В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Аналогично, при y  0 x < 0 находим2y   x  C  , x  C .Рис. 1.3. К примеру 1.1.1Рис. 1.4. К примеру 1.1.2Математический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными.

Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные. уравнения химической кинетики. Уравнение вида:y  faxbyc11ax  by  c1(стр. 5 из 7)В точках (С,0) единственность решения нарушается (получаем непрерывность в у = 0которой быть не должно). Отметим, что это не противоречит теореме о единственности: f(x,y)df= 2 v  k  [ A]a [ A]a и функция11.3.dy- не является непрерывной в нуле.Однородн ые уравнения yПод однородными уравнениями понимаются уравнения вида y   f   . Для их решенияxтребуется сделать замену у = tx, после чего получится уравнение с разделяющимисяпеременными.Пример. Решить уравнениеxdy = (х + y)dx.Оно имеет решение x  0 .

Пусть теперь x  0 . Преобразуем уравнение так: y  (правая часть имеет вид 1 x yxy- это однородное уравнение). Полагаем у = tx. При этомxy   t   x  t и получаем уравнение t x  t  1  t , t x  1, t   1 , t  ln x  C . Значит,xy  x ln x  Cx .Ответ: x = 0, у = xln |x| + Cx.11.4.Просте йшиеуравненияхимическойкинетики(Тримолекулярн ая реакция).Исследуем математическую модель тримолекулярной реакции, в каждом элементарномакте которой участвуют три молекулы или атома. Например, рассмотрим реакцию2NO + 02 → 2N02.Математический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные. уравнения химической кинетики. Уравнение вида:y  faxbyc11ax  by  c1(стр. 6 из 7)В результате взаимодействия двух молекул, первого вещества и одной второго получаемдве молекулы третьего вещества. Пусть y1(t) = [NO], т.е. концентрация вещества N0 в моментt, y2(t) = [02], тогда по закону действующих масс1 dy12 dt  2ky1 y2 ,y C dy1  2dy2  y2  12 dy2   ky 2 y1 2 dtгдеky1  ky12 ( y1  C )  —константаскорости.Найдёму1:1 11 dy1 k ( y1  C )  d    k Cy2 dt y1  1/ y1Обозначим z = 1/y1 , тогда1Закон действующих масс, один из основных законов физической химии: устанавливает зависимость скоростихимической реакции от концентраций реагирующих веществ и соотношение между концентрациями (илиактивностями) продуктов реакции и исходных веществ в состоянии химического равновесия.

Норвежскиеучёные К. Гульдберг и П. Вааге, сформулировавшие закон действующих масс в 1864-67, назвали ' действующеймассой ' вещества его количество в единице объёма, т. е. концентрацию, отсюда наименование закона. Если видеальной газовой смеси или идеальном жидком растворе происходит реакция:aA  aA  bB  bB (А, А' и т.д.

- вещества, а, а' и т.д. - стехиометрические коэффициенты), то, согласно законудействующих масс, скорость реакции в прямом направлении:v  k  [ A]a [ A]aЗдесь [А] концентрация вещества А и т.д.. k+ — константа скорости реакции (в прямом направлении), v+ зависитот температуры, а в случае жидкого раствора - также и от давления; последняя зависимость существенна .тишьпри высоких давлениях. Вид уравнения для скорости реакции в прямом направлении определяется тем, чтонеобходимым условием элементарного акта реакции является столкновение молекул исходных веществ, т. е. ихвстреча в некотором малом объеме (порядка размера молекул).

Вероятность найти в данный момент в данноммалом объёме молекулу А пропорциональна [А]; вероятность найти в нём одновременно а молекул А и а'молекул А' по теореме о вероятности сложного события пропорциональна [А]а ·[A']a' . Число столкновениймолекул исходных веществ в единичном объёме за единичное время пропорционально этой величине.Математический анализII курс III семестрБилет 11: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение y   f  x, y  . Теорема о существовании иединственности решения задачи Коши (без док-ва). Уравнения с разделяющими переменными. Однородныеуравнения. Простейшие дифференциальные. уравнения химической кинетики. Уравнение вида:y  faxbyc11ax  by  c1(стр.

