И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому основным вопросом в этом разделе является исследование сходимости несобственного интеграла в том случае, когда такое представление первоообразной или невозможно или достаточно громоздко. Заметим, что условие: множество точек разрыва функции ~ на промежутке (а; 6) есть множество меры нуль — необходимо и достаточно для того, чтобы функция у была интегрирусма в смысле Римана на люболь отрезке [о; Я С (а; 6), не содержащем особых точек )'. Поскольку функции, не обладающие этим свойством или имеющие бесконечное множество особых точек на (а; Ь), заведомо не ннтегрируемы в несобственном смысле на (а;6), то в дальнейшем изложении, не оговаривая этого специально, будем считать, что все рассматриваемые функции имеют на промежутке интегрирования конечное множество особых точек н что множество точек разрыва этих функций на данном промежутке есть множество меры нуль. ь Поскольку несобственный интеграл Э~ )'(л) Ия сходится а тогда и только тогда, когда сходятся все составляюпцье его интегралы вида / Цл) ол, где особой точкой функции У а.
на (о; 1;о;) являет н только одна пз точек и; ы о;, а сходнмость несобственного интеграла этого вида симметрично 17 1 1. Несобственный инсяеграл определяется как для леной, так и для правой концсной точки, то дальнейшие утверждения и соотношения в целях простогы изложения формулируем для интеграла вида / Дх) ах, а где з б В[а;6) для всех [а;6) С [а;со), если специально не оговорено противное. Ю Так как сходимость несобственного интеграла / Дх) с(х ь в есть существование предела функции Р'(Ь) = з~ Дх) с1х при и в 6 ь со —, то условия сходимости интеграла / у(х) с1х, в основа ном, получаются перефразировкой условий существовании предела функции. В частности, если функция 1 неотрицаь тельна на [а;со), то функция Р(6) = / 1(х) с1х монотонна а на [а;со) и существование предела 1пп Р(6) эквивалентно ог- Ь-+н— раниченности Р на [а;ьс).
Критерий Коши сходимости несобственного инте- грала. Интеграл / Дх) с1х сходится тогда и только тогда, О когда для любого положительного числа в > 0 можно указать такое число В > а, что для любых чисел Ьс, Ьз, удовлетворя- ющих условию В < Ьс < Ьз < ьс, справедливо неравенство ь, 1'с(в ~*~ « сч Пример 7. Покажем, пользуясь критерием Коши, что ни+со 1' ияпвшнх теграл 1 сЬ сходится. х+2 1 Если х Е [и; и + 1), н б 1с1, то з1кн зш яз = ( — ~ф~ Яиедосса- Глава !.
[[есаб< ньвенный ньннсгуал тельно, если [61) < [6г) — 2, то Ьр в]кп в[п лх х+2 ь, ]ь,]+1 Ь, н-[Ь1]+Ь ю [Ьр! если [6|] = [Ьг] — 1, то Ье [ь! ь Ьр в]кпв]пих Г ( — 1)]ь'] Г ( — 1)[ь*] е+2 ,/ х+2 ,/ х+2 ь, ь, [ь,] если же [6|) = [6г), т.
е. точки Ьь и Ьг лежат на одном полуин- тервале с целочисленными концальи [и; и + 1), и Е ]ь[, то ь, Ьз в[кп в]п ех Г ( — 1)[ь'! Их= / Их. х+2 ,/ х+2 ь, ь, Так как [ь,]+ь ц[ь,1 1 1 ь[х < <— х+2 [61]+ 2 6[+ 1' ! ь. ,/ х+2 ] [Ьг]+2 Ьь+1 ь,] то ь, 1 1. Несобственный нггтеграв 19 ьг 4 ! Г згйгьвгп хх Итак, если — < Ьг < 6з, то ~) бх < е. Таким е (./ х+ 2 ь, 1 я!$п еш хх образом, для интеграла ) ггх выполнены условия х+2 1 критерия Коши и, следовательно, этот интеграл сходится, Пример 8.
Покажем, пользуясь критерием Коши, что ни+го е!8п в!п(х !п х) теграл ) г!х расходится. х+2 г Начнем с формулировки отрицания критерия Коши. Надо найти такое число ео, что для любого В > 1 можно указать нару чисел Бы Ьз, длл которых В < Ьг < Ьз, но ь, ! / вщпа!п(х!пх) г(х > ье. х+2 ь, ь, Г я!8пе!п(гг!пи) Поскольку интеграл ) ох оценивается сник+2 ь, зу, то естественно взять такой промежуток интегрирования [6г ! Ьз), па котором подынтегральная функция ие меняет зна- ка.
Определим числа Бг и Ьз равенствами: 1п Ьг — — 2п, 1п6з = = 2п + 1, п Е 1Ч; тогда для любого числа В > 1 условие В < Ьь < Ьз выполнено, если взять достаточно большое и. Для х б (6И Ьз) имеем в!8п еш(я 1п х) = 1, следовательно, ь, ь, я!8п е!п(х 1п а) Г Ых б =) — =!п(6,+2) — !п(Ьг+2) = х+2 ) х+2 ь, ь, = 1пЬз — !пЬг+1п 1+ — ) — 1п ~1+ — ) > 1 — — > —.
