И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если $» < 1з, 1 1 то неравенство з < з верно только на (х — 1з)з + 1 (х — 1з)з + 1 луче х > с(11,$о), где 11 < с($ь $з) < 1з (см. рис. 1). Таким 1 образом, функция у1(х) = не является мажоран(х — А)з+ 1 1 той семейства Дх,Ф) = для 1 Е (О;А). Поскольку (. 1)г 11 для любого1 Е (О;+ос) имеем, что О < у(х,1) < 1, то функция уз(х) = 1 является мажорантой семейства 1'(х,1) для 1 Е (О; А) .~-»» +о» и для 1 Е (О;+ос), но интеграл ~ уз(х) 4х = з~ Нх расходито о ся.
Возьмем функцию 1, 0( х(А, у()= 1 т (х — А)о+1' х > А. Эта функция уже удовлетворяет обоим условиям: она являет- I 'лава I. Всеоб«те«нивой янгггг«рвл о «(1~ 1г) Ьг Л т Рис, 1 1 «в,корантой семейства 1(х,1) = для С Е (О; Л) и (х — С)2+ 1 1 интеграл у(х) г1х сходится, так как у(х) — при х — + +ос. хз о Покажем, что в случае б) данный интеграл сходится и«- равномерно, пользуясь критерием Коши. Действительно, гходимость зтого интеграла для любого 1 Е (О;+со) показана и пункте а). Далее, так как максимальное значение функция 1 1(х,1) = принимает в точке х = 1, то для того, (х — 1)з+ 1 Ьг '«(х чтобы получить интеграл болыпой величины / (х — 1)з+ 1 Ь, естественно взять числа 61, Ьз так, чтобы Ьг < 1 < Ьз. Пусть 61 = 6 — 1, Ьз = 1+ 1, тогда ь, 3 г1х 1 г(з я (х — 1)з+ 1 у ге+ 1 2' Ьг -1 Итак, для любого В > О найдется значение 1 = В+ 2 на луче (О;+со) и числа Ь1 = 1 — 1 = В + 1, Ьз — — 1+ 1 = В+ 3 ь.
г1х х такие, что В < Ьг < бз и з — — —, т. е. иггтеу (х — 1)з+ 1 2' +аа ь, г1л грал сходится неравномерно на луче (О; +со). о В обоих приведенных примерах перавнолгерная сходи- мость интеграла на соответствующем множестве доказыва- лась с помощью критерия Коши. и Разумеется, если интеграл /Дя,1) Ия сходится неравно- а мерно на множестве Т, то никакая мажорантнал функция у(в) семейства у(я, Х), 8 Е Т, не иптегрируема на [а; ьг). Но неинте- грируемость наиболее точной мажорантпой функции у(л) = впр[у(я,8)[ на [агы) еще не обозначает, что интеграл гет у(л,1) дх не сходится равномерно на Т. Во-первых, если а интеграл / Цх,1) гьв при некоторых 1 Е Т сходится услова но, то его равномерная сходимость заведомо не может быть установлена с помощью признака Вейерштрасса, поскольку из выполнения условий этого признака следует абсолютная сходимость рассматриваемого интеграла на Т.
Во-вторых, даже в случае абсолютной и равномерной сходимости на мно- жестве Т интеграла / Дя,1) ггл функция у(я) = впр [Дя, г)[ гет а может не интегрироваться на [а; ы). Приведем соответству- ющий пример. +аа 1 галл Пример 41. Рассмотрим интеграл ц,,„, 11 о 1 Е О; — ~. Множество значений 1 пе является компактом. '2~ Доопрсделнм функцию 1(л,ь) =, х ) О, 1 Е (1я — 1)2 — 1п1' 11 Е О; — ~ положив л(л,О) = О для всех я > О. Тогда к инте- '2~' /'лаиа й П< ~ одгшегитаи иишггрил 60 гралу / )(г.!) гЬ ирили вима теорема Дини. /(ействительно. 11 миож< ство шшчгиий ~ - отрезок ~О; -~ — есп.
