В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Поэтомуn (bn  bn 1 )  AnM (bn bn1 )  AbM  AbN ,(9)n MsN bN  AbN , sM bM  AbM и из (8) и (9) получаемкроме того,NN 1 an bn n Msn(bn  bn 1 )  sN bN  sM 1bM  AbM  AbN  AbN  AbM  2 AbM  2 AnM .2AПо критерию Коши рядa bn nсходится.►n 0Замечание. Доказанная в предыдущем пункте теорема Лейбница является следствием теоремы Дирихле, вкотором an  (1) n 1 , bn  cn .

Суммы sn ряда (1)n 1принимают всего два значения: 0 и 1 и можноn 1положить A  1 .Теорема 5.4 (Теорема Абеля). Пусть1) рядan сходится;n02) b0  b1  b2  ...;3) (bn )  ограниченная последовательность.Тогда рядa bn nсходится.n0◄Пусть число B  0 удовлетворяет неравенствамчисло bn  B, n  0,1, 2,... . Зафиксируем произвольное 0 . Тогда из условия 1) теоремы следует, что существует такое число K ( ) , что для любогоn  K ( ) выполнено неравенство rn  s  sn .

Для любых M , N , K ( )  M  N получаем2BМатематический анализII курс III семестрБилет 5. Условная сходимость. Теорема Лейбница (стр. 6 из 6)NN 1 an bn n MN 1 sn (bn  bn1 )  sN bN  sM 1bM  (s  r )(bnn MN 1n bn 1 )  ( s  rN )bN  ( s  rM 1 )bM nMN 1 s(bn  bn1 )  sbN  sbM   rn (bn  bn1 ) rN bN  rM 1bMnMn MN 1 r (bnn bn 1 )  rN bN  rM 1bMn Mпо формуле (7) и известному свойству модуля.По условию 2), bn  bn1  0 при всехN 1N 1 rn (bn  bn1 ) nMrn (bn  bn 1 ) nMкроме того, rN bN NN 1 (bnn n r (bnn bn 1 )  rN bN  rM 1bM a bn nn0bM  bN  ,2B(9)bN , rM bM bM и тогда2B2BnMкритерию Коши ряд bn 1 ) n MN 1a bn M2Bn .

Поэтомусходится.►(bM  bN  bN  bM ) 2bM 2 B   . По2B2B2BМатематический анализII курс III семестрБилет 6. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. ПризнакВейерштрасса(стр. 1 из 6)Билет 6. Равномерная сходимость функциональнойпоследовательности и ряда. Признак Вейерштрасса6.1Поточечная сходимость функциональной последовательности ирядаПусть( f n ( x)), n  1,2,3,...

последовательностьфункций,определённыхнамножестве X   и пусть эта последовательность имеет предел при любом x  X . В этомслучае можно определить предельную функцию f ( x)  lim f n ( x), x  X и говорить, чтоn последовательность ( f n ( x )) сходится к функцииf ( x ) на множестве X (иногдадобавляя слово поточечно).Аналогично, если все члены ряда(an ( x )), n  1, 2,3,...  определены на множествеX   и этот ряд сходится при любом x  X , то полагаем f ( x ) равной пределу частныхсумм этого ряда: f ( x)  lim sn ( x), x  X . Обозначаем также f ( x)   an ( x ) ; эта функцияn n 1называется суммой ряда.Одна из главных проблем в связи с этими определениями такова: сохраняются ливажнейшиесвойствафункций( f n ( x)), n  1, 2,3,...

,такие,какнепрерывность,дифференцируемость, интегрируемость у предельной функции f ( x ) ? Та же проблемаважна и для суммы ряда.Оказывается, эти свойства не всегда сохраняются. Рассмотрим примеры.Пусть f n ( x )  x n , x  [0,1] . Найдём предельную функцию f ( x ) .

Если x  [0,1) , тоlim x n  0 , а если x  1 , то lim1n  1 , таким образом предельная функция оказаласьn nразрывной.Другой пример: f n ( x ) sin nx 0 . Следовательно, для любого x производная f ( x )  0 .n nf ( x )  lim f n ( x)  limn sin nx, x  , n  1, 2,3,... . Очевидно, что для любого x имеем:nМатематический анализII курс III семестрБилет 6. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. ПризнакВейерштрасса(стр. 2 из 6)Однакоf n ( x)  n cos nxиf n (0)  n  , n   . Поэтому последовательностьпроизводных ( f n ( x)) не может иметь пределом f ( x) .Наконец, пусть f n ( x )  nx (1  x 2 ) n , x  [0,1], n  1, 2,3,... . Для любого x  (0,1] величинаq  1  x 2 удовлетворяет неравенствам 0  q  1 , поэтому lim f n ( x)  lim nxq n  0 .

