В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Еслисчитать эти числа изменяющимися параметрами и обозначить C 0 ,...,C n 1 , то решениеy   ( x ) уравнения (1), соответствующее такому выбору параметров обозначим ( x ,C 0 ,...,C n 1 ) и назовём общим решением.При фиксированных значениях (4) получаем частное решение, или решениезадачи Коши с начальными условиями (4). График этого частного решения –интегральная кривая.Приведём пример решения задачи Коши для уравненияy   1(5)с начальными условиями (0) = 1, (0) = 2, (0) = 3.Здесь функция f тождественно равна 1 и все условия теоремы выполнены в любойточке x 0 , y 0 , y0 , y0 . Проинтегрировав уравнение 1 раз, получаемy   x  C 0(6)после следующего интегрирования имеемx2y  C 0 x  C1(7)2Математический анализII курс III семестрБилет 14.

Дифференциальные уравнения n –го порядка. Задача Коши для уравненияy ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) . Понижение порядка дифференциального уравнения (стр. 2 из 5)Наконец,x 3 C0 x 2 C1 x  C 2(8)32где – произвольные пока постоянные подлежат вычислениюЗададим точку x 0  0, y 0  1, y 0  2, y0  3 :(9)Тогда, подставляя в (8) x 0  0 находим:y0  1  C2 .Подставив x 0  0 в (7), получаем y 0  2  C1 , наконец, из (6) получаем C 0  3 .Итак, искомое решение с заданными начальными условиями (9) имеет видx 3 3x 2y   2x  1 .62Отметим, что уравнение (5) удовлетворяет всем условиям сформулированнойтеоремы, поэтому любое его решение получается по формуле (8) при подходящем выборечисел C 0 , C1 , C 2 .y  14.2.Понижение порядка дифференциального уравненияДифференциальное уравнение n-го порядка общего видаF( x , y , y ,..., y ( n ) )  0(10)в некоторых случаях может быть сведено к уравнению меньшего порядка.Случай 1.

Уравнение (10) не содержит x, т.е. имеет видF( y , y,..., y ( n ) )  0(11)Примем y за независимую переменную, а y    – за новую неизвестную функцию.Тогда, по правилу дифференцирования сложной функции,y  dy dy dy dpdpp  p ,dx dy dx dydy(12)и, согласно (12), d 2 p  dp  2 dy dy  dy  d  dp  y     p    p   p 2    p dydxdy dx  dy  dy   dy  (13)и т.д.При подстановке найденных значений y ,..., y 0( n 1 )в (11) получаем уравнениепорядка n  1dpd n 1 p F y , p , ,..., n 1   0 .dydy Пример.

Решите задачу Коши:y y  2 y 3  ( y )2 ,(14)Математический анализII курс III семестрБилет 14. Дифференциальные уравнения n –го порядка. Задача Коши для уравненияy ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) . Понижение порядка дифференциального уравнения (стр. 3 из 5)y( 0 )  0 , y ( 0 )  1, y ( 0 )  0 d 2 p  dp  2 dpПолагаем y   p , тогда y   p , y    p 2     p dydy dy  согласно (12) и (13), откуда2 2 d 2 p  dp  2  dp 3p p    2p   p  , dy 2  dy   dy 2 dp  dp d2pp p 2    2p 3  p 2  2dy dy  dy 23 d 2pp  2  2   0 dy3Либо p  0 , либоd 2p2 0.dy 2(15)В первом случае y   0 , y  C - очевидно, решение исходного уравнения, однако недающее решения задачи Коши (14).Интегрируя по y обе части уравнения (15), получаемdp 2y  C 0 ,dyp  y 2  C 0 y  C1 .(16)Из начальных условий:при x  0 , p  y  1 , а y  0 , поэтому1  0  0  C1 , C1  1 , а так как по (12) , y   pdp p( 2 y  C 0 ) , при x  0 имеем,dyввиду того, что y( 0 )  0 , y ( 0 )  1, y ( 0 )  0 :0  1( 2  0  C 0 ) , C 0  0 .Следовательно, (16) принимает видpdy y2  1 ,dxdy dx , arctg y  x  C 2y 12при x  0 , ввиду (14), y  0 , откуда 0  0  C 2 , C 2  0 .Математический анализII курс III семестрБилет 14.

Дифференциальные уравнения n –го порядка. Задача Коши для уравненияy ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) . Понижение порядка дифференциального уравнения (стр. 4 из 5)В итоге получаем: y  tg x .Случай 2. Левая часть (10) не содержит y, т.е. F( x , y ,..., y ( n ) )  0Полагаем y   p , y  p ,..., y ( n )  p ( n 1 ) и получаем уравнение порядка n-1F( x , p , p ,...,p ( n 1 ) )  0Если же вместе с y отсутствуют и y , y ,..., y ( k 1 ) , k  n , т.е.

еслиF( x , y ( k ) ,..., y ( n 1 ) )  0 ,то замена z  y ( k ) даёт уравнение порядка n-k:F( x , z ,...,z ( n  k ) )  0Пример:xy   y  1Положим y   p , y  p  . Тогдаxp  p  1 ,dp dx , ln p  1  ln C  ln x ,p 1считая, что p  0 , x  0 , получаем в этой областиp  1  Cx ,Cx 2dy 1  Cx , откуда y  x  C0 .dx2Случай 3. (На экзамене необязательно!)Уравнение (10) – однородное по y , y,..., y(n), т.е. для любого k( n)F( x, ky, ky ,..., ky )  k a F( x, y , y ,..., y ( n) )(16)где a – показатель однородности.Положимy  eгде u – новая неизвестная функция, а подudx udx понимаем произвольную первообразную.

