В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда это означает, что ряд (2)абсолютно сходится на всей числовой прямой. В этом случае полагаем R   .Для нахождения радиуса сходимости можно воспользоваться одной из следующихформул.Теорема 8.2. 1) Если существует lim n an ,то R n 1( в случае, когдаlim n ann lim n an  0 ,считаемn 2)Если существует limn R  ,аn n тоn an11, то R aanlim n1считаем R   , а если limlim n an   ,еслиan 1  , то R  0 ).an(anв случае, когда limn R  0 ).an 10,anМатематический анализII курс III семестрБилет 8.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр. 3 из 9)◄Применим к рядуa xnnпризнак сходимости Коши. По условию, существуетn 0предел limnn an x n  limnn an  x . Признак Коши даёт следующие утверждения: есливеличина limnn an x n  limn nan  x меньше 1, то рядa xnсходится, если большеnn 01, то этот ряд расходится. Если lim n an  0 , то limnnn an  x  0  x  0  1 длялюбого x , поэтому ряд всюду сходится и R   . Если же lim n an  0 , то приn 1xlimnn выполняется неравенство limnanlimnnan  x  1 и рядa xnnсходится, аn 01при x nвыполняется неравенство limnnanan  x  1 и рядa xnnn 01расходится.

Как отмечалось выше, это означает, что R .lim n ann Вторую формулу получим, если применим к рядуa xnnпризнак сходимостиn 0Даламбера.limn an 1 x n1aПредел lim lim n1 xnn n  aan xnan 1 0 , тоanсходится и R   .limn существуетпоусловию.Еслиan 1 x  0  x  0  1 для любого x , поэтому ряд всюдуanЕсли жеlimn aнеравенство lim n1  x  1 и рядn  anan 1 0 , то при x an1выполняетсяan1limn ana xnn 0nсходится, а приx1alim n1n anМатематический анализII курс III семестрБилет 8. Степенные ряды.

Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр. 4 из 9)aвыполняется неравенство lim n1  x  1 и рядn  ana xnnрасходится. Как отмечалосьn 01.►an1limn  anвыше, это означает, что R xnПримеры. Ряд сходится на всей числовой прямой. Для него R   .n0 n !Действительно, limn an 1n!1 lim lim 0.n ( n  1)!n  n  1anxnРадиус сходимости ряда  p равен 1, так как для любого pn 1 n1limn p(n  1) p n  lim   1.n n  11 pnНаконец, ряд n! xnсходится только при x  0 , т.е R  0 , так какn 0limn an 1(n  1)! lim lim( n  1)   .n n ann!Интервал ( R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.Как доказано выше, во всех точках этого интервала степенной ряд абсолютносходится.

Что касается концевых точек x   R , то ряд может в них как сходиться, так ирасходиться. Приведём соответствующие примеры, в каждом из которых R  1 .Рядxn1n, сумма геометрической прогрессии, расходится в точках x  1 .Математический анализII курс III семестрБилет 8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр.

5 из 9)xnРяд расходится при x  1 , так как совпадает в этой точке с гармоническимn 1 nОднако при x  1 этотрядом.ряд сходится по теореме Лейбница (ряд( 1) n знакочередующийся с монотонно стремящимися к нулю модулями егоnn 1членов).xnабсолютно сходится в точках x  1 по теореме сравнения2nn 1Наконец, ряд(сравниваем с рядом1n2).n18.2.Непрерывность степенного рядаТеорема 8.3. Степенной ряд представляет собой непрерывную функцию на всёминтервале сходимости.◄Лемма. Пусть 0  q  R . Тогда рядa xnnсходится на [q, q] абсолютно иn 0равномерно.◄ При x  q рядa qnnсходится абсолютно, т.е. сходится рядn 0nnдля любого x [q, q] имеем: an x  an q ,anq n . Так какn 0из теоремы Вейерштрасса (теорема 4п.4.2.) следуют как абсолютная, так и равномерная сходимость ряда на [q, q] ( впрочем,абсолютная сходимость на всём интервале ( R, R) была установлена в п.5.1).►Замечание.

