В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленноеинтегрирование и дифференцирование ряда. (стр. 1 из 5)Билет 7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда изнепрерывных функций. Почленное интегрирование идифференцирование ряда.7.1.Равномерная сходимость и непрерывностьТеорема 7.1. Пусть последовательность функций ( f n ( x)), n  1, 2,3,... ,определённых на множестве X   , равномерно сходится на этом множестве кпредельной функции f ( x ) . Пусть a  предельная точка множества X и пустьlim f n ( x )  An . Тогда последовательность ( An ) сходится, причём lim f ( x )  lim An ,x ax an иными словами, lim lim f n ( x)  lim lim f n ( x) .x  a nn  x  a◄ По теореме 6.1 (критерию Коши равномерной сходимости) для любого   0существует такое число N ( ) , что при n  N ( ) , m  N ( ) для всех x  X выполняетсянеравенство: f n ( x)  f m ( x) .

Перейдём в этом неравенстве к пределу при x  a и2получим неравенство An  Am   , означающее, что для последовательности ( An )2выполняется критерий Коши. Поэтому существует предел этой последовательности,который будет обозначен A .Теперьf ( x )  A  f ( x )  f n ( x )  f n ( x )  An  An  A .Сначала выберем n так, чтобы для всех x  X выполнялось неравенство:fn ( x)  f ( x) и чтобы An  A  . Такой выбор возможен, так как последовательность33функций ( f n ( x)), n  1, 2,3,... равномерно сходится на этом множестве к предельнойфункции f ( x ) и так как A - предел последовательности ( An ) .Затем подберём такую окрестность U (a ) точки a , что для всех x  U (a) выполняетсянеравенство f n ( x)  An .3Следовательно, для всех x  U (a) выполняется неравенствоМатематический анализII курс III семестрБилет 7.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленноеинтегрирование и дифференцирование ряда. (стр. 2 из 5)f ( x )  A  f ( x )  f n ( x )  f n ( x )  An  An  A      ,3 3 3означающее, что lim f ( x )  A .►x aСледствие 1. Если последовательность функций ( f n ( x)), n  1, 2,3,... ,непрерывных на множестве X   , равномерно сходится на этом множестве кпредельной функции f ( x ) , то f ( x ) непрерывна на множестве X .Следствие 2.

Пусть функции an ( x ) непрерывны на множестве X   и пусть ряд a ( x) сходится равномерно на этом множестве. Тогда суммаnf ( x ) этого рядаn 1непрерывна на множестве X .◄Достаточно применить предыдущее следствие к последовательности частных суммряда.►7.2.Равномерная сходимость и интегрированиеТеорема 7.2. Пусть последовательность функций ( f n ( x)), n  1, 2,3,...

,непрерывных на отрезке [ a, b] , равномерно сходится на этом отрезке к предельнойbbфункции f ( x ) . Тогда lim  f n ( x) dx   f ( x )dx .n aa◄По следствию 1 теоремы 7.1 функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a, b] , поэтомуинтегралы в обеих частях доказываемого равенства существуют. Рассмотрим функциюbrn ( x )  f ( x )  f n ( x) . Для доказательства теоремы достаточно показать, что lim  rn ( x)dx  0n a.

Ввиду равномерной сходимости, для любого   0 существует такое число N ( ) , чтопри n  N ( ) для всех x  [ a, b] выполняется неравенство: rn ( x ) bb. Но тогда при(b  a )bn  N ( ) имеем:  rn ( x )dx   rn ( x ) dx  (b  a)   . Равенство lim  rn ( x)dx  0n (b  a)aaaдоказано.►Математический анализII курс III семестрБилет 7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленноеинтегрирование и дифференцирование ряда.

(стр. 3 из 5)Следствие. Пусть функции an ( x ) непрерывны на отрезке [ a, b] и пусть ряд b an ( x) сходится равномерно на этом отрезке. Тогдаn 1b   an ( x)dx    an ( x)dxn 1 aa n 1◄Достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частных суммряда.►Замечание. Доказанные теорема и следствие останутся верными и при более слабыхусловиях интегрируемости всех функций ( f n ( x)), n  1, 2,3,... (соответственно, an ( x ) )наотрезке [ a, b] .7.3.Равномерная сходимость и дифференцированиеТеорема 7.3. Пусть все функции ( f n ( x )), n  1, 2,3,... непрерывны на отрезке [ a, b] .Пусть последовательность ( f n ( x )), n  1, 2,3,...

равномерно сходится на [ a, b] и пустьпоследовательность ( f n ( x)), n  1, 2,3,... сходится хотя бы в одной точке x0  [a, b] .Тогда ( f n ( x)), n  1, 2,3,... равномерно сходится на [ a, b] к функции f ( x ) и в любойточке x  [ a, b] выполняется равенство f ( x)  lim f n( x ) .n ◄ Докажем, что ( f n ( x)), n  1, 2,3,... равномерно сходится на [ a, b] . Пусть   0 . Таккак ( f n ( x0 )) сходится, существует такое число N1 ( ) , что при n  N1 ( ) , m  N1 ( )выполняется неравенство: f n ( x0 )  f m ( x0 ) .

