В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Действительно,еслиL  y1   0 и L  y2 )  0  ,тоL  cy   cL  y   c  0  0 .►потеореме15.1,L  y1  y2   L( y1 )  L( y2 )  0иМатематический анализII курс III семестрБилет 16: Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (cтр.

1 из 2)Билет 16: Линейная зависимость функций. Определитель ВронскогоПерейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решенийуравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет размерность n .Определение. Пусть y1 ,…, yn - функции, имеющие все производные до (n – 1)-гопорядка включительно. Определителем Вронского W  W (t ) функций y1 ,…, yn называетсявеличинаy1... yny1'W...

yn'(1)y1( n 1) ... yn( n 1)Определение. Пусть y1 ,…, yn определены нa интервале (a, b) . Мы назовем их линейнозависимыми, если существуют постоянные c1 ,…, cm не все равные 0, такие, что для всехx  (a; b) c1 y1  ...  cm ym  0(2)Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейнонезависимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (2) следует, чтоc1  c2  ...  cm  0 .Теорема 16.1 Если y1 ,…, yn - линейно зависимы и имеют производные до (n —1) го порядка включительно, то W ( x)  0 , x  (a, b) .◄ По условию, существуют не все равные 0 числа такие, что на (a, b) выполняетсятождествоc1 y1  ...  cn yn  0(3)Взяв производную от обеих частей, получим:c1 y1'  ...  cn yn'  0(4)Аналогично,c1 y1''  ...

 cn yn''  0( n 1)1 1cy( n1)n n ...  c y(5)0(6)Рассмотрим произвольное x  (a; b) . Равенства (3-6) можно рассматривать как системулинейных однородных уравнений относительно неизвестных c1 ,…, cn . Поскольку этасистема имеет нетривиальное решение c1 ,..., cn (это означает, не все c1 ,…, cn равных 0), ееопределитель W ( x) должен быть равен 0, т.е.

W ( x)  0 , x  (a, b) .Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции x2 , x  0 0, x  02 x, x  0 '  0, x  0y1  , y2   2,y1'  , y2  для которыхи ихx,x00,x02x,x00,x0y1определитель Вронского 'y1y2 x2  0  0  2x, x  0''yyyyтождественно равен 0.1 22 12y2'0  2x  x  0, x  0Однако если c1 y1  c2 y2  0 , то при любом x  0 получаем c1 x2  0 , откуда c1  0 , апри любом x  0 получаем c2 x2  0 , откуда c2  0 .

Поэтому функции y1 и y2 линейнонезависимы.►Математический анализII курс III семестрБилет 16: Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (cтр. 2 из 2)Тем не менее, верна следующая важная теорема.Теорема 16.2 Если y1 ,…, yn являются решением уравнения (15.2) и в некоторойточке x0  (a; b) W ( x0 )  0 , то y1 ,…, yn линейно зависимы на (a, b) (и, следовательно,W ( x)  0 , x0  (a; b) .◄ Рассмотрим систему линейных уравнений относительноНеизвестныхc1 y1 ( x0 )  ...

 cn yn ( x0 )  0c y ' ( x )  ...  c y ' ( x )  01 1 0n n0c1 ,…, cn : ...c1 y1( n1) ( x0 )  ...  cn yn( n1) ( x0 )  0(7)Ее определитель равен W ( x0 ) По условию, W ( x0 )  0 . Значит, система (16.7) имеетнетривиальное решение c1 ,..., cn .

Рассмотрим функцию c1 y1  ...  cn yn  0 . По теореме(15.2) является решением уравнения (15.2). Равенства можно рассматривать как условиязадачи Коши, y ( x0 )  0 y' (x )  00,... y ( n1) ( x0 )  0которая, по теореме 14.1 имеет единственное решение. Вместе с тем, функция y  0 такжеудовлетворяет уравнению (15.2) и условию (8). Ввиду единственности, y  Y  0 . Такимобразом, существуют не все равные 0 постоянные c1 ,…, cn такие, что c1 y1  ...  cn yn  0 .Поэтому y1 ,…, yn - линейно зависимы на (a, b) .