Доказанная лемма не утверждает равномерной сходимости степенногоряда на его интервале сходимости. Более того, в ряде случаев равномерной сходимости на( R, R) нет. Примером служит геометрическая прогрессияxn, про которую в п.4.2.n 0было доказано, что она не сходится на (1,1) равномерно (однако для любогоq, 0  q  1 , прогрессия сходится на [  q, q ] равномерно).Математический анализII курс III семестрБилет 8.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр. 6 из 9)Продолжим доказательство теоремы. Выберем произвольную точку x  ( R, R) идокажем, что степенной ряд непрерывен в этой точке. Для этого выберем число q так,чтобы выполнялись неравенства x  q  R .По предыдущей лемме, степенной рядравномерно сходится на отрезке [q, q] .

Члены степенного ряда – непрерывные функции.По следствию 2 теоремы 1 п. 4.3. ряд представляет собой функцию, непрерывную на этомотрезке. Следовательно, степенной ряд является непрерывной функцией в произвольнойточке x  ( R, R) .►Следствие. Если два степенных ряда an x n иb xn 0n 0nnв некоторой окрестноститочки x  0 имеют одну и ту же сумму f ( x) , то для всех n справедливы равенстваan  bn .◄ В указанной окрестности выполняется равенствоa0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...

 b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n  ...Подставляя в него x  0 , получаем a0  b0 и, следовательно,a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n  ... .Разделим обе части этого равенства на x , считая, что x  0 . В результате получимa1  a2 x  ...  an x n 1  ...  b1  b2 x  ...  bn x n1  ... , верное при x  0 .равенствоПросто подставить в это равенство x  0 нельзя, так как мы его получим при x  0 .Перейдём в нём к пределу при x  0 .

Из непрерывности каждого из степенных рядов,стоящих в правой и левой части, следует равенство a1  b1 . Продолжая рассуждатьаналогично, получаем, что для всех n справедливы равенства an  bn . ►Теорема 8.4 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится в точке x  R , то егосумма непрерывна слева при этом значении x , т.е.limx R0na x  a Rnn 0nn 0n.(Без доказательства)Математический анализII курс III семестрБилет 8. Степенные ряды. Радиус сходимости.

Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр. 7 из 9)8.3.Интегрируемость и дифференцируемость степенного рядаТеорема 8.5. Степенной ряд в промежутке от 0 до x , где x  R , можноинтегрировать почленно, т.е.xan n1 naxdxx .n0  n1n0n0Значение x может совпадать и с точкой x   R , если ряд сходится в этой точке.◄ По лемме из п.8.2 рядa tnnсходится на [  x , x ] равномерно. По следствиюn 0теоремы 1 п.3 получаем требуемое равенство.►Теорема 8.6. Степенной ряд представляет собой дифференцируемую функцию навсём интервале сходимости, кроме того, для любой точки x из этого интервала  nn 1ax  n    nan x . n 0 n 1Если ряд na xnn 1сходится в концевой точке интервала сходимости, то в этойn1точке существует односторонняя производная исходного ряда и равенствосохраняется.◄Пусть x  произвольное число из интервала сходимости. Выберем числа q, r так,чтобы выполнялись неравенства 0  x  q  r  R .

Так какr  R , рядa rnnn 0nсходится, поэтому его общий член an r имеет предел равный нулю при n   .Следовательно, существует число L такое, что для всех n выполняется неравенствоan r n  L . Поэтомуn an qn 1q n an rrnn 11 Lq  nr rrn 1.Математический анализII курс III семестрБилет 8.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы.Почленное интегрирование и дифференцирование (cтр. 8 из 9)Ln qrrn 0РядL(n  1) qlimn r  Ln qn 1сходитсяпопризнакуДаламбера,таккакnrrn 1n 1 q q  1 . Из теоремы Вейерштрасса следует, что рядn  nrr limr na xnn 1равномерно сходится на [q, q] . Поэтому почленное дифференцированиеn 1исходного ряда законно и доказываемая формула верна.►Следствие. Обозначим f ( x) a xnn. Тогда для любого натурального kn 0существует производная функции порядка k и справедливо равенствоf( n)( x)   an n(n  1)...(n  k  1) x nkn k na xЗамечание.

Из теорем 1 и 2 вытекает, что радиусы сходимости рядовn 1nиn 1an n1xn1n 0не меньше, чем R  радиус сходимости рядаa xnn. Однако этиn 0радиусы не могут быть и больше, чем R . Докажем это, например, для рядаan n 1 xn1.n 0◄Предположим,чторадиуссходимостиэтогорядаравенR , R  R .Продифференцируем этот ряд почленно и получим рядa xnn. По доказанному выше,n 0радиус сходимости R полученного ряда должен удовлетворять неравенствуR  R .

Характеристики

Список файлов книги