В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Теперь,решая уравнение (1  x 2 ) z  xz  x 2 как линейное однородное, получаем:ln z  (1/ 2) ln(1  x 2 )  C  z  C (1  x 2 ) 1/ 2 .Далее, ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде: z  C ( x )(1  x 2 )1/ 2(1  x 2 ) z '  xz  x 2  C ' (1  x 2 )1/ 2  x 2  C ( x)   x 2 dx((1  x 2 )  1)dx (1  x 2 )1/ 2 (1  x 2 )1/ 2  x / 2  (1/ 2) ln( x  (1  x 2 )1/ 2 )  ln( x  (1  x 2 )1/ 2 )  C   x / 2  (1/ 2) ln( x  (1  x 2 )1/ 2 )  C .Поэтому z  ( x / 2  (1/ 2) ln( x  (1  x 2 )1/ 2 )  C )  (1  x 2 )1/ 2 , и замена 1/ y  z приводит кответу.'2Необязательный материал.

Уравнения вида y  a ( x) y  b( x) y  c( x ) называются уравнениямиРиккати. В общем случае уравнения Риккати не решаются в квадратурах, однако, если удаётся отыскатьчастное решение yчастное то заменой у  z  yчастное мы сводим уравнение Риккати к уравнению Бернулля,Частноерешение2nc( x)  c2 n x  c2 n 1 x2 n 1ищем ...  c0исходяищемизегоправойчастиввидеуравнения.nd n x  d n 1 x2 n 1Например,вслучае ...  d 0 ;вслучаеc( x)  c2 n x 2 nx  c2 n 1 x (2 n 1) x  ...  c0 ищем в виде d n enx  d n 1e( n 1) x  ...

 d 0 ; в случае c( x) cx2nnищем в виде d / x и т.д.2'2222П рим е р 12 . 3. Решим уравнение Риккати (1  x ) y  ( x  2 x ) y  x y  x  x .Исходя из вида правой части, будем искать частное решение в виде y  ax  b . Подставив этуфункцию в исходное уравнение, получаем:(1  x 2 )a  ( x  2 x 2 )(ax  b)  x 2 (a 2 x 2  2abx  b 2 )  x  x 2 Математический анализII курс III семестрБилет 12.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (стр. 4 из 4) a 2 x 4  2a(b  1) x 3  (b 2  2b  1) x 2  (b  1) x  a  0Приравняем к нулю все коэффициенты при степенях x , откуда находим значениячастное решение yчастное  1 . Сделаем замену переменного y  z  1 :(1  x 2 ) z '  ( x  2 x 2 )(ax  b)  x 2 ( z  1)2  x  x 2 (1  x 2 ) z '  xz  x 2 z 2  0 .Получено уравнение Бернулли, которое решено выше.2 1/ 2Ответ: y  1  (1  x ) (C  x / 2  (1/ 2) ln( x  (1  x 2 )1/ 2 ))1 , y  1 .a  0 , b  1 , т.е.Математический анализII курс III семестрБилет 13. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения, не разрешённые относительно производной.Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро (cтр. 1 из 4)Билет 13. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, неразрешённые относительно производной. Уравнение Лагранжа,уравнение Клеро13.1.Уравнения в полных дифференциалахПусть левая часть дифференциального уравненияP(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0(1)является полным дифференциалом некоторой функции z = z(x,y), т.е.P(x,y)dx + Q(x,y)dy = dz. P dzdz,Qdxdy(2)Как будет известно в 4 семестре, необходимым и достаточным условием этого служитвыполнение тождества∂P/∂y ≡ ∂Q/∂x.(3)В этом случае уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах ирешается следующим образом: в точках интегральной кривой одну из переменных x и yможно рассматривать как функцию другой‫٭‬1.

