В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр. 8 из 9)9.4. Экспоненциальн аяфу нкциякомплексногопеременногоz2znznСтепенной ряд 1  z абсолютно сходится для всех z  C , ...  ...  2!n!n  0 n!znпоскольку для его общего члена an ( z ) при z  0 имеемn!za n1 ( z ) lim 0 1n  a ( z )n  n  1nlimznи применяем признак Даламбера. Обозначим  exp( z ) , z  C .n 0 n !Теорема 9.4. exp( z )  exp( w)  exp( z  w) , z , w  C . Без доказательства.Таким образом, функция exp( z ) , z  C , удовлетворяет такому же функциональномууравнению, что и экспоненциальная функция e x , x  .

Кроме того, если z  x , тоexp( x )  n 0xn e x , x  . Поэтому, по определению, обозначают exp( z )  e z , z  C , иn!z2znzne  1  z   ...   ...   , z  C .2!n!n  0 n!z(14)Если в (14) положить z  ix , i  1 , x   , и заметить, что i  i , i  1 , то:23(ix) n  (1) k 2k(1) k 1 2 k 1e x  ix cos x  i sin x, x   .n 0 n !k  0 (2k )!k 1 (2k  1)!ixТаким образом, доказана формула Эйлера:eix  cos x  i sin x, x   .izОна справедлива и для комплексных z  C в виде e  cos z  i sin z , z  C .4Математический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр.

9 из 9)Прямым следствием теоремы и формулы Эйлера будет формула Муавра-Эйлера: cos x  i sin x n cos nx  i sin nx, x  , n   .◄ (e )  e , x  , n   , и применяем формулу Эйлера. ►ix ninxМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 1 из 17)Билет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённыеряды Фурье.Тригонометрические ряд ы Фурье. Теорема осходимост и (без док-ва)10.1.Ортонорми рованные системы функцийБилет содержит много материала, данного мелким шрифтом.

На экзамене он необязателен, ноочень полезен.Множество функций, определённых на некотором отрезке  a, b  , образует векторноепространство относительно обычного сложения и умножения функции на число. Легкодоказать, что такое пространство не является конечномерным, так как, например, функцииx, x 2 ,..., x n ,...

линейно независимы.Предположим, что определено скалярное произведение, т.е. билинейная функция,сопоставляющая каждой паре рассматриваемых функцийобозначаемоеf  x  и g  x  некоторое число, f  x  , g  x   ,причём выполняются такие свойства:1. f  x  , g  x    g  x  , f  x   ).2. f  x  , f  x   0 причём  f  x  , f  x    0 тогда и только тогда, когда f  x   0 .3. ( f ( x)   g ( x ), h( x ))   ( f ( x ), h( x ))   ( g ( x ), h ( x)) .Далее будем кратко обозначать скалярное произведение ( f , g ) .Имея скалярное произведение, определим норму функции fравенствомf  (f, f).Определение 10.1. Система функций называется ортогональной, если для любыхразличных f , gиз этой системы имеем ( f , g )  0 =0.

Ортогональная система функцийМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 2 из 17)называется ортонормированной, если для любой функции из этой системы имеет месторавенство f (f, f).Любую ортогональную систему функций, не содержащую тождественно равную нулюфункцию,можно преобразовать в ортонормированную систему функций, положив длялюбой функции из этой системыf.fРассмотрим пример скалярного произведения непрерывных функций f  x  и g  x  ,определённого равенствомb f  x  , g ( x)    f ( x) g ( x)dx ,.(1)aЛегко видеть, величина (1) действительно обладает свойствами скалярного произведения.Свойства 1 и 3 очевидны, свойству 2 посвящена лемма.bЛемма 10.1 Если функция f непрерывна на[a, b] , a  b, и еслиf2( x )dx  0, тоaf ( x )  0, x  [a, b ].◄ Если бы тождество f ( x)  0 не имело места, то нашлась бы такая точка x0 , в которойf 2 ( x0 )    0.

Так как функция непрерывна, то найдётся такая окрестность ( ,  ) этойточки, принадлежащая промежутку[a, b] , что в ней справедливо неравенство f 2 ( x )  .2Следовательно,bfa2( x) dx   f 2 ( x) dx  (    )  0,2Математический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье.

Теорема о сходимости (стр. 3 из 17)что противоречит условию леммы. ►Хотя формула (1) и не вполне определяет скалярное произведение можно говорить обортогональности функций.Если расширить класс рассматриваемых функций, рассматривая не только непрерывныефункции, но и интегрируемые, то свойство (2) может быть не выполнено, то есть изbравенстваf2( x)dx  0(2)aне следует, что f ( x )  0, x  [ a, b]. Например для отличной от тождественного нуляфункции f ( x ), равной 1 при x  0 и равной 0 во всех остальных точках отрезка [1,1] ,равенство (2) выполняется. Ситуация исправится если мы ограничимся непрерывнымифункциями.Определение10.2.Двеинтегрируемыефункцииf  x иg  xназываетсяbортогональными на отрезке  a, b  , если f ( x)g ( x)dx  0.Конечная или бесконечнаяaсистема функций называется ортогональной на отрезке  a, b  , если любые две функцииэтой системы ортогональны на этом отрезке.Важный пример ортогональной системы функций даёт тригонометрическая системафункций.Теорема 10.1.

Тригонометрическая система функций 1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x....,cos nx sin nx,... ортогональна на отрезке   ,   .◄ Прежде всего установим ортогональность каждой функции системы с первой из них.Имеем1 1 cos kxdx   k sin kx   0Математический анализII курс III семестрБилет 10.

Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 4 из 17)11 1kk 1  sin kxdx   k cos kx    k (1)  k (1)  0Опираясь теперь на известные из средней школы тригонометрические формулы,получим1 cos kx cos lxdx  2  cos  k  l  x  cos  k  l  x dx  0, k  l,1sinkxsinlxdxcos  k  l  x  cos  k  l  x dx  0, k  l ,2  1 sin kx cos lxdx  2  sin  k  l  x  sin  k  l  x dx  0,Последнее равенство справедливо и при k  l .

►10.2.Коэффициен ты Фурье. Минимальное свойство ко эффициентовФурье. Неравенство Бессе ляРассмотрим множество функций, определённых на некотором отрезке a, b  .Онообразует векторное пространство относительно обычного сложения и умножения функциина число. Пусть определено некоторое скалярное произведение. Пусть 1 ,...,  n ,... некоторая ортонормированная система.Определение 10.3.

Числаcn  ( f ,  n )(3)называются коэффициентами Фурье функции . Рядc nn(4)n 1называется её рядом Фурье.Вопрос о сходимости ряда Фурье (4) сложен и будет исследован позже. Пока используемформальную записьМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр.

5 из 17)f   cnn ,n 1означающую, что функции f соответствует её ряд Фурье (4).Мелкий шрифт- на экзамене необязательно! Перейдём к минимальному свойству коэффициентовs N   cnnФурье. Обозначим– частичную сумму ряда Фурье функции .n 1Пусть t N  bn n– некоторая сумма, имеющая другие коэффициенты.n 1Теорема 10.2.(минимальное свойство коэффициентов Фурье). Для любой суммыt N   bnnn 1выполняется неравенствоN2( f  tn )  ( f , f )   cn2 ,(5)n 1причём равенство в (5) достигается тогда и только тогда, когдаbn  cnдля всехn  1,..., N .N◄ВычислимскалярныйN2( f  tn )  ( f   bnn , f   bnn ) квадрат:n 1Nn 1N( f , f )  2 bn ,( f ,n )  ( bnn )2 .n 1n1NПосколькуNNN( m ,  n )  0, m  n ( bn n ) 2  ( bn n ,  bn n )   bn2 , согласно (1), имеемn 1Nn 1Nn 1Nn 1NNN( f  tn ) 2  ( f , f )  2 bncn   bn2  ( f , f )   cn2   cn2  2 bncn   bn2 n 1Nn 1n 1n 1n 1n 1N( f , f )   cn2   (cn  bn ) 2 .n1n 1NТеорема доказана, так как величина (cnn1когдаbn  cn для всех n  1,..., N .► bn ) 2  0 причём она равна нулю тогда и только тогда,Математический анализII курс III семестрБилет 10.

Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 6 из 17)Теорема 10.3(неравенство Бесселя).2f  cn2 .(6)n 1◄ В теореме 10.2 для любого N доказано равенствоNN( f  tn ) 2  ( f , f )   cn2   (cn  bn )2 .n 1n1NПоложив в нёмbn  cnдля всехn  1,..., N( f  sn ) 2  ( f , f )   cn2 ,, получаемоткудаn 1N( f , f )   cn2  0,илиn 1f2  cn2. В левой части неравенства стоит частичная сумма ряда сn 1неотрицательными членами.

Все эти суммы ограничены для любогоNодним и тем же числомf2. Значит,ряд2ncсходится и выполнено (6).►n 110.3.Тригонометрический ряд Фурье, е го коэффициентыОпределение 10.4.Тригонометрическим многочленом называется функция видаA0  A1 cos x  B1 sin x    A2 cos 2 x  B2 sin 2 x   ...   An cos nx  Bn sin nx  ,2A0 , Ak , Bk , k  1,..., n  действительные числа.

Если An2  Bn2  0 , то число nT ( x) гденазывается порядком (степенью) тригонометрического многочлена T ( x ) и имеетобозначение degT  n .Функциональный рядA0   An cos nx  Bn sin nx 2 n 1называется тригонометрическим рядом. Коэффициенты(7)ряда A0 , An , An , n   произвольные действительные числа. Частные суммы sn ( x) тригонометрического ряда (7)A0A0 ns0 ( x)  , sn ( x )    Ak cos kx  Bk sin kx , n  1,2,...22 k 1Математический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций.

Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 7 из 17)суть тригонометрические многочлены порядка deg sn  n .Пусть функция f ( x) определена и интегрируема на отрезке [ ,  ] (т.е. f  R[  ,  ] ).Числа1a0   f ( x ) dx (8)1an   f ( x )cos ndx, n  1, 2,... , (9)bn 1f ( x )sin ndx, n  1, 2,... (10)называются коэффициентами Фурье функции f ( x) .Тригонометрический рядa0    an cos nx  bn sin nx 2 n1(11)(независимо от того, сходится он, или расходится) коэффициенты которого – коэффициентыФурье функции f  R[ ,  ] , называется рядом Фурье этой функции.Связь между функцией f ( x ) и её рядом Фурье принято обозначать так:f ( x ), x  [ ,  ]a0    an cos nx  bn sin nx  , x   .2 n1Частными суммами sn ( f ; x) ряда Фурье (11) функции f ( x) будут тригонометрическиемногочленыa0a0 ns0 ( f ; x)  , sn ( f ; x )     ak cos kx  bk sin kx , n  1, 2,...22 k 1(12)порядка deg sn  n .Разумеется, если функция f ( x) разрывна, то её ряд Фурье не будет равномерносходиться к ней (сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна).Однако справедливаМатематический анализII курс III семестрБилет 10.

Характеристики

Список файлов книги