компакт. функция )(х,/) 1и отрицательна иа множестве [О:+со) х ~0; -~, иераигигтио 0 < ((х,1) < —, показывает что ((х,1) иеире- )и2 рыииа иа зтом множестве, функции з'(~) = З/ Дх, ~) й: = а О, Х=О, 11 оиределсиа и непрерывна на 0; -~. Следовательно, иите+м ~ '2~ 11 ) Л*,~)Ш* * д р р [О;-~, и '2~ 1ох у' 11 интеграл / сходится равномерно на [хО; †, ~. ,/ (рх-1)з-) ~ [,'4 В то же время для х > 2 имеем неравенство ( у(х) = аир у(х,1) >,) х,— ) = 1е (е,х] т.
е. функция д(х) локально слева в +со говиадает с функцией , и,так как интеграл / расходится,то расхохЬа +,/ х)их а дитгн и ииччтрал З/ у(х) Ых. а Признак Абели — -Дирихло равномерной сходимости ннтс грела, зависящего от параметра. Пусть функции )(х,1): х Е [агм), 1 Е Т, и д(х,(): х Е [ирм), $ Е Т, ири ка- Г>8 Рливп 1.
Пссийпииснный ннгпперил +оо Г 1~ сов |х Пример 43. Показать, что интеграл 1 ь1х схо,/ х+ьг 1 днтся равномерно на [О;+ос). Решение. Положим Г(х,ь) = ьсовьх и д(х,ь) = х+ьг Функция д(х,1) монотонна на [1;+оо) прн любом Ь Е [О;+ос), 1 а неравенство 0 < д(х,ь) < †, х б [1; +оо), М б [О; +ос), 2~/х ' показывает, ч го д(х, 1) ь 0 при х -+ +ос на [О;+оо). Далее, 1 сов Ьх йх = [ ейп Ьь — в1 и 1[ < 2, С Е [О; +со), Ь Е [1; +~х~) . 1 Итак, выполнены условия а) и б) признака Абеля — Дирихле н, +со Г 1 совЫ следовательно, интеграл / ьЬх сходится равномерно / х+ьг на [О;+оо). +оо Г сове Пример 44. Показать, что интеграл ~ агсьйьх йх ,/ 2х — ь 1 сходится равномерно на [О; 1].
агсЬк ьх Решеаае. Если положить Г(х, 1) = сов х и д(х,1) = ь ь 2х — 1 ' /~я*ли*!= 1'-.*о* <о " ль 1 1 е [О; Ц и Ь Е [1;+со), по монотонность функции д(х,ь) не очевидна — и числитель, и знаменатель при 1 > 0 растут с ростом х — следовательно, требуется дополнительное исследование. В данном случае проще представить подынтесов х гральную функцию в виде произведения агсЬяьх и про2х — С верить выполнение вгорой пары условий признака Абеля— Дирнхле.
Действительно, поскольку, как уже установлено, ь функция Р(Ь,1) = / совхйх ограничена на [1;+со) х [О;1) и 1 св 3. Несобственный интеграл, зависящий' от паралсстра 69 1 1 неравенство (, х Е [1;+оо),1 Е [1;2], поквзыва2я — 1 2я — 1' 1 ет, что функция — монотонна и равномерно сходится к 2я — $ Г совлс(х нулю при в -+ +оо на [О; Ц, то интеграл / сходится ,/ 2х — 1 1 равномерно на [О; Ц. Функция у(я,1) = вгс1б1з ограничена на [1;+со) х [О; Ц и при любом 1 Е [О; Ц монотонна на [1;+оо). +сю сов я Следовательно, интеграл / агс1бЫ сГс сходится рав,/ 2я — 1 1 номерно на [О; Ц. +со Г 1в)п (х+ -) Пример 45.
Показать, что интеграл / * с(и о сходится равномерно на [О; Ц. 1в(п (я+ -') Решение. Ири любом 1 ул 0 функция У(л в) = на (О; +оо) имеет две особые точки — 0 н (+оо). В таком случае, как и для интеграла, независящего от параметра, промежуток интегрирования разбивается на два так, чтобы на полученных промежутках только одна и при этом краевая точка являлась особой для подынтегрвльной функции, интеграл сходится равномерно тогда и только тогда, когда равномерно сходятся интегралы по каждому из полученных промежутков.