Предполагая для определенности, что y естьфункция от x, уравнение (1), в силу формулы (2), можно записать в виде равенства, гдеz(x,y) – рассматриваемая как сложная функция от x, илиd ( z ( x, y )) .Отсюда получаем общий интеграл уравнения (1)z(x,y) = C,(4)где C – произвольная постоянная.Геометрически общий интеграл (4) представляет собой семейство линий уровняповерхности z = z(x,y).Если выполнено условие полного дифференциала (3), то для нахождения функции zможно поступить следующим образом: из уравнения (2) имеем∂z/∂x = P(x,y), ∂z/∂y = Q(x,y).(5)Отсюда, интегрируя первое равенство формулы (5), получимz = ∫P(x,y)dx + φ(y),(6)где φ(y) – некоторая функция от y.Используя второе равенство формулы (5), будем иметь ( y )  Q ( x, y ) d  P( x, y )dx   R( x, y) φdyПри наличии равенства (3) функция R(x,y) не зависит от x, так как∂R/∂x = ∂Q/∂x - ∂/∂x[∂(∫P(x,y)dx)/∂y] =∂Q/∂x - ∂/∂y[∂(∫P(x,y)dx)/∂x] = ∂Q/∂x - ∂P/∂y ≡ 0.Поэтому R(x,y) ≡ R(y).

Последнее обстоятельство может служить контролемправильности выкладок. Следовательно, ( y )  R( y ) , φ(y) = ∫R(y)dy +C1.Из формулы (6) окончательно имеем1Исключение составляют лишь точки (x,y), где выполнено условие P(x,y) = Q(x,y) = 0.Такие точки называются особыми для дифференциального уравнения (1)Математический анализII курс III семестрБилет 13. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения, не разрешённые относительно производной.Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро (cтр. 2 из 4)z = ∫P(x,y)dx + ∫R(y)dy + C1.В последней формуле произвольная постоянная C1 может быть пропущена, так какдля получения общего интеграла (4) нам нужна одна функция z, удовлетворяющаяуравнению (2).Пример 13.1 Решить уравнение(2x - y)dx – (x - 2y)dy = 0.(7)Решение.

ЗдесьP = 2x – y, Q = -(x – 2y),причем∂P/∂y = ∂Q/∂x = -1и, следовательно, левая часть уравнения (7) является полным дифференциалом некоторойфункции z, т.е.(2x – y)dx – (x – 2) = dz.На основании последней формулы имеем∂z/∂x = 2x – y, ∂z/∂y = -(x – 2y).(8)Интегрируя первое из неравенств (8), находимz = ∫(2x – y)dx + φ(y) = x2 – xy + φ(y).Используя второе из равенств (8), будем иметь∂z/∂y = -(x – 2y) = -x + φ (y).Отсюда находимφ (y)= 2yиφ(y) = y2 + C1.Следовательно,z = x2 – xy + y2 + C1.Полагая y = y(x), уравнение (7) можно записать в видеdz(x,y) = 0.Отсюда, приняв для простоты C1 = 0, получаем общий интеграл этого уравненияx2 – xy + y2 = C,(9)где, С – произвольная постоянная.Геометрически общий интеграл (9) есть семейство линий уровней эллиптическогопараболоида z = x2 – xy + y2 (рис. 1).Рис.113.2.Уравнения, не разрешенные относительно производной.Общее уравнение первого порядка F  x, y, y    0 можно пытаться решать разнымиметодами.Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение кодному или нескольким уравнениям вида y   f  x, y  .Математический анализII курс III семестрБилет 13.

Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, не разрешённые относительно производной.Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро (cтр. 3 из 4)2Пример 13.2. Решить уравнение  y    y 2  0 . Уравнение, после преобразования к y  Ce x y  yвиду  y   y  y   y   0 даст равносильную ему совокупность , откуда .x y  Ce y   yДругой способ – введение параметра.Пример 13.3. Решить уравнение y  x  y   ln y  .Можно решить уравнение так: введем параметр p  y  . Тогда y  x  p  ln p , откудаdpdpdy  dx  dp . Но dy  y dx  pdx и мы приходим к уравнению pdx  dx  dp илиpp p  1dx  p  1 dp .pdpПриp  1 из этого уравнения получаемdx , x  ln p  C . Тогдаpy  x  p  ln p  ln p  C   p  ln p  p  C и мы получаем параметрические уравнения: x  ln p  C.y  p  CВ этом случае параметр p удается исключить: ln p  x  C , p  e x  C и y  e x C  C явное решение.В случае p  1 из y  x  p  ln p получаем y  x  1 .Ответ: y = ex-C + C, y = x +1.Указанный прием применим к уравнениям Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжаимеет вид y    y  x   y   , где   p ,  p  - дифференцируемые функции. Полагаяy   p , получаем y    p x   p  . Дифференцируя, получаем:dy  x  p dp    p dx   p dp ↔pdx  x  p dp    p dx    p dp ↔  p   p dx  x  p dp    p dp .Предполагая, что   p   p , получаем уравнение:  p   p dx  xdp  dp , p p p p  p   p dxлинейное относительно x :x  . Решаем его указанным вышеdp   p   p p pметодом и получаем выражение для x через p и произвольную постояннуюC , x  x  p, C  .

