В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Университетим. М.В.ЛомоносоваХимический факультет.Пособие для подготовки к экзамену поматематическому анализу для студентов общегопотока.Третий семестр.Числовые ряды. Дифференциальные уравнения.Лектор – проф. В.Г.ЧирскийМосква, 2009Уважаемый коллега!Перед вами конспект лекций по математическому анализу проф. В.Г. Чирского. Конспектсоставлен на основе работы предшественников с исправлениями, внесёнными автором.Отдельная благодарность выражается разработчику стиля, наборщику Денисову С.С.Удачи на экзамене.Гл.

редактор Каменев Е.И.Математический анализII курс III семестрБилет 1. Числовые ряды. Критерий сходимости Коши. Свойства сходящихся рядов (стр. 1 из 5)Билет 1. Числовые ряды. Критерий сходимости Коши. Свойствасходящихся рядов1. 1.Понятие числового рядаПустьan   произвольная числовая последовательность. Складывая один за другимеё члены, получаем последовательность сумм s1  a1 , s2  a1  a2 ,..., sn  a1  a2  ...

 an ,... .Каждая из них, начиная со второй, получается из предыдущей прибавлением одногоan  ,слагаемого – члена заданной последовательностиимеющего тот же номер:sn  sn 1  an для всех n  1 . Поэтому процесс образования этих сумм можно представитьв виде «бесконечно развёртывающейся суммы» a1  a2  ...  an  ...

. Это не алгебраическаясумма (в алгебре определены лишь суммы конечного числа слагаемых), а запись процессаобразования последовательности сумм  sn  .Формальноеa1  a2  ...  an  ... ,выражениепорождаемоечисловойпоследовательностью an  , называют числовым рядом; числа a1 , a2 ,..., an ,...  его членами:первым, вторым,…, an  n  ным или общим членом ряда; s1 , s2 ,..., sn ,...  частичными(или частными) суммами ряда. Для рядаa1  a2  ...  an  ...

используется такжеобозначениеan. Иногда нумерацию членов ряда начинают не с 1, а с 0. Тогдаn 1aсоответствующий ряд обозначаетсяn. При изучении ряда a1  a2  ...  an  ... частоn 0приходится рассматривать формальные выражения видаak 1  ak  2  ... , которые вдальнейшем будут называться остатками ряда. Остатки ряда сами являются числовымирядами. Они обозначаются следующим образом:an.n  k 1Определим (пока тоже формально) сумму рядов и умножение ряда на число. Пустьданы ряды an иn 1n 1ряда an на число  назовём рядn 1 bn . Суммой этих рядов назовём ряд ann 1. (an 1n bn ) . ПроизведениемМатематический анализII курс III семестрБилет 1. Числовые ряды.

Критерий сходимости Коши. Свойства сходящихся рядов (стр. 2 из 5)1.2. Сходящиеся и расходящиеся рядыОпределение 1. Если последовательность  sn  частных сумм рядаanсходится кn 1некоторому числу s , то этот ряд называют сходящимся к сумме s и пишут s   ann 1или s  a1  a2  ...  an  ... .При этом допускается определённая вольность в обозначениях, состоящая в том, чтоодним и тем же символом a1  a2  ...

 an  ... илиanобозначаются как сам ряд, так иn 1его сумма.Несходящиеся ряды называют расходящимися.Замечание. Число s не следует называть «суммой всех членов ряда», так каксуществует класс рядов, сумма которых зависит от порядка нумерации «слагаемых».Заметим ещё раз: s - это предел частных сумм ряда, s  lim sn , если этот пределn существует.Сформулируем и докажем важное для дальнейшего утверждение.Утверждение. Если сходится рядan, то для любого k сходится остаток рядаn 1an .

Обратно, если хотя бы для одного значения k сходится остаток рядаn  k 1an,n  k 1то сходится и сам рядan.n 1◄ Пусть сходится рядan. При любом k рассмотрим частичную суммуn 1sn  ak 1  ak  2  ...  ak  n .Справедливоравенствоsn   ak 1  ak  2  ...  ak  n  sk  n  (a1  a2  ...  ak )  sk  n  sk .(2)При любом фиксированном k последовательность ( sk  n ) имеет тот же предел, что ипоследовательность (sn ) , число sk не зависит от n , поэтому lim sk  sk .

Использовавn теорему о пределе разности, получаем, что существует предел последовательностичастичных сумм sn , следовательно, рядan  k 1nсходится.Математический анализII курс III семестрБилет 1. Числовые ряды. Критерий сходимости Коши. Свойства сходящихся рядов (стр. 3 из 5)Пусть теперь для некоторого значения k сходится остаток рядаan. Это означает,n  k 1что последовательность (sk  n  sk ) имеет предел. Используем теорему о пределе суммы, изкоторой следует, что существует предел последовательности ( sk  n ) . Следовательно, какотмечалось выше, существует предел последовательности (sn ) .►Следствие.

