В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В точке x0 , где функция f дифференцируема или, по крайней мере,имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причём сумма егоравна f ( x0 ) . в точке x0 разрыва первого рода функции f для сходимости её рядаФурье достаточно предположить существование конечных пределовD  f ( x0 )  limt 0f ( x0  t )  f ( x0  0) f ( x0  t )  f ( x0  0), D f ( x0 )  lim,t 0ttпричём на этот раз суммой ряда будет10.6.f ( x0  0)  f ( x0  0).2Обобщённые тригонометрические рядыДо сих пор мы говорили о разложении функций, имеющих период 2 , в ряд потригонометрическим функциям.

Однако могут быть и функции, период которых 2l отличен от 2 . Вэтом случае, если числоlнецелое, то нельзя разложить функцию в ряд по тригонометрическимМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 16 из 17)функциям cos kx, sin kx , так как сумма такого ряда имеет период 2 . Но можно раскладывать итакие функции в ряд по обобщённым тригонометрическим функциям. Для решения этого вопросапредположим, что функция имеет период 2l . Тогда функцияl f  x  имеет уже период 2 .

Еёможно разложить в ряд Фурьеlf a0x   an cos nx  bn sin nx  ,2 n 1где11l l an   f  x  cos ndx, n  0,1, 2,... , bn   f  x  sin ndx, n  1, 2,... .        Положивf  y =ylx, получим x  y, dx  dy, иlla0  nn    an cosy  bn siny ,2 n1 ll гдеll1n1nan   f ( y ) cosydy , n  0,1, 2,... , bn   f ( y )sinydy , n  1, 2,... .l lll llТаким образом, мы нашли способ представления функций обобщёнными рядами Фурье. Понятно,что все результаты, относящиеся к сходимости рядов Фурье, переносятся и на обобщённые рядыФурье.10.7.Разложения только по ко синусам или только по синусамПредположим, что функцияf ( x)задана лишь на отрезке[0, ] .Желаяотрезке в ряд Фурье, мы дополним определение этой функции в промежуткеразложить её на этом[ , 0) по произволу.Математический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций.

Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 17 из 17)Утверждение. Можно использовать произвол в определении функции[ , 0)так, чтобы получить дляf ( x)f ( x) в промежуткеразложение только по косинусам или только посинусам.◄Представим себе, что для0  x мы полагаемf ( x)  f ( x) ,так что в результате получится чётная функция на отрезке [ ,  ] ,к тому же имеющая период2 . Её разложение будет содержать только косинусы.Аналогично, еслидополнить определение функцииf ( x)для0  x условиемf ( x)   f ( x)так, чтобы она оказалась нечётной,то в её разложении будут участвовать только члены с синусами.►Математический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные. уравнения химической кинетики. Уравнение вида:y  faxbyc11ax  by  c1(стр. 1 из 7)Билет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнениеy   f  x, y  . Теорема о существовании и единственности решения задачиКоши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения.

Простейшие дифференциальные. уравнения химической a xb yc 11кинетики. Уравнение вида: y  f  1 ax  by  c 11.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнениеy  f  x, y  . Теорема о существовании и е динственности ре шениязада чи Коши (бе з док-ва)Определение 11.1. Дифференциальным уравнением, называется уравнение видаF(x,y,y',…, y(n)) = 0, где F(t0,t 1,t 2,…, t n+1) — непрерывная функция, определенная в некоторойобласти D пространства Rn+2, х — независимая переменная, у — функция от х, у',…, у( n ) - еепроизводные.Определение11.2.Порядком,уравненииназываетсянаивысшийизпорядковпроизводных у, входящих в уравнение.Функция f(x) называется решением уравнения на промежутке (а; b), если для всех х из(а;b) выполняется равенство: F(x,f(x),f'(x),..., f( n )(x)) = 0.

Интегральная кривая — это графикрешения.Пример 11.1. Решить уравнение у' = 0. Его решение: f(x) = Const, определено на (∞;+∞). Отметим, что эта постоянная — произвольная и решение не единственное, а имеетсябесконечное множество решений.Пример 11.2. Решить уравнение у' =φ(x), х  (a;b) где φ(x) - непрерывная на (а;b)функция. Пусть F(x) первообразная для φ(х). Тогда уравнение имеет бесконечное множестворешений на (а;b) и все они имеют вид у = f(x) = F(x) + С, где С — произвольная постоянная.Есть прямой способ выбрать какое-то одно из этих решений, потребовав, например, чтобыдля некоторой точки х  (a;b) выполнялось условие у(х0) = у0.

