В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Получаем,n 1что для любого   0 существует число N ( ) такое, что для любого номера n  N ( ) илюбого натурального p выполняется неравенствоan 1  ...  an  p   . По свойствумодуляan 1  ...  an  p  an 1  ...  an  p   , поэтому для исходного рядавыполняется критерий Коши и он сходится. ►an такжеn 1Математический анализII курс III семестр)Билет 4. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов (стр.

2 из 4)Теорема 4.1. Абсолютная сходимость рядаn 1рядаравносильна одновременной an исходимости рядовann 1 an . Если рядn 1an сходится, но не абсолютно, то обаn 1anиn 1anрасходятся.n 1◄Если ряд абсолютно сходится, то по утверждению сходится также рядan. Тогдаn 1из равенств (2) и теоремы 1.2 следует, что сходятся ряды an иn 1Обратно, пусть сходятся рядыan.n 1anиn 1an.Тогда из равенств (1) и теоремы 1.2n 1следует, что сходится рядan.n 1Если же рядоба рядаn 1an сходится, а рядanрасходится, то из равенств (2 ) следует, чтоn 1 an иn 1anрасходятся, как полусуммы сходящегося и расходящегося ряда.►n 1Значение этой теоремы состоит в том, что она сводит вопрос об абсолютнойсходимости ряда an иn 1an , члены которого имеют произвольные знаки, к сходимости рядовn 1an, члены которых имеют постоянные знаки.n 1Важным свойством абсолютно сходящегося ряда является его безусловнаясходимость. Дадим определение этого понятия.

Если переставить члены сходного ряда,т.е. поменять их нумерацию, не добавляя новых членов и не отбрасывая старых, тополучится некоторый новый ряд. На первый взгляд, по аналогии с переместительнымзаконом сложения, полученный в результате перестановки ряд должен сходиться и иметьту же сумму, что и исходный ряд. Но вскоре мы увидим, что это не всегда так! Ипереместительный закон, доказанный для конечных сумм, не обязательно выполняетсядля бесконечных рядов.Математический анализII курс III семестр)Билет 4.

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов (стр. 3 из 4)Свойство сходящегося ряда оставаться сходящимся и не менять суммы при любойперестановке его членов называется безусловной сходимостью ряда.Теорема 4.2 (теорема Дирихле о безусловной сходимости). Если рядann 1сходится абсолютно, то он сходится безусловно.◄ Сначала рассмотрим неотрицательный рядann 1и произведём произвольнуюперестановку его членов. В результате получится рядb, для любого члена bn которогоnn 1существует такой номер kn , ч то bn  akn . Частная сумма s N  b1  ...

 bN равна ak1  ...  ak N .Среди конечного множества чисел k1 ,..., k N выберем наибольшее и обозначим его M . Таккакчленыряданеотрицательныпоусловию,sN  b1  ...  bN  ak1  ...  ak N  a1  ...  aM  sM .выполняютсяТакимобразом,длянеравенствалюбогоNсуществует такое M , что s N  sM . Так как неотрицательный ряд сходится, его частныесуммы sM ограничены сверху суммой ряда s . Следовательно, частные суммы s N ряда bn ограничены сверху этим же числом s .

Поэтому рядn 1bnсходится. Кроме того, такn 1как для любого N выполнено неравенство s N  s , сумма s  рядаbnудовлетворяетn 1неравенству s   s , т.е при перестановке членов ряда его сумма не возрастает. Длядоказательства обратного неравенства s   s просто рассмотрим рядbnкак исходный, аn 1рядan n 1как полученный из него обратной перестановкой. Таким образом, мыполучили неравенства s   s и s   s , из которых следует, что s   s .Теперь рассмотрим общий случай, когда знаки членов рядаРассмотрим тогда соответствующие ряды ann 1ann 1произвольны.иan. По определению, числаn 1an  max{an , 0}, an  min{an , 0} имеют постоянные знаки, из теоремы 1 следует, что рядыМатематический анализII курс III семестр)Билет 4.

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов (стр. 4 из 4)an 1nиan 1nсходятся. Согласно равенствам (1),an =  an 1n+n 1anперестановка членов ряда приводит к перестановкам членов рядов, поэтомуn 1 an иn 1an. Но кn 1этим рядам можно применить доказанную первую часть теоремы, согласно которойперестановки не меняют их сумм.

