В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 8 из 17)Теорема 10.4. Равномерно сходящийся на [ ,  ] тригонометрический ряд(1) естьряд Фурье своей суммы.◄Пусть тригонометрический ряд (11) равномерно сходится на [ ,  ] и f ( x) - его сумма,так чтоA0    Ak cos kx  Bk sin kx 2 k 1f ( x) =(12)и функция f ( x ) непрерывна на [ , ] . Более того, f ( x) - непрерывная ипериодическая функция на всём множестве .2 -Интегрируя почленно ряд (12) и учитывая ортогональность тригонометрическихфункций, получим11 Af ( x) dx   0 dx  A0 и, согласно (8), A0  a0 .

Умножив равенство (12) на   2cos kx и проинтегрировав, найдём11f(x)coskdxAk cos 2 kdx  Ak , и, согласно (9), Ak  ak , k   . Аналогично,  умножив равенство (12) на sin kx , покажем, что Bk  bk , k   (на основании (10)). ►Тригонометрический многочлен T ( x),deg T  n, n   , можно считать (конечным)тригонометрическим рядом, имеющим нулевые коэффициенты f для всех индексов,больших n , и поэтому равномерно сходящимся на всём множестве  . Согласнотеореме10.4, многочлен T ( x ) совпадает со своим( конечным) рядом Фурье, коэффициентыкоторого равны нулю для всех индексов, больших индекса n  deg T . В частности,указанным свойством обладают частные суммы ряда Фурье, т.е справедливоСледствие. Для любого n  0,1,2,...

частные суммы sn ( f ; x) ряда Фурье (11)функции f  R[  ,  ] имеют одинаковые с f коэффициенты Фурье для всех индексовk ,0  k  n .10.4.Коэффициен ты Фурье чётных и нечётн ых функций. ПримерыНапомним, что если функции f , g  R[ a, a ] и f  чётная, а g  нечётная, тоaaa f ( x)dx  2 f ( x)dx,  g ( x)dx  0,a0aМатематический анализII курс III семестрБилет 10.

Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 9 из 17)aв чём легко убедиться, представив интегралa0в виде суммы интеграловaa  и заменив0в первом из них x на  x .Поэтому, если функция f  R[ ,  ] и f  чётная, то её коэффициенты Фурье равны2an   f ( x )cos nxdx, n  0,1, 2,..., bn  0, n  1, 2,... , 0(13)так чтоf ( x) a0   an cos nx,2 n1(14)а если f  нечётная, то2an  0, n  0,1, 2,..., bn   f ( x )sin nxdx, n  1, 2,...0(15)иf ( x)   bn sin nx .(16)n1Пример.

Рассмотрим 2  периодическую функцию f ,f ( x )  x , x  [ ,  ], f ( )  f ( ). Тогда bn  0, n  1, 2,... и2222a0   f ( x )dx   xdx   , an   f ( x) cos nxdx   x cos nxdx 00002  x sin nx cos nx 2(1) n  1 , n  , 22  nn 0  nМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 10 из 17)так что a0   , a2 k  0, a2 k 1  4, k  1, 2,...

. Кроме того, по теореме 10.4, (2k  1) 2 4  cos(2k  1) xx  , x  [ ,  ],2  k 1 (2k  1) 2(17)поскольку тригонометрический ряд Фурье в правой части формулы (17) равномерно сходитсяна по признаку Вейерштрасса( сходится мажорирующий ряд1 (2k  1)2). В точке x  0k 1имеем 4 10  , откуда2  k 1 (2 k  1) 212 .28k 1 (2 k  1)Поэтому1 112 1  1 2 1A   2     A,228 4 k 1 k 2 8 4n 1 nk 1 (2 k  1)k 1 (2 k )21 111 2откуда A , так что 1  2  2  ...  2  ...

  2 .62 3n6n 1 nНапомним про минимальное свойство коэффициентов Фурье, переформулировав его длятригонометрической системы.Теорема 10.5 (минимальное свойство частных сумм ряда Фурье). Если функцияf  R[  ,  ]иTn ( x ),deg Tn ( x )  n  произвольный  f ( x )  s ( f ; x )nтригонометрический многочлен, то2dx 2  f ( x)  T ( f ; x) ndxи равенство в (18) достигается только дляTn ( x )  sn ( f ; x ) .Неравенство Бесселя примет видТеорема 10.6. Если функцияf  R[  ,  ] , то(18)Математический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 11 из 17)a02  21  ( ak  bk2 )   f 2 ( x) dx.2 k 1 (19 )Следствие теоремы 10.6 (неравенства Бесселя).

Коэффициенты Фурье интегрируемойфункции стремятся к нулю.◄ Ряд в левой части неравенства (19) сходится. Поэтому выполнен необходимый признаксходимости, согласно которомуСледовательно,10.5.ak2  bk2  0, k   Поэтому ak2  0, k   , bk2  0, k  .ak2  0, k  , bk2  0, k  . ►Сходимость ряда Фурье в то чкеМы установили, что равномерно сходящийся тригонометрический ряд есть ряд Фурьесвоей суммы (теорема 10.4).

Аналогичным свойством обладают ряды Тейлора: степенной рядс ненулевым радиусом сходимости есть ряд Тейлора своей суммы. В случае рядов Тейлорарасходимость в точке обязательно ведёт к расходимости и в одной из половин окрестноститочки. Это свойство рядов Тейлора не переносится на ряды Фурье. Ряд Фурье может бытьрасходящимся в одних точках и одновременно быть сходящимся в окрестности этих точек.1.5.1.Частные суммы ряда Фурье интегрируе мой ипериодической функцииРассмотрим произвольную функциюf ( )  f ( ) .2 Тогда функцияff  R[  ,  ]и потребуем дополнительно, чтобыраспространяется на всю числовую прямуюкакпериодическая функция, которая, при этом, будет интегрируемой на любом отрезке[a, b],   a  b   .

