, то в решении данного примера проверка монотонности у(х) необходима.
Глава й Несобсшееинмб иитаеграл 36 1 — хз(1пх — 1) Действительно, соотношение д'(х) = пох(хз+ 1)зУз казывает, что д(х) монотонна на [е;+оо). Итак, все условия признаков Дирихле — Абеля выполнены, следовательно, инте+ оа (1пх) ешх грал / ях сходится. Из соотношений: У' ~х +1 1 ! (1пх)е(пх~ (1пх)еш х 1пх (1пх)сое2х ,й~4-1 ~ ~/хз4-1 2~/ з+1 25 +1 ' 1пх 1 2ЯД 4х ( ) Г [(1п х) 81пх [ следует, что интеграл ( ~ ~ Их расходится, ибо ин- 1 ~,а+ ~ +се Г ах (1и х) сов 2х теграл ~ — расходится, а интеграл ~ Нх схо- / 4. ,/ 2~/х~ -~ 1 1 +ОЭ 1 (1пх)ешх днтся. Итак, интеграл ~ й: сходится условно. 1 л+ 1 Пример 21.
Исследуем сходимость интеграла +СЮ (х е1п х — сов х) сое х Ых. ь Функция Г(Ь) = / свахах = ешб — з1п1 ограничена на 1 хешх — соех~ 1 1 (1;+со). Неравенство ( — + — показыва.г ~ - . хз х 81п х — сое х ет, что функция д(х) = стремится к нулю при х -+ +со, но функция д(х), очевидно, не является локально монотонной слева в (+сю). Таким образом, представление подынтегральной функции в виде произведения х вше — созе сое х. хз 38 Глава 1.
Несобсяьееммыд имяьеграл для любой монотонной последовательносги Ь„~ ы-, а = Ье, ь„ ГИРЬ~ ~У()Г Ь «ьнЬ -) Существенное — но не принципиальное1 — отличие теории рядов от теории несобственного интеграла — как и отличие теории предела последовательности от теории предела функции, — это то, что в первом случае параметр перехода к пределу меняется по дискретному множеству натуральных чисел с единственной предельной точкой (+со), а во втором этот параметр меняется непрерывно и предельной (односторонней) точкой может быть любая точка расширенной числовой прямой. Не имеют аналогов в теории несобственного интеграла те методы исследования сходимости рядов, которые существенно используют свойства натурального ряда— признаки Даламбера, Коши, Гаусса. В свою очередь, специфика несобственного интеграла проявляется прн исследо- Ю ванин интегралов вида / 1'(я) Их, где ~ Е Л(а;Ь] для любо- а го (а; Ь] С (о; ы) и ы — собственная точка числовой прямой.
Так, в этом случае для сходимости интеграла от степенной и Ие функции: / необходимым и достаточным является ./ (ш — е)г О 00 условие р < 1, а для сходимости аналогичного ряда ~ мг условие р > 1. Обратим еще внимание на то, что иэ сходи+со мости — даже абсолютной — интеграла / у(я) Яя (см. при- О мер 9) не следует, что функция у(я) стремится к нулю при х ~+со, в то время как условие 1пп а„= О необходимо для и +се сходимости ряда. Необходимо ясно и четко понимать как общность, так и особенности теории рядов и теории несобствень)ых интегралов и не допускать ложных аналогий и неверных переносов утверждений иэ одной в другую. э 2. Собстееинмй интеграл, эаеисли(ий ою иарамепьра 39 ~2. Собственный интеграл, завислщий от параметра В функциональном ряде ~ и„(х) член ряда представляет и=1 собой функцию двух переменных: натурального числа ив кндекса суммирования и параметра х из некоторого множества Х.
Параллельным понятием в теории несобственных интегралов является несобственный интеграл от функции двух переменных у(х, Ф), из которых одно является переменным интегрирования, а второе — параметром из некоторого множества Т. Такой интеграл определяется предельным переходом в интеграле Римана оч Дх,() так, как сумма ряда — предельным переходом в последовательности конечных сумм (Я„(х)).
Поэтому прежде, чем рассмотреть свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра, необходимо рассмотреть свойства интеграла Римана, зависящего от параметра. Определение. Пусть для каждого ( б Т функция у(х, () ивтегрируема в смысле Римана на отрезке [а((); 6(()).
Тогда ь(с) функция, Р(Ф) = / Дх,1) Нх называется собственным инте- а(а) гралом, зависящим от параметра (. Эамечавве 1. Терман "собственный интеграл, зависящий от параметра" принят вместо термина "интеграл Рямана„зависящий от параметрГ в целях однородности терминологии. Звмечавва 2.
Собственным интегралов, зависни(им от ЬИ параметра, называют и сам символ ~ у(х, $) Их. Естествен- а(С) вой областью взмевения $ в таком случае является совокуп' ность тех значеввй Фе, для которых у(х,(е) б В[а((е);Ь((е)). Теореэла о вепрерывноств собственного интеграла, заввсящего от параметра.
Пусть )'.) = ((х, 8): а ~~ х ( Гласа !. Несобснсееиныя инясегрол 40 < Ь, с < Х < с(), функции о(с) и )с(с) непрерывны на [с;с(] и о[с;с(] С [а;Ь], д[с;сс] С [а;Ь]. Тогда, если Дх,() Е С(Р), сс(с) то функция Г(с) = / Дх,с) с(х определена и непрерывна на [с; с(]. а(с) Теорема об интегрировании собственного интеграла, зависящего от параметра. Пусть Р = ((х, с): а < ь < х < Ь, с < 1 < с(). Если ~(х, М) Е С(Р) и Р(() = / Дх, 8) с(х, то В силу предыдущей теоремы функция г'(с) непрерывна и, тем более, интегрируема на [с; с(]. Теорема о дифференцировании собственного интеграла, зависящего от параметра.
Пусть Р = ((х,с): а < х < Ь, с < $ < с() и функции а(1), )с(с) непрерывно дифференцируемы иа [с; сс], причем а[с; сс] С [а; Ь], д[с; с(] С [а; Ь]. ЯО) Если ~ Е С(Р) и — Е С(Р), то функция г(() = / ЯхД ссх дУ дс а(с) непрерывно дифференцируема на [с; сс] и сс(с) ' Р'Я = У(д(1) 1) Р'(1) — У( (1) 1) '(')+ / д, (х ') "(. Г дУ а(с) 1с". Пример 22. Найти Нпс — / всп(х. хе+(с+(х — 1ссх. с~с+ с / 1 Решение. Функция ' — ч*сс)с+и;-Т, ) С с, *я С!;сС, У(,() = х)/хх — 1, (=О, *Е [1;3], З 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