Следовательно, по теореме 16.1 W ( x)  0на (a, b) .►Математический анализII курс III семестрБилет 17 Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n  гопорядка. (стр. 1 из 2)Билет 17. Фундаментальная система решений линейногооднородного дифференциального уравнения n  го порядкаОпределение.

Любые n линейно независимых решений линейного однородногодифференциального уравнения n -ного порядка называется фундаментальной системойрешений этого уравнения.Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.Теорема 17.1 Решения y1 ,…, yn уравнения образуют фундаментальную системурешений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель ВронскогоW ( x) отличен от 0 хотя бы в одной точке x0  (a; b) .◄Равносильная переформулировка утверждения теоремы — решения y1 ,…, ynлинейно зависимы тогда и только тогда, когда W ( x)  0 на (a; b) . Но это утверждениесразу следует из теорем 16.1 и 16.2.►Теорема 17.2 Для любого линейного однородного дифференциального уравнения15.2 существует фундаментальная система его решений.◄ Построим такую фундаментальную систему решений, для этого возьмемпроизвольную точку x0  (a; b) и поставим n различных задач Коши:L( y)  0y ( x0 )  1L( y)  0y( x0 )  0y ' ( x0 )  0y ' ( x0 )  1( n 1)y ( x0 )  0 y ( n 1) ( x0 )  0...

L( y)  0y( x0 )  0y ' ( x0 )  0y ( n 2) ( x0 )  0y ( n 1) ( x0 )  1По теореме 14.1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеетсярешение, и мы обозначим y1 - решение 1-й задачи, y2 - решение 2-й задачи,.., yn -решение n -ной задачи. Мы получили y1 ,…, yn -решения уравнения (15.2). Найдем W ( x0 )для этих функций:1 0 ... 00 1 ... 0W ( x)  0 0 ...

0  1  ... 0 0 ... 1Следовательно, по теореме (17.1) функции y1 ,…, yn образуют искомуюфундаментальную систему решений уравнения (15.2).►Теорема 17.3 Пусть y1 ,…, yn - фундаментальная система решений уравнения(15.2). Тогда для любого решения y этого уравнения существуют постоянные c1 ,…, cnтакие, что y  c1 y1  ...

 cn yn .◄Возьмем произвольную точку x0  (a; b) и рассмотрим систему уравненийотносительно неизвестныхМатематический анализII курс III семестрБилет 17 Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n  гопорядка. (стр. 2 из 2)c1 y1 ( x0 )  ...  cn yn ( x0 )  y( x0 )c y ' ( x )  ...  c y ' ( x )  y ' ( x )1 1 0n n00c1 ,…, cn : ...c1 y1( n 1) ( x0 )  ...  cn yn( n1) ( x0 )  y ( n 1) ( x0 )(1)Определитель этой системы W ( x0 ) не равен 0, т.к.

y1 ,…, yn - фундаментальнаясистема решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение c1 ,…, cn .Рассмотрим теперь функцию c1 y1  ...  cn yn . По теореме 15.2 является решениемуравнения (15.2). Ввиду равенств (1) значения этой функции c1 y1  ...  cn yn и еепроизводных до порядка (n 1) включительно в точке x0 совпадают со значениями y и еепоследовательных производных в точке x0 .

По теореме 14.1 о единственности решениязадачи Коши y  c1 y1  ...  cn yn , x  (a; b) .►Замечание. Теоремы 17.2 и 17.3 означают, что размерность векторного пространстварешений уравнения (15.2) равна n , а любая фундаментальная система решенийпредставляет собой базис этого пространства.Математический анализII курс III семестрБилет 18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.Принцип суперпозиции решений Метод вариации постоянных. (cтр.

