В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Этонеравенство противоречит сделанному предположению.►Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при его дифференцированииилиинтегрировании.Однакосходимостьпродифференцированного ряда может пропасть.вконцевойточкеx  RуМатематический анализII курс III семестрБилет 8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр.

9 из 9)xnПример. Ряд  2 сходится на [-1,1]. Однако рядn 1 nx n1сходится только наn 1 n( 1) n1сходится по теореме Лейбница, аnn 1полуинтервале [1,1) . В самом деле, рядряд1 n расходится.n 1Этот же пример показывает, что у проинтегрированного ряда может появитьсясходимость в концевой точке.Математический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр.

1 из 9)Билет 9. Ряд Тейлора. Раз ложения основных элементарных функций9.1.Ряд Тейлора.Теорема 9.1. Если степенной ряд f  x    cn x n имеет ненулевой радиус сходимостиn0R, вычисляемый формулой R c11, c  lim n cn , или R , d  lim n1 , и вn n  ccdnинтервале (  R, R) ряд сходится к сумме f (x ) , то его коэффициенты равны c0  f 0 (0 ),ck f ( k ) (0), k .k!◄Так какf ( x )  c0  c1 x  c 2 x 2  ...

 cn x n  ... ; x  ( R, R ) , то f (0)  c0 .Согласно теореме 8.6, f ( x)  c1  2c2 x  ...  ncn xилиc1 f (0)1!.Последовательноеприменениеn1 ... , x  ( R, R ) , то f (0)  c1 ,следствияf ( k ) ( x)  k (k  1)...( k  k  1)ck  (k  1)k ...( k  1  k  1)c k 1 x  ...x  ( R, R ) и любого k   , так что f(k )(0)  k!ck , или c k теоремы8.6длядаётлюбогоf ( k ) (0 ), k   .►k!Теорема 9.2. Если степенной ряд (1) cn ( x  x0 ) nимеет ненулевой радиусn 0сходимости R, вычисляемый формулой R 11c, c  lim n c n , или R  , d  lim n 1 ,n n  ccdnто в интервале его сходимости (  R  x0 , R  x0 ) его сумма f (x ) , представима в видеf ( x)  n 0f ( n ) ( x0 )f ( x0 )f ( n ) ( x0 )n( x  x0 )  f ( x0 ) ( x  x0 )  ...

( x  x0 ) n  ...n!1!n!x  ( R  x0 , R  x0 ) .(2),Математический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр. 2 из 9)◄Положив t  x  x0 , переведём ряд (1) в ряд c n t n  g (t ), t  ( R, R ) иn 0g ( n ) (0) f ( n ) ( x0 ),g ( x  x0 )  f ( x ) . Согласно теореме 9.1, c0  g (0)  f ( x0 ) и cn n!n!n   , так что справедлива формула (2).►Ряд, стоящий в правой части (2) называется рядом Тейлора функции f (x) . Итак,любой степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости является рядом Тейлора своейсуммы.Рассмотрим обратную задачу: всегда ли функция f , порождающая ряд Тейлораn 0f ( n ) ( x0 )( x  x0 ) n , является его суммой. Оказывается, нет.n!Даже если ряд Тейлора функции f сходится, он может иметь другую сумму.Рассмотрим функцию f 0 ( x ) ,  ( x1x ) 20, если x  x0 ,f 0 ( x)  e0, если x  x0и положим t  x  x0 .

Функция g (t ) ,  t12g (t )  e , если t  0 ,0, если t  01Последовательно1вычисляя1производные,1находимg (t ) 2  t2et3,123  2 2 2  2  4 6   21 2g (t )   4 e t  3  3 e t   6  4 e t , … , g ( n ) (t )  P3 n  2 e t , t  0 , гдеtt tt tt P3 n u  - некоторый алгебраический многочлен степени 3n переменного u . Так какМатематический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора.

Разложения основных элементарных функций (стр. 3 из 9)(n)lim g (t )  lim P3n  y et 0n 0y 1y 0, n   , то 0  g ( n ) (0)  f 0( n ) ( x0 ), n   . Поэтому(n)f 0 ( x0 )( x  x0 ) n  0, x  .n!Последний пример показывает также, что если cn ( x  x0 ) nесть ряд Тейлора функцииn 0f , то он же является рядом Тейлора бесконечного множества других функций вида f  cf 0 ,c-произвольное( f  cf 0 )( x0 )  f ( x0 )(посколькуи( f  cf 0 ) ( n ) ( x0 )  f ( n ) ( x0 )  cf 0( n ) ( x0 )  f ( n ) ( x0 ), n   ).9.2.Сходимость ряда Тейлора к его производящей функции.Предположим, что функция f бесконечно дифференцируема в интервале I и точкаx0  I , и что промежуток J сходимости её ряда Тейлораn 0f(n)( x0 )n!( x  x0 ) n накрывает I(названные условия необходимы для решения задачи, сформулированной в заголовке пункта,в силу доказанных в предыдущем параграфе свойств степенных рядов).

Частные сумма рядаs n ( x)  Pn ( x; x0 , f ) , x  J , n   , - многочлены Тейлора функции f в точке x0 . Поэтомусумма ряда s ( x )  lim s n ( x )  lim Pn ( x; x0 , f ) для всех x  Innи s ( x)  f ( x ) дляx  I  J тогда и только тогда, когда lim  f ( x )  Pn ( x; x0 , f )  0 для каждого x  I .n ПосколькувинтервалеI для функцииfсправедливаформулаТейлора,тоf ( x )  Pn ( x; x0 , f )  rn ( x; x0 , f ) , x I , n   , где rn ( x; x0 , f ) - n-ый остаточный член вформуле Тейлора функции f на интервале I . Таким образом, имеет место следующееУтверждение.

Если функция f бесконечно дифференцируема в интервале I иточка x0  I , тоМатематический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр. 4 из 9)f ( x)  fn 0(n)( x0 )( x  x0 ) n , x  In!(3)тогда и только тогда, когда последовательность rn (x )  остаточных членовrn ( x)  rn ( x; x0 , f ) , n   , в её формуле Тейлора на I сходится к нулевой функции длявсех x  I .Укажем простое достаточное условие для справедливости утверждения (3).Теорема 9.3 Если функция f бесконечно дифференцируема на отрезке между x0 иx (на  ) и все её производные функции f ( n ) (t ) , n   , равномерно ограничены наэтом отрезке, то f ( x )  f(n)( x0 )n!n 0( x  x0 ) n ; т.е., ряд Тейлора функции f сходится вточке x к сумме f (x ) .◄Рассмотрим остаточные члены rn ( x; x0 , f ) в форме Лагранжаf ( n 1) ( x0   ( x  x0 ))rn ( x; x0 , f ) ( x  x0 ) n1 , 0    1.(n  1)!По условию теоремы, существует число M  0 , что f( n)(t )  M для всех t между x0и x , и всех n   .

Поэтому,rn ( x; x0 , f ) Mn1x  x0 , x  x0( n  1)!Обозначим u n Mx  x0n!n, x  x0 , n   . Тогдаu n 1 0  1 . Согласно признаку Даламбера, рядn  unlim(4). unun1 x  x0, n , иunn 1сходится, и следовательно,lim u n  0 . На основании (2), lim rn ( x; x0 , f )  0 и справедливо утверждение (3).►nnМатематический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр.

5 из 9)9.3.Ряды Тейлора элементарн ых функций.xI. Функция f ( x)  e , f(n)( x)  e x , x   , n   , и f ( n ) (0)  f (0)  1, n   . Дляпроизвольного фиксированного x   справедливо f( n)(t )  e t  exдля всех t между 0и x , и всех n   . Согласно теореме предыдущего пункта,x2xnxne  1  x   ...   ...  1   , x  2!n!n 1 n!x(5)Для сумм rn (x) остатков ряда (5) справедлива оценка (4), в которой M  exи x0  0 ,xen 1так что rn ( x ) x , x   , n   , и последняя оценка указывает на скорость(n  1)!сходимости ряда (5) в точках x   .II.

Функция f ( x)  sin x , x  , имеет f(k ) ( x)  sin  x  k  , f ( k ) ( x )  1 , x  ,2 k   , и следовательно, её формула Тейлора переходит в рядx3(1) n 1 2 n 1(1) n 1 2 n 1sin x  x   ... x ...  x , x3!(2n  1)!n 1 (2 n  1)!(6)Для сумм rn (x ) остатков ряда (6) в силу (4) справедливы оценки r2 n ( x ) 12nx ,(2n)!x, n  .III.

Функция f ( x)  cos x , x   , имеет f(k ) ( x)  cos x  k  , f ( k ) ( x )  1 ,2 x   , k   , и следовательно,x2(1) n 2 n(1) n 2 ncos x  1   ... x  ...  x , x2!(2n)!n  0 (2 n)!(7)Математический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр. 6 из 9)Дляrn (x ) остатков ряда (7) на основании (4) справедливы оценкисуммr2 n1 ( x) 12 n 1x , x, n  .( 2n  1)!IV. Функция f ( x )  ln(1  x ) , x  1 , имеетf ( x ) 12n n 1  x  x  ...

 (1) x  ...  1   (1) n x n , x  (1,1) , и радиус1 xn 1сходимости ряда равен 1. И поэтому, с учётом теоремы 12.3,xf ( x )  f (0)   f (t ) dt x 0ln(1  x)  x  ( 1) n 1x2(1) n 1 n 1 ... x  ...  x n , x   1,1 , откуда2n 1nn 1x2(1) n 1 n 1( 1) n 1 n ... x  ...  x , x  ( 1,1)2nnn 1(8)(1) nпоскольку f (0)  ln 1  0 . В x  1 имеем ряд Лейбница  ln 2 ; в x  1 nn1расходящийся ряд -1 n , так что промежуток сходимости ряда (6) служит  1,1.V.

Биномиальный ряд.Утверждения этого пункта V приводятся без подробного доказательства.Разложим в степенной ряд функцию f ( x )  (1  x) , x  1 ,   . Если    , то (  1) 2x  ...  x    Ck x k , x   . Если   0 , то f ( x )  1 ,2!k 0Пусть    \  0 ,  0    0 . Тогдаf ( x)   (1  x) 1 ,…,(1  x )  1  x x .f ( n ) ( x)   (  1)...(  n  1)(1  x)  n и при n   функция f (n ) не существует в точкеx  1 . Отсюда следует, что радиус сходимости R степенного ряда для f удовлетворяетусловию R  1 . Вычисление радиуса по теореме 13.2 даёт = 1. Кроме того, (  1)...(  n  1) nx , x  1 или x   1,1 .n!n 1(1  x )  1  (9)Математический анализII курс III семестрБилет 9. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций (стр. 7 из 9)В точке x  1 получаем ряд1   ( 1) nn 1 (  1)...(  n  1),n!(10)который абсолютно сходится при  0 и расходится при   0 ;В точке x  1 - ряд (  1)...(  n  1),n!n 11 абсолютно сходится при(11)  0 , сходится условно при  1    0 и ряд расходится при  1.VI.

Использованный в п. IV приём можно применять к любому степенному ряду сненулевым радиусом сходимости. Продемонстрируем его на примере разложения встепенной ряд функции f ( x)  arctg x .Имеем f ( x) f ( x ) 1,1  x21246n 2n 1  x  x  x  ...  ( 1) x  ...  1   ( 1) n x 2 n ,21 xn 0x   1,1 ,(12)x 2 n 1, x   1,1 ,f ( x )  f (0)   f (t )dt  1  dt    (1) t dt  x   ( 1)2n  1n 1 0n 100xиx xn 2nnоткуда(1)n 2 n1x 3 x5 x 7( 1) n 2n1x x     ... x  ...,3 5 72n  1n 1 2 n  1arctg x  x  x   1,1 ,поскольку f (0)  arctg 0  0 .(13)Математический анализII курс III семестрБилет 9.

Характеристики

Список файлов книги