Следуя этому правилу, представим данный интеграл в виде +сю 1Гз ОО 1сйп (х+ —,') Г 1сйв (л+-') Г $впч (я+ —,') 1Гг и проверим, что каждое из слагаемых есть равномерно сходящийся па [О; Ц интеграл. 1Гз Г 1в|п (з+ с) Ингеграл / сся, в свою очередь, представлял а !'лона У. Пг< обстаен1нлй онтсерал 70 1/2 1/2 1зшхсоз — г гсозхзш Г ется суммои / — Г7х+ / л 11х. а о рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Неравенство < !соз — <1, хЕ 0; —, 16[0;1], 1/2 Г 1яп хсоз— показывает, что интеграл / ~ 11х сходится равное 1яп х соз — ' 1 111 мерно на [О; 1] (заметим, что ' Е Л ~0;-~ для всех х ~ '2~ 1 Е [О; 1], но равномерная скодимость интеграла является следствием ограниченности функции двух переменных д(х,г) = 1зьпхсоз- Г 1 1 * на 0; — х [О; 1]).
Положительную функцию во [, '2) втором слагаемом представим как произведение следующим 1 соя х яп образом: — зш —.хсозх. Так как д(х,1) = х е2 х = х соз х не зависит от 1, то д(х,1):$0 при х -+ О+ на [О; 1], 11 а неравенство (х соз х) = соз х — х яп х ) О, х Е ~0; -~, по- ~ '2~' 11 казывает, что д(х) монотонна на 0; — ~. Функция Г(б,1) = 1/г 1 Г' — яп — Их ограничена на [О; — ) х [О; 1]. Итак, интехг х [, '2) ь 1/2 1 1яп (х + -') грал ) ~ Гаях как сумма двух равномерно сходящихх а ся на [О; 1] интегралов сходится равнольерно на [О; 1], +т Г Гзш (г:+ — ') Интеграл / ~ бх гоже разобьем на два слага- 172 емых 2 3.
Несобственный интеграл, зоеоснщой от норолетра 71 +Ос +ОО 1 21п х сое — ' / / сов х еш с/х+ [ ' с/х х .е С/2 1/2 и будем рассматривать каждое нз ннх. Так как 1соехесп / 1 2 ~ х ~ ~-;+ос, с Е [О; Ц~ 1 ) / ешх Интеграл ~ — с/х сходится в силу признака Абеля — ДиС/2 рихле, а поскольку подынтегральнея функция не зависит от 2, то зта скодимость равномерна на [О; Ц. Функция д(х,1) = 1 [1 2 сов — ограничена на С-;+ос х [О; Ц и монотонна на х +ОО ! 1 с" 1еспхсоя — ' —;+со] при любом/6[0; Ц. Итак, интеграл / с/х х 1 сходится равномерно на [О; Ц, следовательно, интеграл +ОО ' ( .') /есп (х+ -') с/х сходится равномерно на [О; Ц. С/2 Объедссняя все вышесказанное, получаем, что интеграл +ОО ( .') /сйп (х+ -') с/х сходится равномерно на [О; Ц. а +ОО / 1 сое х 21 и —,' то в силу признака Вейерштрасса интеграл / * с/х С/2 сходится равномерно и абсолютно на [О; Ц.
В первом слагаемом подынтегральнусо функцию удобно есп х представить как произведение — исоа — (если же взять с х х /сое— произведение ешх. — *,то придется дополнительно провех с соя — 1 рять монотонность функции — * на —;+со при 1 Е [О; Ц). х 2' 1'лови 1. Несобственный интеграл 72 е1п1х, 1(х( к(4п+ 5) 21 , 1с(0;Ц, я(4п+ 5) к(4п+ 5) 21х ' 21 х> 16(0 1] д(х,1) = О, х > 1, 1 = О, где и = п(1), и 1е1п1х 1(х,1) = —. я Тогда получим, что ь 1) гак как функция Г(6,1) = ~1е(п1хах = сое1 — сое6х о ограничена на [1;+оо) х [О;1], функция — монотонна на [1;+оо) х +, 1 и — 4 0 при х -+ +со на [О; 1], то интеграл / 1"(х,1) ах схо- 1 Сравнивая формулировки признаков Абеля — Дирнхле для сходимостн несобственного интеграла, независящего от параметра, и для равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, видим, что требование локальной монотонности слева в точке ы функции д(х) заменено требованием монотонности функции д(х,1) при фиксированном 1 на всем промежутке [асм).