Значит, не изменится и сумма рядаan .►n 1Математический анализII курс III семестрБилет 5. Условная сходимость. Теорема Лейбница (стр. 1 из 6)Билет 5. Условная сходимость. Теорема ЛейбницаВ предыдущем параграфе установлено, что если ряд сходится абсолютно, то он сходитсяи безусловно. Однако если ряд сходится не абсолютно, то перестановка членов ряда можетизменить его сумму и даже нарушить сходимость ряда.

Эти удивительные факты нашли своёотражение в следующей теореме.Теорема 5.1 (Риман). Если рядan сходится не абсолютно, то для любогоn 1заданного числа A (так же, как и для  ), существует такая перестановка членовэтого ряда, в результате которой получится ряд, сумма которого равна A .◄ На экзамене знать доказательство не обязательно. Но оно очень интересное.ограничимся случаем A  0 , так как доказательство в остальных случаях вполне аналогичное. Посколькурассматриваемый ряд сходится, но не абсолютно, оба рядаnan 1иnaрасходятся по теореме 1 п.3.1.n 1Рассмотрим последовательностиa1 , a2 ,..., an ,...(1)a1 , a2 ,..., an ,...(2)Так как рядnaрасходится, последовательность его частных сумм стремится к , поэтому, приn 1некотором номере N1 частная сумма a1 ...  a  N1  A .

Считаем, что такое N1 - наименьшее, т.е. чтоa 1  ...  a  N1 1  A . Следовательно, 0  A  ( a1  ...  aN1 1 )  aN1 Теперь будем последовательнодобавлять слагаемые a1 , a2 ,..., an ,... к суммеa 1  ...  a  N1 до тех пор, пока не получим неравенствоa 1  ...  a  N1  a1  ...  aN 2  A . При этом и 0  A  ( a 1  ...  a  N1  a1  ...

 aN 2 1 )  aN 2 .Продолжаем этот процесс, поочерёдно добавляя к частной сумме слагаемые из последовательностей (1) и (2)так, чтобы получающиеся в результате суммы становились то больше, то меньше, чем число A , причёмразность этих сумм и числа A по абсолютной величине не превосходила бы модуля последнего издобавляемых чисел. Поскольку в последовательностях (1) и (2) все числа берутся подряд, любой член исходногоряда будет добавлен на некотором шаге, т.е.

мы произвели перестановку членов исходного ряда. Кроме того,Математический анализII курс III семестрБилет 5. Условная сходимость. Теорема Лейбница (стр. 2 из 6)исходный рядan сходится. Поэтому, ввиду необходимого признака сходимости ряда, его общий членn 1стремится к нулю, т.е. для любого  0 существует такое число N ( ) , что для всех n  N ( ) выполняетсяan   . Предположим, что мы сделали такое число шагов описанного выше процесса, чтонеравенствовзятыми оказались все члены последовательностей (1) и (2), номера которых, как членов исходного ряда,меньше или равны N ( ) . Поэтому на каждом из следующих сделанных шагов образуемая частная сумма будетотличаться по абсолютной величине от числа A меньше, чем на число . Таким образом, полученный рядбудет сходиться к числу A .►5.1.Теоре ма ЛейбницаВажным примером рядов, сходимость которых может быть неабсолютной, являютсязнакочередующиеся ряды, т.е.

ряды вида: (1)n 1cn , cn  0 .(3)n 1Теорема Лейбница. Пусть члены ряда (3) удовлетворяют условиям:1) c1  c2  c3  ...  cn  ... (иными словами, cn  cn 1  0 для всех n );2) lim cn  0 .n Тогда ряд (3) сходится и его сумма s удовлетворяет неравенствам 0  s  c1 .◄ Рассмотрим частичные суммы ряда (3) с чётными номерами. Ввиду условия 1) ониудовлетворяют неравенствам:s2 n  c1  c2  c3  c4  ...  c2 n 3  c2 n 2  c2 n 1  c2 n  s2 n 2  c2 n1  c2 n  s2 n 2 .Кроме того, из 1) также следует, что s2 n  c1  (c2  c3 )  ...  (c2 n  2  c2 n1 )  c2 n  c1 .Последовательность s2n является возрастающей и ограниченной сверху, поэтому она имеетпредел по теореме Вейерштрасса.

