Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 37
Текст из файла (страница 37)
По из формулы (5.9) вытекает, 'по 1пп слу = О, т. е, функция у = «(х) непрерывна в точке х Ьх — >О в силу разпостпой формы условия пепрерывпоспг (см. п. 1 Г 1). Теорема доказана. Естесчвенпо, возникает вопрос о том. справедливо ли утверждепие, обратное теореме 5.2, т. с. вытекает лп из непрерывности фуггкции в дишой точке ее лиффсрегщируемость и этой ООПОВЫ дИЕсрит КицнйЛЬНОГО ИС)ИОЛБНИН ГЛ. а точкс. Па э!.от ВОП1)ос следует дать с)трнпательный Ответ, нбо существуют функции непре1)ывттые в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке чифферснцируемыми. Приъп ром такой фупкпитт мо>кстт стлу.нить фтнкция 11 = '~~с~.
Еип видно, тто этй функция неп1)ет)ывттй в тетке х = О, но Оттй (ктпс покйзйно в конце и. 5 ~ 1) пе яьляс тся днффе1и и))струек)от) в этс)й тс)чке. Отметим, что с уществук)т ттещ)с 1Н1вньн' нй нс)к010ром сегмщ1111 фхнкттни, не имеющие ттроизводной ни в одной точкс этого с егхтента ). 3. Понятие дифференциала функции. Пусть функция у = ~(х) дифференцирусма в точке х.
т. е. Нрирюцение слу этой функции в точкс сг, моькст быть записано в виде (5.9). Анализируя формулу (5.9), мы приходим к выводу, что приращение слу дифференцттруехсой функции представляет собой сумму додх сгтигаамъссс: первое из этих слагаемых А)Ьх при А ф О представ,тает с обой функцию прирапн ния стргуттснта С.'тх, линетитую п однпроднун)г) с)птносптпсльно слх; это слагаемое представляет собой прп с".тх — ) О бсст'отсечнп малую такого аюс пор)лс)ка, что и сох: оп)орое. слагаемое стЬх представ;шет собой при сох — ) О бс.сконечно лнтлун) болс:е аъюокого порядка, чем с'.тт;.
так кйк отОЛх ношение — = н стремится к нулю при с'тх — ) О. Таким обрйсл.т зом, при А ф О первое сзттгаемос АЬх являетс'я глаиной чистью приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке х, соответствующим прнрйтцению аргумента с."тх. Итак, в случае А р= О дттс))д)ереттцтталом фут)к)1сттт у = 1(х) а дитсой точке х. соотаетс)тотстотцтсм прпраи1етсаю аргумента ЬХ, НильшиЮП1 гЛииНУЮ ЛИННй)ГУЮ) ОтНО)аППСЛЬНО СЛХ ЧиотЬ ПРП- ришенил этной, функ)уст)с в пючкс. х. Принято обозна тать дифференциал функции у = ~~х) символом сну. Если для приращения функции Ьу справедливо представление (5.9), то дифференциал этой функции, по определении), равен 15.
13) ду = Ас))х. В случае А = О слйсаемси Ас."т:т: перестает быть главной частью приращения с'.ту дифферснпируемой функции (ибо это слагаемое равно нулю в то врс*мя, ьак слагй мое стслх, вооснцс говоря, отлично от нуля). Однако договйриватотся и в слу тае А = О ') Первый опуб.,шкованный пример такой функции принадлежит Вейорсптрас су. 1'анее независимо ог него впало) ичный пример был построен чеке еким математиком Больпано, но этот при сер пе был опубликован. В Попо.шенин к гл. 11 будет указан пример такой функции.
)) Напомним, что линейной функцией аргумента х называется функция ви;са у = Ат -Ь В, где Л и В некоторые постоянные. В случае В = О линейная функция н пывается ос!нородной. понятии диээиринцирукмости эй нкции 165 определять дифферс)нциал функции формулой (5.13)., т. е. счи'Гак)ч) что Он раис'н ну'.лю В этом случаен Если учесть теорему 5.1, т. Ек учсстеч что А = 1)(се), то формулу (5.13) можно переписать в виде у = Х'(х)~1х (5.14) СРорксйла (5.14) дает Выражен)ие .Сиффс.ус нпь)ала ц)у)екесее)е в то )- кс х„соответствующего приршценню аргумента ст,.г. Следует подчс ркнуттч что дифференциал функции йу в данной точке х, вооб)це говоря, не равен приращсенито функции Ьу в этой точке.
Это У особенно легко уяснить нз рассмо- Р трения графика функции у = 1(х) Я (рис. 5.3). Пусть гочка М на криВс)Й У = с" (х) соотВЕ те ЕВУет зна- М Уйу чению аргумента х. точка Р на И той жс кривой соответствует значению аргумента х + Ьх( МЯ— касательная к кривой у = 1(х) в О х х+Ьх х точке М.
Пусть далее МХ )) Ох, Р)т' )! Оу, Ц точка пересечения касательной ЛХО' с щьчмой РЛ). То- Рис. 5.3 гла щ)иранц)ние функц)ли Ьу равно величине отрезка Лс Р. В то же врс'мя нз прямоугольного треугольника МЯЛ и из формулы (5.14) ясно, что дифференциал функции йу равен величине отрезка Х(е), ибо величина отрезка Л) с)с равна Ьх„а тангенс угла х' С~МЫ равен 1)(х).
Очевидно, что величины отрезков с)'Р и Лгб), вообще говоря. различны. В заключение этого пункта мы установим выражс"юле для дифференциала функции у = ) (г), аргумент:г. которой является )сезон)се)смой переменной ). Введем понятие с)ссфференцс)или Их незашсепмой переменной:г. ПОЛ дич)ферс'н)С)!)клок! Е(х незаВисимой пе'ре'меч)нОЙ х можно понимать .,)юбое (не зависясцес от,г) число. Договоримся В дальнейп)ем бр гть это чис;и) равным прнршцешно Ь:г независимой переменной в). Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (5.14) в виде с)у = 1 (х)ЕСх.
(5.15) Под )граном, что формула (5.15) пока ггс) йстанс)идена нами лишь для случая, когда аргумент:с: является независимой не- ) Подчеркнем, что аргумент х функции у = С(х), вообще говоря, сам может являться функцией некоторой переменной. ) Эта договоренность оправдывается рассмотрением независимой переменной х как функпии вила У = х., д.щ которой йд =- йг = Глх. 166 ОснОВы д!1ФФегенЦил.'1ы1ОГО нс'!ис:!ениЯ Гл. В ременной. Однако ниже, в Ч 9, мы докажем, что формула. (5.15) О(та(т(я сщ)введи!ВО!! и д(!я ()1)чая, коГда ВРГум(нт х н( яВляется независимо!л переменной, а сам представляет (обой дифференцируему)о функцию некоторой новой переменной.
Пока что мы можем сделать следующий вывод из формулы (5.15): для ( !учая, когда щ)гумснт х функции у = «(х) является независимой переменной, пронзво.!ная «'(х) этой функции равна отношению дифференциала функпии (1у к дифференциалу аргумента (1х, т. (. «(;г) = (1!)«дх. В 6 9 буд()т докйзйно, что это соотноннлние сщ)йв(дтиво и В (лу— чае, кОГдй ВРГу:!Рнт х сйм яВляется диффРРРнцщ)уРмой функ- цией некоторой новой переменной. я 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (5. 17) 1еорема О.З.
Етии! ко!Ведал иэ («)уикций и(х) и и(х) ди(«)Е («)ерст(ци!)ут(мт! о данной точке х, то сумма. риш(ость. т!роиооедение и частное этих («)ункци(1 (чистное при услооии. чтпо и(хз) ф. О) тикэюе ди(«н«)(1)енцируемы о этой. точке.. 1)ричем именна место !уормулы [и(х) х и(тх)) =- и (х) х и (:г). [и(х)Ч((х)) = о, ((;)и(;г) + и(х)и ((х). (5.16) 1' ' — у и(х)) и (х)о(х) — и(хЧВ (х) и(х)) х)(х) До к аз ат Р л ь г т в о.
Рассмотрим отдельно случаи суммы (РВЗНОСЧ'И), ПРОИЗВСДЕНИЯ 1Л ЧЖ'ТНОГО. 1'. Пусть у(х) = и(х) х и(х). Обозначим символами Ьи. Ьи и ()У !Ц)Щ)йпгениЯ фтнкпий и(х), и(х) и У(!) В Дйнш)Й то 1ке х, соответствующие приращению аргумента Ьх. Тогда, очевидно., (")у = у(х + 1:)хз) — у(х) = = [и(г, + Ьхз) х и(х + Ьх)) — 1[и(х) х и(х)) = = [и((х + Ь:х) — и(х)) ~ [и(х + (),,х) — о(х)) = (),и ~ (.")и. Таким образом, при (.")х ~ 0 ()у ()и гии ()х (хх Ьх Пусть теперь (,")х — ) О. Тогда В силу существования производных функц!лй и(х) и и(х) в точке х существует предельное значение щ)йВОЙ !й(ти (5.17), рйвно(' и'(х) хч)'((г).
Стас!о быть, существу(т предельное знйч('ние (при Ьх — ) О) н !и'вой !асти (5.17). По 167 НРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ !)и!излечению ззроизводной указанное пред!а )ьное зназчсзние равно у'(х), и мы прихг)дз)м к требуемому равенству у (х) = и (х) х п(.г), 2'. Пусть далее у(х) = п(х)п(х).
Сохраняя за з".з)л., Ье и >Агу зот же смысл, что и вьш)е, будем иметь Ьу = у(х + Ьх) — у(х) = п(х + злх)т>(х + Ьх) — и(х)п(х) = = [)з(х + )з.х)п(х + Ьх) — и(х + злх)т>(х)] + + [п(х + злх)!)(х) — п(х)п(х)] (мы прибавили и вычли слагаемое и(х+ зХх)!)(х)). Далее можем записать: Ьу = п(х+ Ьх)[н(х+ лх) — п(х)]+ п(х)[зз(х+ Ьх) — и(х)] = = и(х+ сзз)>Ьп) + т(;г)Ь)з. Таким обраюм. при злх ф 0 — '~ = п(х + Ьх) — е + п(х) — и. (5.18) Пусть теперь Ьх — ) О.
Тогда в силу дифференпируемости функций и(х) и п(х) в точке х существуют предельные значения от>.'>з> сто ноп!ений — н —, соответственно равньп) 'и (:г) и и (т). Дььпг'.е Ьх ззх ' из дифференцируемости п(х) в точке х, в силу теоремы 5.2> следует непрерывность и(х) в этой точке. Стало быть, существует пред!лыка" значение 11)т! >л(т:+ ззх), равное )л(х). Таким об,ъаЬзь ->О зом, существует предельное значение правой чш>ти (5.18) при злх — ) О, равное >з(х)п'(х) + )з(г)п'(х), Ста.)О быть, суп!ес>твует )туг)де)>ьное значение (при злх — > 0) и левой части (о.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
