В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1111801), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

обращает уравнение (15.1) в верное равенство.Поэтому y , определяемое равенством (2) и системой условий (3) является решениемуравнения (15.1). По теореме 14.1 это решение – единственное.Для того, чтобы отыскать c1 ,..., cn следует воспользоваться системой (3), рассматриваяее как систему линейных уравнений относительно неизвестных c1 ,..., cn с определителемW  x   0 . Решая систему, находим c1 ,..., cn а затем, интегрированием, находим c1 ,..., cn .Математический анализII курс III семестрБилет 19. Линейные однородные дифференциальные уравненияс постоянными коэффициентами (cтр. 1 из 3)Билет 19. Линейные однородные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентамиДля уравнений L( y )  y ( n )  an 1 y ( n 1)  ...

 a1 y   a0 y  0(1),где a n1 ,...,a 0 - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачунахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.Для этого будем искать решения уравнения L( y )  0 в виде y  e x . При этомy   e x , y    2 e x ,..., y ( n1)   n1e x , y ( n )   n e x(2).n xn 1 xПодставим полученные величины в уравнение (1):  e  a n 1 e  ...  a1e x  a 0 e x  0 , или e x  n  a n 1n 1  ...

 a1  a 0  0 . Поскольку e x  0 при всех x ,из этого уравнения следует, что n  a n1 n1  ...  a1  a 0  0(3).xТаким образом, функция y  e удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда,когда  удовлетворяет уравнению (3). Уравнение (3) называется характеристическимуравнением уравнения (1).Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (3).Случай 1. Пусть все корни уравнения (3) действительные и различные. Обозначим их1 ,..,  n и рассмотрим функции y1  e 1 x ,..., y n  e n x , являющиеся решениями уравнения(1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость.

Это будет означать, чтоy1 ,..., y n - фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системыфункций равен,y1...yne 1 x...e n xy1...y n1e 1 x ...  n e n xW x  ......( n 1)( n 1)n 1 1 xy1... y n1 e... (nn1) e n xили, после вынесения из столбцов множителей e 1x ,..., e n x1 ...

11 ...  n.W  x   e 1 x ,..., e n x...1n1 ...  nn1Определитель1 ... 11 ...  n...1n 1 ...  nn1представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен i k  (это ут-1 k  i  nверждение примем без доказательства). Поэтому если все числа 1 ,...,  n попарно различны, этот определитель не равен 0 . Следовательно, как доказано выше (теорема 7 преды-Математический анализII курс III семестрБилет 19. Линейные однородные дифференциальные уравненияс постоянными коэффициентами (cтр. 2 из 3)дущего параграфа), функции y1  e 1 x ,..., y n  e n x линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.2 случай.

Все корни 1 ,...,  n - различные, но среди них есть комплексные числа.Формально e 1x ,..., e n x - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. этифункции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам былобы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.Лемма.

Пусть L( y )  0 - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные a0 ,..., a n1 - действительные числа. Пусть комплексная функцияu ( x)  iv ( x ) удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функцииu ( x), v ( x ) .◄Равенство Lu  iv   0 означает:(n)u  iv ( n )  a n1 u ( n1)  iv ( n 1)   ...

 a1 u   iv   a 0 u  iv   0 ,откудаLu   iLv   0 .Комплексная величина Lu   iLv  равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительнаячасть Lu  и мнимая часть iLv  равны 0 , откуда Lu   0, Lv   0 , т.е. u и v - решенияуравнения (19.1), что и требовалось доказать.►Пусть теперь     i - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4)имеет действительные коэффициенты, число      i также является его корнем. Этоu ( n )  a n 1u ( n 1)  ...  a1u   a 0 u  i v ( n )  a n1v ( n1)  ...  a1v   a0 v  0 , илибыло доказано в 1ом семестре. Значит e x - тоже решение уравнения (1).Далее, ex  e(  i ) x  ex  ix  ex cos  x  i sin  x   ex cos  x  iex sin  x .