Ьз) 1, Ьг) Ь! 2' 1 Итак, если е = —, то для любого числа В > 1 находится такая 2' ь, !' в!8п в!п(х !п х) пара чисел 6ы 6з, что В < Ьь < Ьз и ) бх > е. х+2 ь, ! 'лава 1. Пг собсгггаенггьгй ингпггрвл 20 + ОО в!цп вг!!(л! п х) Следовательно, пнтгтрал / гГх расходится. я+2 1 Пример 9. Покажем, пользуясь критерием Коши, что ин- +ОО тегрвл / х)сов ггх 1в1!г ' ' ггх ггх сходится. 1 Пусть 1 < 6г < Ьз. Так как подынтегральная функцил неотрнцательна„то для целых чисел дг, ггз таких, что 1 ( вг < < 6з < бз < г1з, имеет место неравенство ь 0 < / ~ х'~вгггз1 '1' ' 1х< ~ ~совнхз)в1пз1 '1' хзг1х ь, ,/ш Так как ,/и+1 !/в+у ОГО 2, 3 О х~ сов ях ~ вш 1* ' лх г1х = / х) сов ггхз ! в1п " лх Нх = !/й !/й О+1 О/ — ~-.
1!.1 '" 1а= — Г.1 ".И(.1 =)= —,, в в то !/ЧО 9О-Г 1 !/гп 1 х~ совнхз~вгпз1* 1 яхз г1х = ~~ — < 2ггп' 2х(дг — 1) ' чя! Итак, если гу/ — + 2 < 6г < Ьв, то 'г' 2яв ЬО 2 2 с~ 2 0 ( ~х) совнх~~вгп~1~ 1 нх Нх < а, ь, следовательно, в силу критерия Коши, интеграл х~ сов ггх ~вш ' ' ггх гГх г сходится.
1 1. Несобсшвенмыв имшеерал 21 Обратите внимание на то, что подыитегрзльнзя функция 1(я) = я[соля* [з(п 1*1 хх в данном сходящемся интеграле не стремится к нулю при я -+ +со и даже ие ограничена на [1;+со). Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать утверждение критерия Коши сходимости несобственного интеграла и его отрицание в том случае, когда единственной особой точкой подынтегральиой функции является левая концевая точка промежутка интегрирования. Из критерия Коши немедленно следует, что сходимость или расходимость интеграла / 1(я) ях зависит от поведения а функции 1 только в левой полуокрестности точки ы — промежутке вида (с; ы).
Будем говорить, что функция 1 локально слева (справа) в точке ы обладает некоторым свойством, если существует такая левая (правая) полуокрестность точки ы, в которой 1 обладает этим свойством. Например, выражение "функция 7 монотонно локальна слева в точке ы" обозначает, что у монотонна на некотором промежутке (с; ы), Как уже не раз отмечалось при исследовании существования предела, применение критерия Коши для исследования сходимости конкретного несобственного интеграла, по большей части, технически сложно. Поэтому, в основном, при решении этого вопроса используются достаточные условия, в совокупности имеющие большой объем применения.
Теорема сравнения. Пусть функции 1: [асм) -+ й и у:[сом) -+ й удовлетворяют неравенству 0 ( 1(х) ( у(з) локально слева в точке ы. Тогда из сходимости интеграла у(х) Ия следует сходимость интеграла / 1(я) ля, а из раем и Ю с Г а ходимости /Дх)<Ь следует расходимость интеграла ~у(з)ях. а с Следствием этой теоремы является Признак сравнения.
Пусть функция 1: [а;ы) -~ й неотрицательна, функция йс [с; ы) -+ й . ~охально слева неотрицательиа в точке ы и Дя) у(я) при х -+ ы. Тогда интегралы Глава й Несобсоьееинмб иняьеерал у(в) ь!я и / д(я) Ия сходятся или расходятся одновременно. а с Заметим, что для локально неотрицательных слева в точке м функций у: [а; м) -ь Й ограниченность функции Р(Ь) = ь [ 1(я)ев на [аьм) эквивалентна сходимостн интеграла О у(я) Ив. Поэтому для таких — и только для таких!— а функций вместо выражений "интеграл / у(я) Их сходитсяа а и "интеграл / У(я) ов расходится" применнют соответствена е М но ~и~в~вы: / у(я)<1я < оо н / у(я) И*= ос. а а Применение теоремы и признака сравнения для анализа сходимости несобственных интегралов требует, как и для рядов, набора "эталонных" функций, сходимость или расходимость соответствующего интеграла для которых установлена. Наиболее употребительным таким набором является се- 1 мейство степенных функций: д(а) = — для анализа интегра+Оа 1 лов вида у(я) с!в и д(а) = для анализа интегралов (Ь вЂ” я)г ь а вида ~ у(я) Ыя, где особой точкой функции у является точка а Ь ( — оо < а < Ь < +со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