Обозначим его s . Таким образом, для любого   0существует такое число N1 ( ) , что для всех номеров 2n таких, что 2 n  N1 ( ) имеет местонеравенствоs2n  s   .(4)Математический анализII курс III семестрБилет 5. Условная сходимость. Теорема Лейбница (стр. 3 из 6)Кроме того, по доказанному, для любого n выполняются неравенства 0  s2 n  c1 . Потеореме о предельном переходе в неравенствах имеем0  s  c1 .(5)Частная сумма с нечётным номером имеет вид: s2 n 1  s2 n  c2 n1 .

Поэтому из условия(2) получаем: lim s2 n 1  lim( s2 n  c2 n 1 )  lim s2 n  lim c2 n 1  s  0  s . Таким образом, дляn n n n любого   0 существует такое число N 2 ( ) , что для всех номеров 2n  1 таких, что2n  1  N 2 ( ) имеет место неравенствоs2 n 1  s   .(6)Положим, для любого   0 , N ( )  max( N1 ( ), N 2 ( )) . Тогда если N  N ( ) , то,ввиду неравенств (4) и (6), как в случае N  2n , так и в случае N  2n +1 получаем:sN  s   . Следовательно, lim sN  s .►N (1) n111сходится, так как  0 и lim  0 .

Позже будетn  nnn n 1n 1Пример. Ряддоказано, что сумма этого ряда равна ln 2 .Замечание. Остаток RN 1 ряда (3) имеет вид (1)n 1cn , cn  0 . Если N -чётноеn Nчисло, то выполняются неравенства cN  RN 1  0 , а если N - нечётное число , тонеравенства cN  RN 1  0 .◄ Как отмечено выше, при нечётном N ряд (1)n 1cn , cn  0 удовлетворяет всемn Nусловиям теоремы Лейбница.

Доказанное неравенство (5) принимает в этом случае видcN  RN 1  0 . Если же N - чётное число, то ряд - RN 1 удовлетворяет всем условиям теоремыЛейбница и (5) равносильно неравенствам cN   RN 1  0 или cN  RN 1  0 . ►Математический анализII курс III семестрБилет 5. Условная сходимость. Теорема Лейбница (стр. 4 из 6)Это замечание будет использовано при оценке точности приближённых вычислений,использующих ряды.Приведённый ниже материал не обязателен на экзамене, но весьма полезен длясамообразования (т.е.

его читают только умные и уважающие себя и математикустуденты)5.2 . С ум м ир ова ние п о ч аст ям . Теоремы Дир их ле и АбеляТеорема 5.2 (Формула суммирования по частям). Пусть даны последовательности (an ),(bn ) .nПоложим An aпри n  0, A1  0 . Тогда для 0  M  N справедлива формулаkk 0NN 1 a b   A (bn nnnMn bn1 )  AN bN  AM 1bM(7)nM◄Имеют место равенства:NNa bn nnMN (An An 1 )bn n MN 1Abn nnMn  M 1N 1An bn 1   An (bn  bn 1 )  AN bN  AM 1bM .►nMТеорема 5.3 (Теорема Дирихле). Пусть частные суммы sn рядаan образуют ограниченнуюn0последовательность;1) b0  b1  b2  ...;2) lim bn  0 .n Тогда рядa bn nсходится.n0◄Пусть число A  0 удовлетворяет неравенствамsn  A, n  0,1, 2,... .

Зафиксируем произвольноечисло   0 . Тогда из условия 3) теоремы следует, что существует такое число K ( ) , что для любогоn  K ( ) выполнено неравенство bn N an bn n M. Для любых M , N , K ( )  M  N получаем2AN 1 sn (bn  bn1 )  sN bN  sM 1bM nMN 1 s (bnn Mn bn 1 )  sN bN  sM 1bM(8)Математический анализII курс III семестрБилет 5. Условная сходимость. Теорема Лейбница (стр. 5 из 6)по формуле (7) и известному свойству модуля.По условию 2), bn  bn1  0 при всехN 1N 1 s (bnnn MN 1s bn 1 ) n .

Характеристики

Список файлов книги