Обратно, любую 2  периодическую функцию fопределённой на отрезкена( ,  ) считаем[ ,  ] и удовлетворяющей условию f ( )  f ( ) .Лемма 1. (Без доказательства). Еслисумм( ,  ) ,sn ( f ; x) ряда Фурьефункцииff  R[ ,  ]иf ( )  f ( ) ,справедливы формулыто для частныхМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 12 из 17)sin(n  1 ) y12 dy, n  0,1, 2,...

.sn ( f ; x )   f ( x  y )y 2sin2sin n  1Чётную функцию1.5.2.D( y ) 2y2sin2(1) y , D( y)  D( y) , называют ядром Дирихле.Признак Дини сходимости ряда Фурье в точке и егоследствияУкажем теперь достаточные условия сходимости ряда Фурье функцииf ( )  f ( ), в точках интервала(  ,  )x0  ( ,  )иформулупреобразуем(1)длягде в первом интеграле суммы вместо переменной интегрированиячастныхtсумм(2)мы выбрали переменнуюи воспользовались чётностью ядра Дирихле.Поскольку1,. Для этого фиксируем произвольную точку0sin(n  1 )tsin(n  1 )t1122 dt sn ( f ; x0 )   f ( x0  t )dt   f ( x0  t )tt  2sin2sin22sin( n  1 )tsin(n  1 )t1122 dt ,f ( x0  t )dt    f ( x0  t )  f ( x0  t ) tt 002sin2sin22tf  R[  ,  ]уфункцииf ( x)  1всеsn ( f ; x )  1,тоиз(2)следует,чтоsin(n  1 )t22 dt .f(xt)0t02sin2Умножая обе части этого равенства на постоянное числоs0 -- предполагаемую сумму ряда в x0 ,точное значение которого мы установим ниже, и вычитая из (2), найдёмМатематический анализII курс III семестрБилет 10.

Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр. 13 из 17)1sin  n   t12sn ( f ; x0 )  s0    (t ) dt ,t02sin2(3)где для краткости положено (t )  f ( x0  t )  f ( x0  t )  2s0 .Если мы хотим установить, чтодоказать, что интеграл в (3) приs0функцияfнепрерывна в точкечто оба пределадействительно является суммой ряда, то для этого нужноn  Обратимся к выбору самого числа(4)стремится к нулю.s0 . В практических приложениях важны два случая, когда (а)x0 , либо (б) ff ( x0  0), f ( x0  0)имеет в этой точке разрыв первого рода (скачок), таксуществуют. Поэтому ограничим себя только этими двумяслучаями и положимв случае (а):s0  f ( x0 ) ,в случае (б):s0 f ( x0  0)  f ( x0  0).2Теорема 10.7.(признак Дини). Ряд Фурье функцииточкеx0  ( ,  )к суммеf  R[  ,  ] , f ( )  f ( ) сходится вs0 , если при некотором h  0 несобственный интегралh0 (t )dt tинтеграл Дини –сходится.

(Без доказательства)В развёрнутом виде интеграл Дини записывается так:hв случае (а):0f ( x0  t )  f ( x0  t )  2 f ( x0 )dt ,tМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр.

14 из 17)hв случае (б):0f ( x0  t )  f ( x0  t )  f ( x0  0)  f ( x0  0)dt ,tи, следовательно, достаточно предположить существование порознь интегралов( смотря послучаю)h0hИли0hf ( x0  t )  f ( x0 )f ( x0  t )  f ( x0 )dt , dt ,tt0hf ( x0  t )  f ( x0  0)f ( x0  t )  f ( x0  0)dt , dt.tt0Теорема 10.8. (признак Липшица). Ряд Фурье функциисходится в точкеx0  ( ,  ) ,выполняется неравенствопостоянные и ◄ В случае(5)f  R[ ,  ] , f (  )  f ( )где она непрерывна, к суммеf ( x0  t )  f ( x0 )  Lt f ( x0 ) ,, в которомесли для всехL, t 0положительные 1.  1 имеемсобственные. Если жеf ( x0  t )  f ( x0 ) L,t0    1,тотак что интегралы (5) существуют, какf ( x0  t )  f ( x0 )L 1 ,ttи так как справа стоитинтегрируемая функция, то интегралы (5) существуют, как несобственные.

►В частности, условие Липшица приточкеx0существует производная  1 заведомоf ( x0 )будет выполняться, если у функцииt 0в, или, по крайней мере, конечные односторонниепроизводныеD  f ( x0 )  limff ( x0  t )  f ( x0 ) f ( x0  t )  f ( x0 ), D f ( x0 )  lim,t 0ttМатематический анализII курс III семестрБилет 10. Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (стр.

15 из 17)хотя бы и различные между собой («угловая точка»). Таким образом, в точкеx0 , где функция fдифференцируема или, по крайней мере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурьесходится, причём сумма его равнаf ( x0 ) .Нетрудно перефразировать признак Липшица и для случая (б).Как частное следствие, получим здесь, что в точкеx0разрыва первого рода функцииfдлясходимости её ряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределовD  f ( x0 )  limt 0f ( x0  t )  f ( x0  0) f ( x0  t )  f ( x0  0), D f ( x0 )  lim,t 0ttпричём на этот раз суммой ряда будетf ( x0  0)  f ( x0  0).2Таким образом, установлена теорема; на экзамене требуется знать лишь приведённуюниже формулировку.Теорема 10.9.

Характеристики

Список файлов книги