Тогда, подставив х0 в решение,Математический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные. уравнения химической кинетики. Уравнение вида:y  faxby c11ax  by  c1(стр. 2 из 7)получаем условие y0 = F(х0) + С, определяющее С = y0 - F(х0) о и, тем самым, единственноерешение у = f(x) с указанным условием.Рис. 1.1. Решения уравнения у' = 0Рис. 1.2. Решения уравнения у' =φ(x)Рассмотрим значительно более общую ситуацию, чем была в примерах. Пустьисследуемое уравнение имеет вид: у' =f(x,y).

Это уравнение первого порядка, разрешенноеотносительно у'. (Термин "разрешенное" означает, что у' выражается через остальныевеличины, в отличие от уравнения общего вила F(x,y,y') = 0, из которого выразить у', можетбыть и не удастся). Сформулируем важнейшую теорему.Теорема 11.1 (О существовании и единственности решения задачи Коши). Пустьf t1 , t 2  - непрерывная функция в области D   2 , причемft1 , t 2  - также непрерывнаt 2 y   f  x, y в D. Тогда для любой точки  x 0 , y 0   D задача Коши: имеет решение, y x 0   y 0причем единственное в том смысле, что если есть два ее решения у1 и y2, определенныена интервалах (a1;b1) и (a 2;b2), содержащих точку X0, то они совпадают, на пересечении(а;b) этих интервалов.Теорему оставим пока без доказательства.Замечание.

Говорят, что решение y1(x) дифференциального уравнения на интервале(a1;b1)есть продолжение решения у2(х) на (a2;b2), если (a2;b2)  (a1;b 1)и у1(х) ≡ у2(х) наМатематический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные.

уравнения химической кинетики. Уравнение вида:y  faxbyc11ax  by  c1(стр. 3 из 7)(a2;b2). Также говорят, что решение у(х) — максимальное или непродолжаемое относительноD, если у(х) не обладает продолжениями, целиком лежащими в D.На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существуетединственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая частьуравнения у' =f(x,y) представляет собой у' - тангенс угла наклона касательной к графикуискомой функции в точке (х, у), а правая часть f(x,y) задает его численное значение f(x,y) вэтой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений на области D,т.е.

к каждой точке (х,у)  D прикреплен вектор, указывающий направление касательной кискомой интервальной кривой.Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условийчерез каждую точку (х.у)  D проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая.Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явномвиде получить их решения.11.2.Уравнени я с разделяющимися переменнымиУравнениямисразделяющимисяпеременныминазываютсяуравнениявидаy   f  x   g  y  , где f(x) - непрерывна на некотором (a;b), а g(y) непрерывна на (c;d), причемg  y   0 на (c;d).

Посколькуdydy f  x g  y   f x dx ,dxgyто интегрируя обе части последнего равенства,первообразную дляdy g  y    f  x dx . Обозначая G y  любую1, а F x  - любую первообразную для f(x), перепишем это уравнениеgyМатематический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные. уравнения химической кинетики.

Уравнение вида:y  faxbyc11ax  by  c1(стр. 4 из 7)в виде G y   F x   C . Это — искомая интегральная кривая. Рассмотрим некоторые примерытаких уравнений.Пример 11.3. Рассмотрим уравнение y   ay , a  0 . Очевидно решение у= 0. Если же у ≠0 то уравнение можно заменить таким:dy adx , откуда ln y  ax  C . Если считать, что уy C ax> 0, то ln y  x  C , откуда y  e e или y  ke ax , k  e C  0 . Аналогично, при y  0axполучаем y  k1e , k1  0 .Пример 11.4. Рассмотрим уравнение y   2 y . Очевидно решение -y x   0 . Приy  0 имеем:dydydy2 y  dx    dx dx2 y2 yy  x C ,2откуда при х > 0 находим: y  x  C  и x ≥ C.

Характеристики

Список файлов книги