В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

►n 1Применим признак Даламбера в предельной форме:n 111(n  1)! lim 0  1 . Ряд сходится.n  n  11n!Математическй анализII курс III семестрБилет 2. Ря ды с не отрицате льными чле нами. Теоре мы с равне ния . Признак и Д аламбе ра,Кош и. Признак Гау сс а (бе з док азате льс тва) (стр 7 из 7)2.4. Признак сходимости ГауссаПризнаки Коши и Даламбера просты и удобны в применении, но не дают ответа даже111  1в весьма простых случаях.

Например, для рядов  ,  2 имеем lim n  lim n 2  1 ,nnnnn 1 n n 1 n1nlim n  1  lim 1, limn n  n  1n 1n1n2(n  1) 2 lim 1 и оба изученных в п.1.7 признака неn  ( n  1) 21 2nмогут дать определённого ответа.Сформулируем значительно более сильный признак сходимости положительныхрядов.Теорема 2.6 (признак сходимости Гаусса). Пусть существует такой номер n0 , чтопри n  n0 выполняется неравенство an  0 и пусть   0 и при n  an 1    O  1an 1nn . Тогда если   1 , то ряд an сходится, если   1 , то рядn 1an 1расходится.

Если   1 , то при   1 ряд сходится, а при   1  расходится.Теорема приводится без доказательства. Разберём на приведённых выше примерахспособы её применения.Сначала рассмотрим так называемый гармонический ряд1 n . В этом случаеn 11ann  n  1  1  1 . Так как   1,   1 , этот ряд расходится.an 1 1nn(n  1)Теперь рассмотрим ряд1n2. В этом случаеn 11 2an(n  1)2 n 2  2n  12 1n 1   2 . Так как   1,   2,   1 , этот ряд221an 1n nnn(n  1)2сходится.nМатематический анализII курс III семестрБилет 3: Интегральный признак сходимости.

Сходимость ряда1np(стр. 1 из 5)n 1Билет 3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда1npn 1Теория рядов во многом подобна теории несобственных интегралов.Действительно, несобственный интегралf ( x)dxопределяется, как пределaBlim F ( B )  limB B f ( x )dx . Рядakтакже определяется с помощью предельногоk 1anперехода, как lim sn  lim  ak .n n k 1Как доказано выше, неотрицательный рядanсходится тогда и только тогда, когдаn 0nпоследовательность его частичных сумм sn   ak , n  0,1, 2,...

ограничена сверху, т.е.k 0существует некоторая постоянная C такая, что для любого n выполняется неравенствоsn  C . Напомним, что если f ( x )  0 , то несобственный интегралf ( x)dx сходитсяaтогда и только тогда, когда существует некоторая постоянная D такая, что для любогоBB  a выполняется неравенство f ( x)dx  D.aСхожесть понятий ряда и несобственного интеграла особенно отчётливо видна вследующей теореме.Теорема 3.1 (Интегральный признак сходимости Маклорена-Коши). Пусть f ( x) определённая при x  1 , неотрицательная невозрастающая функция.Тогда ряд f (n)и несобственный интегралn 1f ( x)dx либо оба сходятся, либо1оба расходятся.◄ Так как функция f ( x)  невозрастающая, она является интегрируемой на отрезке[1, B ] для любого B  1 (вспомним теорему: монотонная на отрезке функция интегрируемана этом отрезке).

Кроме того, для любого натурального числа n на отрезке [ n, n  1]выполняются неравенства: f ( n  1)  f ( x )  f ( n) .Как отмечалось выше, эти неравенства можно почленно проинтегрировать на отрезке[ n, n  1] (вспомним свойство интеграла: если a  b и интегрируемые функции f ( x ), g ( x )Математический анализII курс III семестрБилет 3: Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда1np(стр. 2 из 5)n 1bудовлетворяютнеравенствуf ( x)  g ( x) ,тоиb f ( x)dx   g ( x)dx ):an 1n 1f (n  1)dx nnan 1f ( x)dx f (n)dx . Посколькуf ( n  1), f (n) не зависящие отxnвеличины, т.е.

постоянные, имеют место равенства:n 1nn 1n 1f (n  1)dx  f (n  1),  f (n)dx  f (n) . Следовательно, f (n  1) nf ( x )dx  f (n) .nПусть далее N  2, N  натуральное число. Просуммируем эти неравенства по n ,начиная от n  1 до n  N  1 и получим неравенства:N2f (2)  f (3)  ...  f ( N )   f ( x) dx ... 1f ( x ) dx  f (1)  f (2)  ...  f ( N  1) .N 1NСумма интегралов, по свойству аддитивности интеграла, равна  f ( x)dx . В левой и1правой частях этих неравенств стоят, соответственно, s N  f (1) и s N 1 .

Таким образом, дляNлюбого натурального числа N  2 имеем: s N  f (1)   f ( x)dx  s N 1 , откуда следует, что1Ns N  f (1)   f ( x)dx . Предположим, что сходится интеграл1f ( x)  0поусловию,критерийсуществованияf ( x)dx . Так как функция1несобственногоинтеграла,сформулированный выше, показывает, что существует некоторая постоянная D такая, чтоBдля любого B  1 выполняется неравенство f ( x)dx  D .Значит, для любого N1выполняется неравенство s N  C  f (1)  D и критерий сходимости ряда f (n)n 1выполнен. Отметим также, что переходя к пределу приN   в неравенствеNs N  f (1)   f ( x)dx , получаем, что сумма ряда не превосходит величины f (1)   f ( x)dx .11Обратно, если сходится ряд f (n) , то существует некоторая постояннаяC такая,n 1что для любого N выполняется неравенство s N  C .Для произвольного B  1 выберем натуральное число N так, чтобы выполнялисьнеравенстваN  B  N 1 .Таккакf ( x)  0 ,справедливынеравенстваМатематический анализII курс III семестрБилет 3: Интегральный признак сходимости.

Сходимость ряда1np(стр. 3 из 5)n 1NBN 1 f ( x)dx   f ( x)dx  11Nf ( x )dx . По доказанному выше,1 f ( x)dx  sN 1для любого1натурального числа N , поэтому оно останется справедливым, если заменить в нём числоN 1N числом N  1 , т.е.f ( x)dx  s N . Таким образом, для произвольного B  1 имеем1BN 1 f ( x)dx  1f ( x)dx  s N  C , откуда следует сходимость несобственного интеграла1f ( x)dx .►1Доказанная теорема имеет простую геометрическую иллюстрацию.На этом рисунке график функции y  f ( x ) заключён между двумя графикамиступенчатых функций. Площадь каждой ступеньки «верхней» функции на отрезке[ n, n  1]равнаf (n) ,а«нижней»функции f ( n  1) .ПоэтомунеравенстваNs N  f (1)   f ( x)dx  s N 1 имеют простой геометрический смысл неравенств между1соответствующими площадями.Математический анализII курс III семестрБилет 3: Интегральный признак сходимости.

Сходимость ряда1np(стр. 4 из 5)n 1Доказанная теорема имеет ряд важных следствий.Следствие 1. Ряд1nсходится при p  1 и расходится при p  1 .pn 1◄ В этом случае f ( x ) 1. Рассмотрим несобственный интегралxpdxxp. Про него1известно, что он сходится при p  1 и расходится при p  1 . Осталось применить теорему.►Замечание. Величина1nзависит от p и при p  1 может рассматриваться, какpn 1функция от p .

Это – одна из наиболее важных в математике функций, носящая названиедзета-функции Римана и обозначаемая  ( p ) .Замечание. Вспомним, что для сходящегося ряда его частную сумму можнорассматривать, как приближённое значение суммы ряда, а соответствующий остаток ряда– как погрешность вычисления. Например, для значения  ( p ) при1 N 11. Здесь величинаpppn 1 nn 1 nn  N 1 n ( p)  N1npp  1 имеемпредставляет собой приближенноеn 1значение  ( p ) , а остаток ряда1- абсолютную погрешность вычисления. Этотpn  N 1 nостаток можно переписать в виде (n  N )1p.

Вновь получен ряд рассматриваемого типаn 1 f (n) ,в котором теперьf ( x) n 11. Используем оценку для суммы ряда,( N  x) pдоказанную в предыдущей теореме, согласно которой сумма ряда не превосходитвеличины: f (1)   f ( x)dx .

В нашем случае это равно11dx. При p  1pp( N  1)1 ( N  x)получаемостатка :dx( N  1)1 p1, откуда находим искомую оценку1 ( x  N ) pp 1( p  1)( N  1) p 1 111 .p 1 ( N  1)  p  1 N  1 Замечание.Вслучае,когдаряд f (n)расходится,неравенстваn 1Ns N  f (1)   f ( x)dx  s N 1 дают представление о скорости стремления к бесконечности его1Математический анализII курс III семестрБилет 3: Интегральный признак сходимости.

Сходимость рядаn 1частных сумм. Например, для расходящегося гармонического ряда1np1n(стр. 5 из 5)эти неравенстваn 1N11dx11111принимают вид:  ...   , или ln N   1   ...   ln N  1 . 1   ... N2N2N 1 x2N 111(Можно доказать более точную формулу: 1   ...   ln N  C   N , где C  так2Nназываемая постоянная Эйлера, а  N  0 при N   )Математический анализII курс III семестр)Билет 4. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов (стр. 1 из 4)Билет 4.

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихсярядовПерейдём к рассмотрению общего случая, когда члены рядапроизвольные знаки и введём два новых рядаan имеютn 1 an иn 1an. Члены этих рядовn 1определяются равенствами an  max{an , 0}, an  min{an , 0} . Имеют место равенстваan  an  an , an  an  an ,an (1)an  an  an  an, an .22(2)Определение. Рядann 1называется абсолютно сходящимся, если сходится рядan.n 1Таким образом, сходящиеся неотрицательные ряды, рассмотренные в предыдущемпараграфе, сходятся абсолютно.Утверждение. Абсолютно сходящийся ряд сходится.◄Применим к сходящемуся ряду  an критерий Коши сходимости ряда.

Характеристики

Список файлов книги