Кромеn n 1того, f n (0)  0 и, следовательно, lim f n ( x)  0, x  [0,1] . Значит,n 1Но011 lim f0n n( x)dx   0dx  0 .01nn.f n ( x )dx   nx(1  x ) dx    (1  x 2 ) n d (1  x 2 ) 202n  202 n1Поэтому1n1lim  f n ( x) dx  lim  0   lim f n ( x)dx .n n  2 n  2n 2006.2.Равномерная сходимость функциональных последовательностейи рядовПримеры, приведённые в предыдущем пункте, показали, что при описанном в этомпункте поточечном предельном переходе могут не сохраниться основныефункций, входящих всвойствапоследовательность. Определим более сильное понятие –равномерную сходимость.Определение 6.1. Будем говорить, что последовательность функций ( f n ( x)),n  1, 2,3,...

, определённых на множестве X   , равномерно сходится на этоммножестве к предельной функции f ( x ) , если для любого   0 существует такое числоN ( ) , что при n  N ( ) для всех x  X выполняется неравенство: f n ( x)  f ( x )   .Для равномерной сходимости часто используется обозначения f n ( x )  f ( x) на X .Укажем на отличиеопределения равномерной сходимости от определенияпоточечной сходимости. Определение поточечной сходимости таково: для всех x  X идля любого   0 существует такое число N ( , x ) , что при n  N ( , x) выполняетсянеравенствоf n ( x)  f ( x )   .Определениеравномернойсходимостисодержитзначительно более сильное требование, состоящее в том, что существует число N ( ) ,пригодное в качестве N ( , x ) для всех x  X .Математический анализII курс III семестрБилет 6.

Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. ПризнакВейерштрасса(стр. 3 из 6)Определение 6.2. Рядf ( x)   an ( x ) называется равномерно сходящимся наn 1множестве X   , если последовательность его частичных сумм равномерно сходитсяна этом множестве.Следующая теорема представляет собой критерий Коши равномерной сходимости.Теорема 6.1. Последовательность функций ( f n ( x)), n  1, 2,3,... , определённых намножестве X   , равномерно сходится на этом множестве тогда и только тогда,когда для любого   0 существует такое число N ( ) , что при n  N ( ) , m  N ( ) длявсех x  X выполняется неравенство: f n ( x)  f m ( x)   .◄Пустьпоследовательностьфункций( f n ( x)), n  1, 2,3,... ,определённыхнамножестве X   , равномерно сходится на этом множестве к предельной функции f ( x ) .Тогда для любого   0 существует такое число N ( ) , что при n  N ( ) для всех x  Xвыполняется неравенство f n ( x )  f ( x ) x  X выполняется.

Но тогда при n  N ( ) , m  N ( ) для всех2f n ( x )  f m ( x)  f n ( x )  f ( x )  f ( x)  f m ( x ) неравенство:fn ( x)  f ( x)  f ( x)  fm ( x)    .2 2Обратно, если для любого   0 существует такое число N ( ) , что при n  N ( ) ,m  N ( ) для всехКошиx  X выполняется неравенство: f n ( x)  f m ( x) существованияпоследовательностипределаприx  X существуетвсех( f n ( x)), n  1, 2,3,...

., то по критерию2Осталосьдоказать,чтопределf ( x)сходимость( f n ( x)), n  1, 2,3,... к функции f ( x ) является равномерной на множестве X . Для этого,взяв произвольное   0 , выберем такое число N ( ) , что при n  N ( ) , m  N ( ) для всехx  X выполняется неравенство:f n ( x)  f m ( x) пределу при: m   : f n ( x)  f ( x) . Перейдём в этом неравенстве к2  .►2Переформулируем этот критерий на случай рядов.Математический анализII курс III семестрБилет 6. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда.