Поскольку последовательность2( f n ( x )), n  1, 2,3,... равномерно сходится на [ a, b] , существует такое число N 2 ( ) , что приn  N 2 ( ) , m  N 2 ( ) для любого x из отрезка [ a, b] выполняется неравенство:f n ( x)  f m ( x) . Рассмотрим функцию f n (t )  f m (t ) на отрезке, соединяющем2(b  a )точку x0 с произвольной точкой x из отрезка [ a, b] и применим к этой функции теоремуЛагранжа:f n ( x )  f m ( x )  f n ( x0 )  f m ( x0 )  f n ( )  f m ( ) x  x0 ,   [ x0 , x] ,откудаМатематический анализII курс III семестрБилет 7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленноеинтегрирование и дифференцирование ряда.

(стр. 4 из 5)f n ( x)  f m ( x)  f n ( x0 )  f m ( x0 )  f n ( )  f m ( ) x  x0  x  x0  .2(b  a )2Положим N ( )  max( N1 ( ), N 2 ( )) , тогда если n  N ( ) , m  N ( ) , то длялюбого x из отрезка [ a, b]f n ( x )  f m ( x)  f n ( x)  f m ( x )  ( f n ( x0 )  f m ( x0 ))  ( f n ( x0 )  f m ( x0 ))  f n ( x)  f m ( x)  ( f n ( x0 )  f m ( x0 ))  f n ( x0 )  f m ( x0 )    ,2 2что доказывает равномерную сходимость ( f n ( x)), n  1, 2,3,... на [ a, b] к некоторойфункции f ( x ) .По следствию 1 теоремы7.1, последовательность функций ( f n ( x)) сходится кнепрерывной на [ a, b] функции, которую мы обозначим  ( x) .

Пусть x - произвольнаяточка отрезка [ a, b] . Тогда, по теореме 7.2,xlim n x0xxf n(t )dt   lim f n (t )dt    (t )dt .x0n (1)x0xТак как для всех n выполняется равенство f (t )dt  fnn( x )  f n ( x0 ) , равенство (1)x0принимает видxlim  f n ( x)  f n ( x0 )     (t )dt ,n x0xИли, так как lim f n ( x )  f ( x) , lim f n ( x0 )  f ( x0 ) , f ( x)  f ( x0 )    (t )dt .

Так как  ( x)n n x0- непрерывная на [ a, b] функция, то это равенство означает, что f ( x) существует впроизвольной точке x отрезка [ a, b] и что f ( x )   ( x) .►Следствие. Пусть функции an ( x ) непрерывны на отрезке [ a, b] и пусть ряд a  ( x) сходится равномерно на этом отрезке. Пусть хотя бы в одной точке xnn 10 [a , b ]Математический анализII курс III семестрБилет 7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленноеинтегрирование и дифференцирование ряда.

(стр. 5 из 5)сходится ряд a ( x ) . Тогда ряд  a ( x) сходится равномерно на этом отрезке и дляnn 1n0n 1любой точки x из отрезка [ a, b] ( an ( x)) =  an ( x ) .n 1n 1Математический анализII курс III семестрБилет 8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр. 1 из 9)Билет 8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывностьсуммы. Почленное интегрирование и дифференцирование8.1.Радиус сходимости степенного рядаСтепенным рядом называется ряд вида a (x  x )n0n,(1)n 0где an  числа, называемые коэффициентами ряда. Так как замена переменнойz  x  x0 сразу приводит к рядуa znn,n 0имеющему несколько более простой вид, дальнейшие исследования будем проводитьименно для рядов такого вида, точнее, для рядовa xnn.(2)n 0Прежде всего выясним вопрос о сходимости ряда (2).

Очевидно, что если x  0 , торяд (2) сходится, какими бы ни были его коэффициенты.Теорема 8.1. Если ряд (2) сходится, хотя бы неабсолютно, в точкеx  a, a  0 , тоон сходится и в любой точке x , удовлетворяющей неравенству x  a , причёмсходится в этой точке абсолютно.◄Представим ряд (2)nxв виде  an x =  an a   .an 0n0nnnТак как рядa annn 0сходится, его общий член an a стремится к нулю, поэтому, начиная с некоторого n0 ,Математический анализII курс III семестрБилет 8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр.

2 из 9)nвыполняются неравенства an a  1 . Посколькупрогрессиейn 0nxпоказывает, что рядax 1 , сравнение с геометрическойaa xnnсходится. ►n 0Геометрически эта теорема означает, что областью сходимости ряда (2) являетсяпромежуток числовой оси, середина которого совпадает с точкой x  0 .Возможны следующие 2 случая. В первом из них множество абсолютных величин aточек x  a , в которых сходится рассматриваемый ряд, ограничено сверху. Тогдасуществует точная верхняя грань этого множества.

Эта величина называется радиусомсходимости степенного ряда и обозначается R . Из определения следует, что если x  R ,то ряд (2) абсолютно сходится, а если x  R , то этот ряд расходится.множество абсолютных величин a точек x  a , в которыхВо втором случаесходится рассматриваемый ряд, не ограничено сверху.

Характеристики

Список файлов книги