Тогда y    p x p, C     p  .Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: y  xy     y   . Вводяпараметр y   p , получаем y  xp    p  (т.е.   p   p , как раз оставшийся случай),dy  pdx  xdp  pdx    p dp ↔  p   x dp  0 .Тогда, если dp  0 , то p  C и y  Cx  C  - это общее решение уравнения Клеро.Если же   p   x  0 , то обозначим решение этого уравнения p    x  . Тогдаy  x  x      x  .13.3.Ин тегрирующий множите ль линейного уравнен ия.Математический анализII курс III семестрБилет 13.

Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, не разрешённые относительно производной.Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро (cтр. 4 из 4)Необязательный на экзамене пункт, дающий представление о том, что такое интегрирующиймножитель.Рассмотрим линейное уравнениеy’ +p(x)y = q(x)илиdy +p(x)ydx = q(x)dx.(10)Общим интегрирующим множителем для левой и правой частей уравнения, как легко непосредственнопроверить, является функцияμ = е∫p(x)dx.В самом деле, умножая (10) на μ, очевидно, имееме∫p(x)dxdy + p(x) е∫p(x)dx ydx = q(x) е∫p(x)dx;отсюдаd(y е∫p(x)dx) = q(x) е∫p(x)dx dx.Следовательно,y е∫p(x)dx = С + ∫q(x) е∫p(x)dxdx,где С – произвольная постоянная. Это наиболее практичный способ решения линейного уравнения.Пример. Решить уравнениеy’ -ay = f(x),(11)где a – постоянная величина.Решение.

Здесьμ = e-∫adx = e-axилиd(y e-ax) = e-ax f(x)dx.Отсюдаy e-ax = С + ∫ e-ax f(x)dxиy = eax [C+∫e-axf(x)dx].Математический анализII курс III семестрБилет 14. Дифференциальные уравнения n –го порядка. Задача Коши для уравненияy ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) . Понижение порядка дифференциального уравнения (стр. 1 из 5)Билет 14. Дифференциальные уравнения n –го порядка.

ЗадачаКоши для уравнения y ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) . Понижение порядкадифференциального уравнения14.1. Дифференциальные уравнения n –го порядка. Задача Кошидля уравнения y ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n1) ) .Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительноn-ой производной:y ( n )  f( x , y , y,..., y ( n 1 ) )(1)Теорема 14.1. Пусть x 0 , y 0 , y 0 ,..., y 0Пусть функция отn 1( n 1 )переменных- некоторый заданный набор чисел.f( x , y , y ,..., y ( n 1 ) ) обладает следующимисвойствами: она непрерывна на совокупности переменных в области x  x 0   0 ,y  y 0   0 , y   y 0   1 , …, y ( n 1 )  y (0n 1 )   n 1(2)и пусть частные производные f по аргументам y , y ,..., y ( n 1 ) ограничены (это, вчастности, выполнено, если эти частные производные непрерывны врассматриваемой области).Тогда существуют такие числа   0 и такая функция y   ( x ) , определеннаяв интервале x  x 0   0 , что ( n ) ( x )  f( x , ( x ), ( x ),..., ( n 1 ) ( x ))(3)для всех x из этого интервала, причем ( x 0 )  y 0 , ( x 0 )  y0 ,..., ( n 1 ) ( x 0 )  y (0n 1 )(4)Без доказательства( n 1 )Полученное решение  ( x ) зависит от заданных чисел y 0 , y0 ,..., y 0.

Характеристики

Список файлов книги