1 из 2)Билет 18. Линейные неоднородные дифференциальные уравненияn-го порядка. Принцип суперпозиции решений Метод вариациипостоянных.18.1 Свойства решений линейного неоднородного дифференциальногоуравнения.Теорема 18.1. Пусть y 0 ( x) – решение уравнения (15.1). Тогда любое другоерешение этого уравнения y (x) имеет вид y ( x)  y ( x0 )  Y ( x ) , где Y (x) - решениеуравнения (15.2), т.е. L(Y )  0.◄Пусть L( y )  q ( x ), L( y o )  q ( x ). Тогда L( y  y 0 )  L( y )  L( y 0 )  q( x)  q ( x)  0.Таким образом, y  y 0 есть некоторое решение Y однородного уравнения (15.2).Обратно, если L y0   q x  и LY   0 , то L y 0  Y   q x  и, следовательно, y  y 0  Yудовлетворяет уравнению (15.1).►18.2 Принцип суперпозиции решенийТеорема 18.2.

(Принцип суперпозиции решений). Пусть yi  yi  x , i  1,..., mявляются решениями уравнений L yi   qi  x , i  1,..., m . Тогда функция y  y1  ...  y mудовлетворяет уравнению L y   q1  x   ...  qm  x  .◄По следствию теоремы 15.1, L y1  ...  y m   L y1   ...  L ym   q1  x   ...  qm  x  ►Замечание: Эта теорема служит для нахождения решения уравнения L y   q  x  вслучае, когда функцию q x  удается представить в виде q x   q1  x   ...  q m  x  , гдеq i  x , i  1,..., m - такие функции, что нам известны решения уравненийL y i   q i  x , i  1,..., m .18.3 Метод вариации постоянныхВернемся к неоднородному уравнению (15.1).

Предположим, что мы можем найтифундаментальную систему решений y1 ,..., y n уравнения (15.2). Тогда, по теореме 17.3,любое решение Y этого уравнения (15.2) имеет вид:Y  c1 y1  ...  cn y n(1)Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение y0 уравнения (15.1).По теореме 18.1, любое решение y этого уравнения (15.1) имеет вид:y  y 0  Y  y0  c1 y1  ...  cn y n , согласно (1). Итак, для нахождения всех решенийуравнения (15.1) требуется найти какое-то одно его решение y0 . Для этого можноиспользовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решениеуравнения (15.1) ищется в видеc1  x  y1  x   ...

 cn  x  y n  x  ,(2)где y1 ,..., y n - фундаментальная система решений уравнения (15.1). Отметим, что (2)напоминает (1), но имеет существенное отличие от этого равенства, состоящее в том, что в(1) все ci - постоянные, а в (2) это – неизвестные функции от x .Потребуем, чтобы кроме равенства (2) выполнялись такие равенства:Математический анализII курс III семестрБилет 18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.Принцип суперпозиции решений Метод вариации постоянных. (cтр.

2 из 2)c  y  ...  c  y  0n n1 1c  y   ...  c  y   0n n 1 1   n 2  ...  cn y n n2   0c1 y1   n1c1 y1  ...  cn y n n1  q x (3)Из (2) и (3) следует, что c1 y1  ...  c n y n   c1 y1  c1 y1  ...  c n y n  c n y n   c1 y1  ...  cn y n    c1 y1  ...  cn y n   c1 y1  ...  cn yn ; c1 y1  ...  cn yn    c1 y1  ...  cn yn   c1 y1  ...  cn yn   c1 y1  ...  cn yn   c1 y1  ...  cn y nи т.д.,c1 y1  ...  cn yn n1  c1 y1n2   ...

 cn ynn2    c1 y1 n1  ...  cn y n n1   c1 y1n2   ...  cn y n n2    c1 y1 n1  ...  cn y n n1 и, наконец,c1 y1  ...  cn yn n   c1 y1n1  ...  cn ynn1   c1 y1n   ...  cn ynn    c1 y1 n1  ...  cn y n n1   c1 y1 n   ...  cn y n n   q x  .Поэтому подстановка c1 y1  ...  cn yn в левую часть уравнения (15.1) даетc y    ...

 c y    qx   p  x c y    ...  c y     ...  p x  c y  ...  c y   p  x c ynn1 1nnn 1n 11 1nn 1n11 1nn01 1 ...  cn yn   c1  y1n   pn1  x  y1 n1  ...  p1  x  y1  p0  x  y1   ...  c n y n n   pn1  x  y n n1  ...  p1  x  y n  p0  x  y n   q  x   q x  , т.е.

Характеристики

Список файлов книги