Если же функция д(х,1) монотонна на промежутке [Ь(1)см), где а < 6(1) < ы, то равы номерная сходимость интеграла ~1(х,1) с1х на Т и ограни» ченность д(х,1) на [а;ы) х Т не гарантируют равномерную сходимость интеграла / 1(х,1)д(х, М) Ых на Т. Приведем со» ответс твующий пример. Пример 46. Для 1 Е (О; 1] найдем натуральное число п(1) »О) такое что ~~ — > —. Положим ь 3. Несобственный интеграл, зависящий ат параметра 73 днтся равномерно на [О; Ц; 2) функция д(х, С) непрерывна и ограннчспа на [1;+со)х[0;Ц и при каждом С Е [О; Ц локально монотонна слева в +со. Следовательно, при каждом фиксированном С Е [О; Ц нито+ сю грал ~ /(х, С)д(х, С)»СС сходится в силу признака Абеля — Дн- 1 рихле.
Покажем, пользуясь критерием Коши, что сходимость зтого интеграла на [О; Ц неравномерная. 2х 2х(п(С) + 1) Пусть С Е (О; Ц, 61 = —, 6з = С , тогда з«(» м») ь, ь. а(») ь С' Св!пз(х — / е!и Сх /(х,С)д(х,С) г!х = з)»(х = С ~ ! — »Сх. ь 9иь зз ! » » Так как подынтегральная функция неотрицательна, то з (»+11 ззхээ у» г 2 ип Сх Г в!и Сх з лэлС» » 1 !2хд+ я/4 2яд+ Зх/4~) Так как в!п Сх > — для х Е ~ С ~» д Е И, то з »+э » в!пз(х 1 2зд+Зх/4 1 я 1 — »Сх > — 1п > —. > —, 2 2хд+ я/4 2 4хд+к/2 104' з ззэлС» д Е И. Объединяя все полученные неравенства, имеем, что ь «(») /(х, С)д(х, С)»Сх > — ~~» — > —. 10 д ГО' ч=г 1 2»г Итак, для любого В > 1 возьмем такое Са Е (О; Ц, ч го — > В: Са 2л 2»г(п(С) + 1) тогда числа 6г = — и 6з = удовлетворякэт нера!а Со I уьаььью !.
Весобстагнныу ььььяььтрн.ь 1 венству И < бь < 6з и ~ ь'(х,!а)у(х,!е)Нх > —, откуда ьль- 10' ~-ОО Ь, дуст, что /,!(х, !)у(х, !) ь(х сходится нсравььомь рно на [О; 1]. 1 Теорема об интегрировании несобственного инть, грала по параметру. Пусть семейство функций !(.г,!), х Е [а; аь), 1 Е [с; ь!] удовлетворяет условиям; 1) за(х, !) Е С([и;аь) х [с; ь(]); 2) интеграл а(1) = /!'(х, 1)ь!х сходится равномерно на [с; ь!].
а Тогда справедливо равенство а а И /ь~ ~а) 1Цл и] а а а а Заметим, что функция а (1) в силу теоремы о непрерывно- сти несобственного интеграла непрерывна и, следовательно, интегрируема на [с;ь!]. 1 агс$и х Пример 47. Вычислить интеграл у! ь(х, пользуь е „агс1н х / сН ясь формулой = 1, з, х > О. х,/ 1-1- хз!з е Решение. Запишем данный интеграл в ниде ь 1 П~....'~ .)сг 1 Покажем, что функция,((х, !) =,, удовлстно- (1+ хз!з)~/à — хз ря т условиям теоремы об ььнтсгрьь1ьоььаньььь несобственного интеграла но параметру и, следовательно, ь ь ь ь ь ~'"а'йь =~(/ЬЬаа) бе=~(!ЬД*,Е ьг)а. 0 ь) Н О 1 3. Всспйлнпснный ннтнгеупп, запасли!ий п)н и!Он!жен!уп 70 1 Функция /(х,1) = непрерыю!а на [О;1) х [О: Ц. (1+ г!г)!/Т вЂ” хг Для ! Е [О; Ц имеем, что йх !(г (1+ хг!г)~/à — хг,/ 1+1г пуз о о йи и 1+1г+нг 2д 1г' о ! о(х Таким образом, интеграл сходится для (1+ г1г) '1 'г о любого 1 Е [О; Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