По лемме,ex cos  x и ex sin  x также являются решениями уравнения (1). Легко видеть,e x  ex cos  x  iex sin  x , т.е. ex , e x являются линейными комбинациями ex cos  x иex sin  x . Разумеется, ex cos  x и ex sin  x также можно линейно выразить через ex иe x . Поэтому линейная независимость решений ex и e x с остальными решениями уравнения (19.1) равносильна линейной независимости ex cos  x и ex sin  x с остальнымирешениями.Подведем итоги.

В случае, когда все 1 ,...,  n - различные, причем 1 ,..., r - действительные, а r 1 , r 1 , r  2 , r  2 ,..., r  s , r  s - пары комплексно сопряженных чиселr  2s  n , причем r  k   k  i k , k  1,..., s , то фундаментальная система решений уравнения (19.1) имеет вид: e 1 x ,..., e r x , e1 x cos 1 x, e1 x sin 1 x,..., e s x cos  s x, e s x sin  s x .Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них естькратные. Напомним, что число  называется корнем многочлена P x  кратности k , еслиkP  x    x    P1  x  , где P1  x  - многочлен, причем P1    0 .Пусть корни 1 ,..., t имеют, соответственно, кратности k1 ,..., k t .

Тогда можно доказать(но мы оставим это без доказательства), что функцииe 1x , xe 1 x ,..., x k1 1e 1 x ,e 2 x , xe 2 x ,..., x k 2 1e 2 x ,…t xt xe , xe ,..., x kt 1e t xсоставляют фундаментальную систему решений уравнения (1)Математический анализII курс III семестрБилет 19. Линейные однородные дифференциальные уравненияс постоянными коэффициентами (cтр. 3 из 3)Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение.

Уравнению2y   2 y   y  0 соответствует характеристическое уравнение 2  2  1  0 ,   1  0 .Оно имеет корень   1 с кратностью 2 . Рассмотрим функции e x и xe x .e x  e x , e x  e x и подставляя e x в исходное уравнение, получаем e x  2e x  e x  0 ,т.е.

верное равенство. Далее, xe x  e x  xe x , xe x  2e x  xe x и подстановка функцииxe x в уравнение дает верное равенство: 2e x  xe x  2e x  2 xe x  xe x  0 . Итак, e x и xe x действительно решения уравнения y   2 y   y  0 . Эти функции линейно независимы, т.к.из равенства c1e x  c 2 xe x  0 при x  0 следует c1e 0  0, c1  0 . Значит, c 2 xe x  0 . Тогдапри x  1 c 2 e  0, c 2  0 .В случае 4, когда действительные корни 1 ,..., r уравнения (1) имеют кратностиk1 ,..., k r , а комплексные корни  r 1 ,  r 1 ,  r  2 ,  r  2 ,...,  r  s ,  r  s имеют кратности l1 ,..., l s ,можно доказать, что функцииe 1x , xe 1 x ,..., x k1 1e 1 x ,…r xr xe , xe ,..., x kr 1e r x ,e 1 x cos  1 x, xe 1 x cos  1 x,..., x l1 1e1 x cos  1 x ,e 1 x sin  1 x, xe 1 x sin  1 x,..., x l1 1e 1 x sin  1 x ,…s xs xe cos  s x, xe cos  s x,..., x ls 1e  s x cos  s x ,    e  s x sin  s x, xe  s x sin  s x,..., x ls 1e s x sin  s x ,образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольноерешение уравнения (1) имеет вид: y  c1 f1  ...

 c n f n , где в качестве f1 ,..., f n можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решенийМатематиеский анализII курс III семестрБилет 20.Линейные неоднородные дифференциальные уравненияс постоянными коэффициентами (cтр. 1 из 2)Билет 20.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентамиСогласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравненияL ( y )  q( x )(1)достаточно знать фундаментальную систему решений y1 ,..., y n однородного уравненияL( y )  0(2)и найти хотя бы одно решение y 0 ( x) неоднородного уравнения. Тогда любое решение yнеоднородного уравнения имеет вид: y  y 0  c1 y1  ...

Характеристики

Список файлов книги