Последовательнонаходим:y   y  u , y   ( y  u )  yu  yu   y( u   u 2 ) и т.д.Подставляя в уравнение (10) и учитывая (16), получаем:F( x , y , yu ,...)  0y a F( x ,1, u ,...)  0что приводит к дифференциальному уравнениюF( x , u , u ,...,u ( n 1 ) )  0Пример:xyy  xy  2  yy показатель a однородности по y , y , y  равен 2, полагаем22222y  eudxи используем формулы (17):xy ( u   u )  xy u  y u или, при y  0 (а y  0 , очевидно, решение),22Cxdxduxu   u , u , u  C( x ) , y  e  e ax ln C2  C 2 e ax ,dx(17)Математический анализII курс III семестрБилет 14.

Дифференциальные уравнения n –го порядка. Задача Коши для уравненияy ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) . Понижение порядка дифференциального уравнения (стр. 5 из 5)гдеC1 ,C 2  0 - произвольные постоянные.2Если рассмотреть случайC 2  0 , то формула y  C 2 e C1x и решение y  0 .Математический анализII курс III семестрБилет 15.

Линейные дифференциальные уравнения n-ного порядка.Свойства линейного дифференциального уравнения n-ного порядка (стр. 1 из 2)Билет 15. Линейные дифференциальные уравнения n-ногопорядка. Свойства линейного дифференциального уравнения nного порядкаОбщий вид линейного дифференциального уравнения n-ного порядка:y  n  Pn1  x  y  n1  ...

 P1  x  y  P0  x  y  f  x Функции P0  x  ,..., Pn1  x  называются коэффициентами уравнения,свободным членом (или правой частью).Если f  x   0 , то это уравнение называется однородным, его вид:y  n  Pn1  x  y  n1  ...  P1  x  y  P0  x  y  0(1)f  x  - его(2)Если же f  x   0 , то уравнение (1) – неоднородное.Предполагается, что все функции P0 ( x),..., P( n 1) ( x) и функция f  x  непрерывны нанекотором интервале a; b  (возможно, что a; b  –бесконечный интервал).Представляя уравнение (1) в видеy  n   Pn 1  x  y  n1  ...  P1  x  y  P0  x  y  f  x соответствующем уравнению (1) предыдущего билета, обнаруживаем, что частныепроизводные правой части по переменным y , y ,..., y ( n 1) равны, соответственно, P0 ( x ),...,  P( n 1) ( x) и являются непрерывными на a; b  функциями.Поэтому, по сформулированной в билете теореме 14.1 о существовании иединственности решения задачи Коши, для любого набора чисел x0  a; b  , y0 , y0 ,..., y0 ( n 1)существует единственное решение y   ( x) уравнения (1) такое , что ( k ) ( x0 )  y0 ( k ) , k  0,..., n  1.Можно доказать, что решение y   ( x) определено на всем a; b  .Уравнения (1) и (2) мы часто будем записывать в видеL ( y )  f ( x) и L ( y )  0 ,соответственно, где использовано обозначениеL  y   y  n  Pn1  x  y  n1  ...

 P1  x  y  P0  x  y(3)L( y ) называется линейным дифференциальным оператором, сопоставляющим n-раздифференцируемой функции y новую функцию, представляющую собой результатвыполнения всех содержащихся в (3) действий.Например, L( y )  y  y , а y  e x , то L( y )  e x  e x  2e x .В случае, если y  cos( x ) , получим L( y )  (  cos( x))  cos( x )  0 .Имеет место теорема.Теорема 15.1 Пусть L ( y ) - линейный дифференциальный оператор (3). тогда длялюбых двух функций y1 , y 2 , имеющих на a; b  n производных и любых чисел c1 , c2имеемLc1 y1  c2 y2   c1 L y1   c2 L y2 (4)◄По свойству производной порядка k:c1 y1  c2 y2 k   c1 y1k   c2 y 2k Согласно определению (3) и используя (5), получаем:(5)Математический анализII курс III семестрБилет 15. Линейные дифференциальные уравнения n-ного порядка.Свойства линейного дифференциального уравнения n-ного порядка (стр. 2 из 2)nL  c1 y1  c2 y2    c1 y1  c2 y2  Pn 1  x  c1 y1  c2 y2  n 1 ...

 P0  x  c1 y1  c2 y2   c1 y1 n   c2 y2 n   Pn 1  x  c1 y1 n 1  c2 y2 n 1  ...  P0  x  c1 y1  c2 y2   c1 y1 n   Pn 1  x  y1 n 1  ...  P0  x  y1  c2 y2 n   Pn 1  x  y2 n 1  ...  P0  x  y2  c1 L  y1   c2 L  y2  ►Следствие. Для любых функций y1 ,..., ym , имеющих на a; b  n производных илюбых чисел c1 ,..., cm имеемLc1 y1  ...  cm y m   c1 L y1   ...  cm L y m  .Рассмотрим множество решений уравнения L( y )  0 .Теорема 15.2 Множество решений линейного однородного дифференциальногоуравнения (2) является векторным пространством.◄Достаточно доказать, что если y1 , y2 - решения уравнения (2), то y1  y2 - решение(2), и если y - решение, а c - любая постоянная, то cy - решение (15.2).

Характеристики

Список файлов книги