Утверждение означает, что либо все остатки ряда сходятся, либо всеони расходятся.Замечание. Если рядaсходится и имеет сумму s , то любая его частичная суммаnn 1sn есть некоторое приближённое значение s , а сумма соответствующего остатка рядапредставляет собой погрешность вычисления.Докажем необходимое условие сходимости числового ряда.Теорема 1. 1.

Если рядanсходится, то lim an  0 .n n 1◄ Пусть сходится ряд (1), s  его сумма. Так как при всех n  1 выполняетсяравенствоan  sn  sn 1 ,lim an  lim( sn  sn 1 )  lim sn  lim sn 1  s  s  0 ,n n n n чтоиутверждалось. ►Обратное утверждение не является верным: из того, что lim an  0 не следует, что рядn (1) сходится.Пример. Члены рядаn 11монотонно стремятся к нулю, так какn 1  n111 0 . С другой стороны,и limn n 1  nnn0nsn  k 1n1k  1  k k 11 n 1  n иn 1  nk  1  k  2  1  ( 3  2)  ...  ( n  1  n )  n  1  1 , иlim sn   , что означает, что рассматриваемый ряд расходится.n Теорема 1.2.

Пусть сходятся ряды a ,bnn 1nи их суммы равны s, t ,n 1соответственно. Тогда сходится ряд (an bn ) и его сумма равна s  t . Кроме того,n 1для любого числа c ряд can 1nсходится и его сумма равна cs .Математический анализII курс III семестрБилет 1. Числовые ряды. Критерий сходимости Коши. Свойства сходящихся рядов (стр. 4 из 5)◄sn , t n Пустьчастичныесуммы,соответственно,рядов an ,  bn .n 1n 1Последовательности ( sn ), (tn ) по условию имеют пределы, которые равны суммам рядовs, t . Применяя теорему о пределе суммы последовательностей, получаем, чтопоследовательность ( sn  tn ) , представляющая собой последовательность частичных суммряда (an bn ) , имеет предел, равный s  t .

Аналогично, последовательность (csn )n 1частных сумм ряда canимеет предел cs .►n 1Теорема 1.3. Пусть сходится ряд an . Тогда рядbNn 1, члены которогоN 1образованы в результате последовательной группировки членов исходного ряда, т.е.bN  anN 1 1  ...  anN , N  1, 2,..., 1  n1  n2  ...  nN 1  nN  ...сходится и имеет ту же сумму.◄ Рассмотрим последовательность ( sN ) частичных сумм рядаbN. Её члены имеютN 1видsN  b1  ...

 bN  (a1  ...  an1 )  (an1 1  ...  an2 )  ...  (anN 1 1  ...  anN )  a1  ...  anN  snNи, следовательно, она является подпоследовательностью последовательности частныхсумм рядаan. Вспомним теперь, что если последовательность имеет предел, то любаяn 1её подпоследовательность имеет тот же предел. ►Теорема 1. 4. (критерий Коши сходимости ряда).

Рядanсходится тогда и толькоn 1тогда, когда для любого   0 существует число N ( ) такое, что для любого номераn  N ( ) и любого натурального p выполняется неравенство sn  p  sn   илиравносильное неравенство an 1  an  2  ...  an  p   .◄Вспомним критерий Коши существования предела последовательностичастныхсумм (sn ) : предел этой последовательности существует тогда и только тогда, когда длялюбого   0 существует число N ( ) такое, что для любого номера n  N ( ) и любогонатурального p выполняется неравенство sn  p  sn   .►Математический анализII курс III семестрБилет 1. Числовые ряды. Критерий сходимости Коши. Свойства сходящихся рядов (стр.

5 из 5)1. 3.Бесконечная геометрическая прогрессияТаким термином принято называть ряд aqn 1, a  0 . Рассмотрим частичные суммыn 0sn  aq  aq 2  ...  aq n 1 этого ряда, рассмотрим также величину sn q  aq 2  aq 3  ...  aq n иразность этих двух величин : sn  sn q  ( a  aq  aq 2  ...  aq n 1 )  (aq  aq 2  ...  aq n 1  aq n ) a  aq n . При q  1 получаем: sn  a1  qn. При q  1 , очевидно, sn  na .1 q 1  qn aЕсли q  1 , то lim q n  0 и lim sn  lim a , т.е. ряд сходится к суммеn n n  1 q  1 qsa. Если q  1 , то этот ряд расходится, поскольку не выполнен необходимый1 qпризнак сходимости ряда.Математическй анализII курс III семестрБилет 2. Ря ды с не отрицате льными чле нами.

Теоре мы с равне ния . Признак и Д аламбе ра,Кош и. Признак Гау сс а (бе з док азате льс тва) (стр 1 из 7)Билет 2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения.ПризнакиДаламбера,Коши.ПризнакГаусса(бездоказательства)2.1. Критерий сходимости неотрицательного ряда.Определение. Неотрицательным рядом называют любой числовой рядan, всеn 0члены которого удовлетворяют условию an  0 .Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги