Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 41
Текст из файла (страница 41)
с«(х )=ох |с1х. В частности, с1 ( — 1 = — — „, с1(;сх) = |,х|/ х| ' 2;~х 2'. с«(1об„х) = оК'ес1х (х ) О. О < а у'= 1). В частности, с1(1пх) = — 'х. 3'. с1(ссх) = ах 1пссс1х (О < а ф 1). В частности, с1(ех) = ехс1х. 4', с1 вш х) = совхс1х. 5'. с1 сов х) = — вшхс«х. 6', с1(18 х) =,, = (1+ Це х)с|х (х ф — + яи, где и = О, х1! 7'.
с«(с|Г8х) = — „' = — (1+ с18ах)сХх (х ~- 'лгп. где п, = О, ||!|г х х1,... ). 8', д(агсншх) = " ( — 1 < х < 1). Л вЂ” |"- 9'. сс(агс|с|ов х) = — ( — 1 < х < 1). 10'. |1(агс18х) = 11'. сс(агсссй х) =— 182 ОснОВы ДНФФеге!(Цил.'1ы1ОГО нс'!Нсг!ения Гл. а ах+ Ьх) =.~(х)+.(н(х) ~х (5.
46) По формуле (5.46) функция ч' для значений аргумента, близких к .х (т. е. для малых Ьх), приближенно заменяется линейной функцией. В )астности, из фору(улы ().46) мо)кет быть получен ряд уже известных нам из гл. -1 приб.,шженных формул. )Так, полагая 1'(х) = (1 + х) '1", х = О, получим. что (1+ Ьх)1(' =1+ х (5.17) Полагая 1'(х) = я)п х, х = О, ш)лу )им эш (лх — (ах. Полагая. 7(х) = (.', х = О. получим е -1+Лх.
(5.'19) (5А8) 11 ) Относительная погрешность равенства (ояу) определяется отношени,1у - (Чу ем ' . Отметим. что, по определению дифференциала, Ьу — 4у =. о(Лх). Из формул (5.16) и из соотнопп)ния (5.39) непосредственно вытскак)т следующие правила для вьг(и(пения дифференпиала суммы, разности.
произведения и (астного: (1(11 шп) = (1(1 ш(1ай (1(пу) = ш)и+ п(ай (1( — ") = 3. Использование дифференциала для установления приближенных формул. Хотя, как мы видели в 8 2, дифферевциат (19 функции у =- „((х)) не равен приращении) Ьу этой функпии. но с то Чностьк) до бесконе(но малой более высоко(-о порядка. (ем (лх. с(О)аведливо 16)иближ()ппое раве)ц:тво 71у =(19. (5.45) Относительная 1) погрешногть этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом Ьх. Формула (5А5) позволяет приближенно заменить приращение ЛЧ(! функции у = — 1(х) е(' диффсренцигьлом (4(д Преимущество такой зау(сны состоит в том, что дифференциал (19:)ависит от (дх линейно„в го время как приращение Лу. воооше говоря. представляет собой более ()пОжн(1О фу нкци1О От Ьх.
14ун)я В Виду, ьпо приращение функции Ь(у О!О)еделяется формулой (5.1). а дифференш(ал (19 определяется формулой (5.14), мы придадим приближенноа(у равенству (5.45) следу)ощий вид: 1(х + (лх) — 1(х) — ) (х) Ьх 1)о ш оизводныв и диееврнициулз)ы высших порядков 18З Полагая «(х) .=- 1п(1 + х). х = О. >юлу шм 1п(1 + Ьз)) — Ьзз (5.50) Каждое из равенств (5А7)-(5.50) справедливо с то шостьк> до бе>сионе", )но маз)ой) более Высокого порядка. Нзм Ь~. Равенства (5.4?) (5.50) в форме точных оценок уже были установлены нами в конце ч 7 гл.
1. й 10. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Понятие производной тл-го порядка. Как уже отмечалось в п. 2 ~ 1, производная «о(з:) функции р = «(х), опредсгюнной и дифференцируемой на интервале (а, Ь). представляет собой функцллю, тллкжс апределеннйн) на интервале (а,, Ь).
Может слъ'1иться, ГГО эта функция «'(х) сама яВляется дифферл>нци- ръох10Й В нлек010рОЙ то'1ке .7: интервала (а, 6). т. )ь имеет В этОЙ точке производнук>. Тогда указанную производнук> называют второй про)>вводной (илн пранзвод)>ой 2-ао порядка) фънкции р = «(х) в точке х и обозначают символом «( )(х) или у( )(х) '). После того как введено понятие второй производной. можно пощп.довательно ввести понятие> т1>еты;Й щ)оизводной).
затем четвертой щ>оизводной и т. д. Елтти предположить. что нами уже введено понятие (и, — 1)-й производной и что (и — 1)-я щюизводпая дпфференцируема в некоторой точке х иптерва.за (а, 6). т. е. имеет' В этОЙ '10'ПО'. щ)ОизВОдньи). то ука>анн)к) щ)ОИЭВОдную на:>ывак>т п,-й производной (или пронзвадной 11-га порядка) функции у = «(х) в точке х и обозначакн сима)том «(")(х) или , 1и)» Таким образом. мы вводим понятие и-й производной ипдуктивно, переходя от первои прои:>водной к полщедук)щим, Соотношл.ние, О)0>едл.:)як)щее >л-)О производную. Имев) вид ,1«(а) (1«(а-1)) (5 51) Фрнкцпю, пме>олцую па даппл)м мпонссс)пвс (и) капа лпую про)а>в>од)лрю порядка, и.
Обьтнл) )газыгн)ют, и раз д>л>))фсрвпц)лррвмой па даннолл мпоз>состое. Понятие щи>изводных высших порядков находит многочил)тенные применения в физике. Здесь мы ограни )имея тем. что укажем механический смьил второй производ- ИОЙ. Ел Ти фънкпия 1« = «(х) описыва~т закон движения материальной точки по прямой линии.
то, как мы уже знаем. первая производная «(х) дает мгновенную скорость движупп>йся точки ') В)орую производную функции В = «(х) обозначают также символом «"(х)или ра(х). 184 ОСНОВЫ '!ИФФЕРЕНЦИЛ'1Ы1ОГО НСе!ИС'!ЕНИЯ !''1 В в мохизнт в(!с хи;ни х. В гаком сщ час. вто(зая щзопзводная ('( 1(сгз) равна скориспт иямегсения скоростщ т.
е. равна ускорсниго движу щсзйсис то !ки в мох!с.нт в(земс;ни х. Заметим, что методика вы пиления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только проияеодньзс. первого порядка. В качестве щзимеров вычислим щюизводные п-го порядка некоторых простейгпих элементщигы:с функций. 2. и-е производные некоторых функций. 1'. Вычислим гг,-ю производнунз степенной функции у = хо (х > О, а любое вещественное чнс'ло). Последовательно дпфференпируя, будем имет! у' = ахи '. у(а) = сз(сз — 1)хзо ~, у(~) = а(а — 1)(а — 2)х Отсюда легко уяснить общий:закон (х")(вг =- а(а — 1)(а — 2)...
(а — и + 1)х'" Строгое доказательс;тво этого .закона лсзг-ксг проводится методом индукции. В частном случае а = т, где т . натуральное число, получим (хт)(т) = ггг), (хт)(в! = О щзи и, > гн. Таким образом, и;я производная многочзпзна т-г о порядка прп в > пз равна нулю 1). 2'. Далее вычислим и,-ю иронзводнуго показатзап ной функции у = ах (О ( а у'= 1).
Последовательно дифференцируя, будем иметь у' = а" 1и а, у( ) = а' 1и а, у( ) = а' 1из а,... Общая формула, легко устанавливаемая ио методу индукции, имеет вид (а*)( '! = а, 1и" а. В частности (,г ) (п,),.г. 3' Вычислим гг;ю пронзводнуго фуикгппг гг = ягггх. Первую производную этой функции можно заиисаз ь в виде у' =- !зоях .= = аш(:гз+ — ) . Таким образом, дгзфузе1зсгзцировагсгге функции у = = вшх ггрггбаелягпз к аргументу эпгой функции велиешну кг/2.
Отсюда получаем форму.су (вш х)(") = вш (х + и — ) . ') Пргз этом мм пепользуем опсо следувппуго очовидпуго формулу (Ли(с)-г-г- Всг(х)]С "г =- Авг"З(х! Е В ° '"'(х), где Л и  — посто!вшие. Л 10 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕ1'ЕНЦИА:1Ы ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 185 4'. Совершенно впал!В ично устанавливается формула (сов х)(") = сов (.«> + и — ~ . 2/ ) . В зак>по п>ниг« Вычисти«К! 77-го щ)ои')Водную так ега.'лыВаслах+6 мои дробно-лпне«)ной фг!Нкцгг«7, у =, где а., Ь, с и д -- некогх+д' торые пес!пивные. Пгк)п:довательно днс)>ференцщ)1 я жгу функ- цию.
оу.лем иметь а(сх+ г!) — с(г)х -'сь) ( 1 Ь )( ~) — 2 (сх + с!)) у( ) = (ад — Ьс)( — 2)(ох + д)" ' с, у(71) = (ад — Ьг)( — 2)( — 3)(сх + д) лс2. Легко усмо !реть н общий закон , +1, (и) у(") = ( ' ) = (ад — Ьс)( — 1)" «й(ох+71) (™с" ),сх Л- с! котОрый может бег!! Обоснован ПО методу индук«Н1и. 3. Формула Лейбница для и-й производной произве- дения двух функций. В то время как ус:танов:к)нное вьппе правило вычигглен!ля первой производной от суммы или разно- сти двух функций (7)+7«) = и ~е легко нервно!:птся (например, по метод1 индукции) па с!т, Еай и-Й производноЙ (77, + е)(щ = и(") + и("'), возникают болыпие затруднения прп вычнсшшпги и-Й производной от произведения двух функций иг«.
Соответствующее правило нос!лт название формулы Ле«167«гл- ца и имеет следующий вид: ( 7 )(««) (а)е + С!7)( !)7>7 + + С2 (В 21, (21 + Сза(п з)г«(з),, «гг«(п1 (5 52) Легко подметить закон, по которому построена щ)авая часть формулы Лепбнипа (5.52): она сиат«адает, с г!)Орму««о«1 рав>)озсе- «игв бтюма (и + 7 )", я«иаь амеслао степеней п н 77 стоят пра- изаод«гые соопеоетстау«огц«лх порядкот Это сходство становится еще более полным, если вместо самих функций г«, и п писать со- Отвг)тствллнно 77( ) и е( ) (т.
е. екв!и 1)асг:матривать сам1 г)>1нкцию как производнун>нулевого порядка). Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При и = = 1 эта форму.ш принимает внд (ги7) = и и + 7)г ., что совпада- ет с установленным вылив (в 8 3) правилом дифференцирования пронзведешля двух функций. Позтокгу достаточно. щ)едположив справедливо!:ть формулы (5.52) для некоторого номера и, до- казать ес, справедливость лля следующего ноъпгра и+1. Итак, 186 ОснОВы ЕЧВФФеРелчЦиллы1ОГО ис'1ис.'!ения Гл.
в пусть дтя некоторого номера н формула (5.52) верна. Продиффсрс)н)тнр11)м э)т1 форм?.11 и с)бьс)дтчнилс с")атас;мыс;, стп)ятпис) в п?)т)вой час1И, '1ак, как э10 указано ниже'.: (717))(7)ч 1) = 71(с)т1 и + [Сот)(сг)т)7 + С171(7)?и)1 + (С1и(и,— Ц и(21 + и и и ' + С тл(™т~( )" + )[С т)(' )и(1 ) + С тл(и - )7)(з)1 +...
+ 1)т(и+ ). (5.53) (При эси)м мы воспользовались тем, что 1 = Са). 1?з элемент)рного курса известно. что для лк)бого номера й, не превосходящего п. справс)длпва формула ) Л: — 1 Л: Си + С„= Сит). Пользуясь этой формулой, мы можем следующим ооразом переписать равенство (5.53): (ит))(ит)Л = тл(и+1)7 + С,', иси)ад+ С„и(и 'Чтй Л + .. + итало" ') и-1-1 и-~-1 Тем самым доказана справедливость формулы (5.52) для номера (и, + 1).
Вывод формулы Лейбница завершен. П р и м е р 1. Вычислить 7);)о производную функции у = —:г- сов сг. Воспользуеъи:я формулой Лейбница, положив в ней в и = сов х, и = т;. В таком случае для любого номера й тс(л) = = сов [х + й — 1. 7)' = 2х. 7)(з) = э. и(з) = с(т) =... = О. Полу птм 9/ ' у(и) = х сов (х + и — 1 + 2нх сов [х + (и — 1) —,1 + + п,(п — 1) соа [сс:+ (и — 2) — 1.
21 П р и м е р 2. Вьгщслить 7).-ю производную функции у = = хас*. Воспользуемся формулой Лейбница, поло)кпв в ней и = = с", и = х". То да дл любо о о. ера й н(в) = с', т' = 3хт. 7)(е) = бх, и(1) = 6, и(ч) = и("1 =... = О. Получим ЧЧ(иЛ = (хз + 37)хз + 3п(н — 1) с; + н(п — 1)(н — 2))с"', Расс:мотренные примеры показывают, что формула „'1ейбнтща особенно эффективна в саучае, когда одна пз двух перемножаемых функций имеет тиань конечное "сигло отпли лных отв нуля 7)РО711)С)Одт)ЫХ. 4. Дифференциалы высших порядков. В рассуждениях настоящего пункта мы будем использовать для обозначения днфференпиала наряду с с:имволом д также и с:имвол Ь (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