ПризнакВейерштрасса(стр. 4 из 6)Теорема 6.2. Ряд f ( x)   an ( x ) равномерно сходится на множестве X   тогдаn 1и только тогда, когда для любого   0 существует такое число N ( ) , что приn  N ( ) , p  0, p  дляx Xвсехвыполняетсянеравенство:an 1 ( x)  ...  an  p ( x)   .◄Длядоказательствадостаточноприменитьпредыдущуютеоремукпоследовательности частных сумм ряда.►Следствие (Необходимый признак равномерной сходимости ряда). Если рядf ( x)   an ( x ) равномерно сходится на множестве X   , то последовательностьn 1an ( x ) равномерно стремится к 0 на множестве X .◄Положим в предыдущей теореме p  1 . Тогда для любого   0 существует такоечисло N ( ) , что при n  N ( ) , для всех x  X выполняется неравенство: an1 ( x)   .

Этоозначает, что последовательность an ( x ) равномерно стремится к 0 на множестве X .►Непосредственно из определения равномерной сходимости вытекает простой, ночасто полезный критерий.Теорема6.3.Пустьf ( x)  lim f n ( x), x  X .n ПоложимM n  sup f n ( x)  f ( x) .xXПоследовательность ( f n ( x)), n  1, 2,3,...равномерно сходится к функции f ( x ) намножестве X тогда и только тогда, когда lim M n  0 .n В качестве примера использования этой теоремы докажем, что последовательностьx n , имеющая на интервале (-1,1) предельную функцию, равную 0, сходится к нейнеравномерно. Действительно,M n  sup x n  0  sup x n  1 .x( 1,1)Кстати, отсюда сразуx( 1,1)следует, что геометрическая прогрессияxnсходится на интервале (-1,1) неравномерно.n 0Теорема6.4(Вейерштрассаомажорантнойсходимости).Пустьпоследовательность функций an ( x ) определена на множестве X   и пусть дляМатематический анализII курс III семестрБилет 6.

Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. ПризнакВейерштрасса(стр. 5 из 6)всех n и для всех x  X выполняется неравенство an ( x )  cn . Если рядcnn 1сходится, то ряд f ( x)   an ( x ) равномерно сходится на множестве X . Кроме того,n 1этот ряд сходится абсолютно для всех x  X .◄Абсолютная сходимость ряда a ( x) следуетnиз первой теоремы сравненияn 1положительных рядов.Далее, сходимость рядаcnозначает выполнение критерия Коши. Поэтому дляn 1любого   0 существует такое число N ( ) , что при n  N ( ) и любом p  0, p  справедливо неравенство cn1  ...

 cn  h   . Из условия теоремы сразу следует, что всечисла cn  0 и предыдущее неравенство можно переписать в виде cn 1  ...  cn  h   . Сноваиспользуем условие теоремы и получим, что для всехx  X выполняется неравенствоan 1 ( x )  ...  an  p ( x)  cn 1  ...

 cn  h   . Это означает, что для ряда a ( x)nвыполненn 1критерий Коши равномерной сходимости.►Приведём пример использования этой теоремы. Рассмотрим геометрическуюпрогрессиюxn. Докажем, что этот ряд равномерно сходится на любом множествеn 0[ q, q],0  q  1 . Действительно, на этом множестве выполняются неравенства x n  q n ирядqnсходится. По теореме Вейерштрасса, он сходится равномерно. Напомним, чтоn 0выше мы установили, что на всём интервале (-1,1) геометрическая прогрессия сходитсянеравномерно.Замечание.

Абсолютная сходимость и равномерная сходимость – независимые(1) n1равномерно сходится на множестве x  0 , так как, поn 1 x  nпонятия. Например, рядтеореме Лейбница, абсолютная величина его остатка не превосходит11.x  n 1 n 1Математический анализII курс III семестрБилет 6. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. ПризнакВейерштрасса(стр. 6 из 6)Значит, остаток ряда равномерно стремится к 0, что и означает равномерную сходимостьряда. Однако ряд из модулей1xnрасходится. Действительно, сравним этот ряд сn 1расходящимся рядом1n.n 11 n 1 , применимаn  ( x  n ) 1Так как limвторая теоремасравнения.Наконец, уже многократно упоминавшаяся геометрическая прогрессия на интервале(-1,1) сходится абсолютно, но неравномерно.Математический анализII курс III семестрБилет 7.

Характеристики

Список файлов книги