7 из 7)zdz kdt 1  zCzdz1 Cz  1  1z1kt   dz    2 ln 1  Cz  C1 1  zC C 1  zCC CC1 zt(z)  ln 1  Czk kC11.5. a x  b1 y  c1 Уравнени я вида y  f  1. ax  by  c Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямыеa1 x  b1 y  c1  0иax  by  c  0пересекаютсявточкеx , y 00,тозаменаX  x  x 0 , Y  y  y 0 приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые непересекаются, то a1 x  b1 y  k  ax  by  и замена z  ax  by приведет к уравнению сразделяющимися переменными.Математический анализII курс III семестрБилет 12.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (стр. 1 из 4)Билет 12. Линейное дифференциальное уравнение первогопорядка. Уравнение Бернулли12.1.Линейное дифференциальное уравнение первого порядкаОпределение 12.1. Линейным уравнением первого порядка называется уравнениевида ( x) y   ( x) y   ( x)  0,где  ( x),  ( x),  ( x)  C (a, b), (a, b) - заданный интервал.Обычно считают, что  ( x)  0 , и тогда линейное уравнение принимает видy   p ( x ) y  q ( x) ,(1)где p( x), q( x)  C (a, b) .Если q( x)  0 , то (1) – линейное однородное уравнение, в противном случае ононазывается неоднородным.Решим однородное уравнениеy   p ( x) y  0 .(2)Очевидно, что y  0 - решение (2). Линейное уравнение удовлетворяет на (a,b) всемусловиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, поэтомукакое-то другое решение (2), отличное от тождественного нуля, не обращается в 0 ни водной точке на (a,b).Итак, считаем, что y  0 .y   p ( x) y  0  y    p ( x ) y dy  p( x)dx ,yоткуда, обозначая P(x) любую первообразную для функции  p(x) , находим в случаеy  0 ln( y)  P( x)  ln C, C  0 , или y  Ce P ( x ) .

В случае y  0 :  y  Ce P ( x ) ,y  Ce P ( x ) , C  0. Осталось заметить, что формула y  Ce P ( x ) и при C  0 дает решениеуравнения (2). Таким образом, y  Ce P ( x ) - решение уравнения (2) при всех С, и любоерешение (2) имеет такой вид при соответствующей постоянной С.Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородногоуравнения в виде y  C ( x )e P ( x ) .

При этомy   C ( x )e P ( x )  C ( x )e P ( x )  P ( x)  C ( x )e P ( x )  C ( x ) p ( x)  e P ( x ) .Подстановка в уравнение даетМатематический анализII курс III семестрБилет 12. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (стр. 2 из 4)C ( x)e P ( x )  С ( x) p ( x )  e P ( x )  C ( x) p ( x )  e P ( x )  q( x ) , илиC ( x )  q( x)e P ( x ) .Интегрируем и, обозначая Q (x ) первообразную для q( x)e  P ( x ) , получаемC ( x)  Q( x)  C1 .

Тогда y  (Q( x)  C1 )e P ( x ) .Эту формулу иногда записывают в виде p ( x ) dxp ( x ) dxy    q( x)e  C1 e ,понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольновыбранную первообразную.Разберем пример:Пример 12.1. Решить уравнение y   x  y.Решим сначала вспомогательное уравнение y   y .

Это – уже знакомое уравнение сразделяющимися переменными, имеющее решение y  Ce x . Для нахождения решенияисходного уравнения используем метод вариации постоянной. Ищем решения нашегоуравнения в виде y  C ( x )e x , где С (x ) – некоторая дифференцируемая функция. Тогдаy   C ( x )  e x и, подставляя в уравнение, получаем:C ( x )  e x  C ( x)e x  x  C ( x)e  C ( x)  e x  x  C ( x)  x  e  x .Интегрируя, находим:С ( x)   x  e  x dx   xe  x   e  x dx  ( xe  x  e  x  C1 )e x   x  1  C1 e x .Тогда y  ( x  1  C1e x )  e x   x  1  C1e x .Итак, мы нашли решение исходного уравнения.

Других решений у него нет,поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решениязадачи Коши (x+y – непрерывная функция а ее производная по y, равная 1, тоже).Ответ: y   x  1  C1e x .12.2..Уравнение Бернулли (и Риккати)Уравнения вида y '  a( x ) y  b( x) y ,   R называются уравнениями Бернулли.Для   1 решение сводится к только что разобранному случаю. В случае   1 приделении на уа получаем:y 2 y  p ( x) y1  ( x)Математический анализII курс III семестрБилет 12.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (стр. 3 из 4)здесь мы сделали замену z ( x )  1/ y 1 . Заметим, что при делении на y мы должны неzзабыть учесть решение y  0 для   0 p( x) z  q ( x ) . Полученное уравнение1линейное уравнение первого порядка, которое мы решаем, например, методом вариациипостоянных. По найденному z ( x ) мы выписываем решение y .Пример 12.2. Решим уравнение Бернулли (1  x 2 ) y '  xy  x 2 y 2(1  x 2 ) y '  xy  x 2 y 2  (1  x 2 ) y ' / y 2  x(1/ y )  x 2 , y  0 ,  , (1  x 2 ) z  xz  x 2 ,здесь мы сделали замену z  1/ y и при делении на y мы учли решение y  0 .

Характеристики

Список файлов книги