Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 38
Текст из файла (страница 38)
По определшппо про~)зводной! указанное предельное значение равно у'(х), и мы приходим к требуемой формуле у (х) = и (х)п(х) + и(х)п (х). 3 . Пусть, з)аконеп, у(х) = †. Тогда ) с ...,, а(з) н(х) Ьу = у(х + злх) — у(х) = я(з ->- ззт) и(з) )( '+ ~з:) )(х) а(х ->- с>т)е!т! — е(х + ззх)а(х) а(х)о(х + >ах) ) Так как в дальнейшем в знаменателе фигурирует значение с(х -Ь Гзх), то слЕдует доказат>ь что это зцачвпис Отлично от нуля длл есе:с досггинг>о >но малых ззх. В самом деле. если бы это было не так., то нашлась бы бесконечно малая нос зедовательнонп значеяий >ах„такая, что о(т, -Ь Ьа>а) = О. Но поскольку функция х(х) непрерывна для значения аргумента х, то мы получили бы из условия а(з: + сзх ) = О, что п(х ) = О, а это противоречит условию теоремы.
168 ОснОВы ДНФФВРентЧ!чл51ытОГО нс'!Исс!ения Гг!. в Добавляя и вычитая в тислителе стагаемое тл(х)7>(х), будем иметь: (и(х + Лх)7)(х) — и(х) и(х)) — (н(х -~- 1)х) и(х) — и(х) и(х)) и(х)и(х ч- ттх) с(х)(и(х+ Ьх) — и(х)) — и(х)(и(х: ж ттх) — и(х)) и(х)С)и — и(х)С)и с(х)и(.г + Стх) и(:с:) и(х + тих) Таким образом, при Ьх ~ О сзт) тли и(х) — — и() )— р .Ь,т ах (5.19) ах и(х)п(х + дпт:) Пусть теперь т:тх — ) О. В силу дифференцируемости (и вытек)иотттт)Й из пее ттепрсрывности) с))ункттий 77(х) и п(х) в ~он~с х су!цс.ствую1 прттдс льньп значения 11Ц1 — = и (х), 111п — = 7) (:т:). 11Ц1 п(,т; + т.т,тт) = 7)(:11). Лт — )О тих Ъх — )О ах а:г — )О Тттким образом, носк!)льку п(ст:) ф О, сутцествует тй)сдельное )начет!не при Ьх — ) О правой части (5.19), равное и(х)и (х) — и (х)и(х) и'( ) Стало быть, суптествует предельное значс-ние (пртл Ьст; — ) О) н левой части (5.19).
По определенин) производной у!и)ванное пре- 117-льттое зпачепис- равно р'(сг), и мы получим требуемую формулу и'(х) (и:) — и'(х)7«хО 9 сх) = ся(х) Тсторстма 5.8 полностью доказттна. з 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции В атом параграфе мы приступим к вьгпп н)тптк) производных !Ц)остс'ЙПП1х этементарных функций, 1. Производная степенной функции с целочисленным показателем. Начнем г вычистп*ния производной степенной ф)'нкции 7/ =:с, показатсп1ь н кОтороЙ яв„15п'тс.'я 7!сльтлт 1И).1Ожитсльнттьт число~ '). Случай степ!иной <$)уттктттттт.
Ноказатстпь которой являетсит любым Остптсс)птненнитм (не обязательно целым) числом, отложим до З 8. ) Эта производная уже рассматривалась в гл. 1 с помогпьн) интуитивного представления о пределе. 169 вы">ис пение и!'ОизВОднык Ьу = >йп (сх+ Ьх) — вш:г. = 2 сов (х + — ') аш >ах '> . >ах 2 ) 2 Таким образом, п!>и >Ь:г ф 0 сл>х вн1— — = сои )х+ — ) (5 2!) Ьх ~, 2) Ьх 2 Так как функция р соа х является нтрермоно>2 в любой точке х бес>коне>чно>1 и!>Ны~Й ), то с у|пествуе> п!>1>дсс>ьнос значсннс 1ш> соа Ь+ —,') = сок:г. с>х '> (5.22) ла> чо Далее, в силу ос'новного результата п. 2 2 6 гл. 4, сусцествует предельное значение С>Х В>п— й 2 И 0 2 (5.23) ' ) Это доказано в п.
6 З 3 гл. 4. Впрочем, непрерывносз ь функции у = сов х легко доказать, неволь>ув роаиосгннл>в форму условии непрерывною и. Используя формулу бинома Ньк>тона, можс'и записать: Ьс! = (х + Слх)в — хв = 2 = 'х" +мха ь>х>+ ' ' хв (с.">х) +... + (Кх>!)" — ха = — итв 'С.'>т+ ~и гв >(сл ) + + (Ь')в 2 Таким образом, прп с.'>.г ф 0 — = 1>хл' ' + ~ хв 2Ьх+...
+ (Ьх)в '. (5.20) Поскольку все сию.аемые в правой части (5.20), начиная со второго, содержат в качестве множителя слх в положительных степенях, сущсствует и!ждс>явное зна>1енис указанных слагьи>мых при с.'>х — > О, равное нулю. Первое слагаемое в правой части !5.20) от Ьх> пе зависит. Стало быть, существует предельное значение (при слх — > 0) правой части (5.20), равное их," '. По опрс"делению производной указанное прс дс-лын>е значение равно «!>он>водной Ч>уч>кции р = х"'. г. е. (хв) = '>исг> Проведенные расс'уждення справедливы для любой точки,г бесконечной прямой.
2. Производная функции у = а>п х. Пользуясь формулой приведения разности синусов к виду, удобному для логарифмирования, можем записать: 170 ОСНОВЫ 2!ИФФЕРЕИЦИЛГ!ЬНОГО ИС'!ИСГ!ЕНИЯ ГЛ. о Таким порезом, су(ц((тв1ет пред(п(ьное зна (ение !прн Ьх — г 0) правой части !5.21), равное произведенин! предельных значений 15.22) и !5.23), т. (Ес равное совх. По определению производной указанное предельное !начение равно производной функции у = = вшх, т. е. 1вш(х) = сов:г.
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки:г оесконечной прямой. 3. Производная функции у = соа х. Пользуясь форму(к)й приведения разности косинусов к виду. удобному для логарифыировв(ния. ыоя((хв(:!аписат!: (хх ( , (хх Ьд .= сов!х + Ьх) — сов х .= — 2 вш 1 х + — ') вш 2 ) 2 Таким образом, при (Хх ф 0 !5.24) 2 Так как функция р = вшх является непрерывной в любой точке х бесконечной прямой.
то существует предельное значение 1пп в1п1х+ — 1 .= в1п.х. !5.25) дх (0 ( 2 / Из существования предельных значений !5.23) и !5.25) вытекает существование предельном> значения 1прн Ьх — ! 0) правой части 15.24), равного ( — вшх). По определению производной по(щеднее предельное значение равно производной функции у = = сов.гь т. е.
1совх) = — вшх. Проведенные рассуждения справедливы для любой точки х беско(н.зной! (прямой. 4. Производные функций у = $и х и у = с1и х. Так как нами уже вычи(щ(ны производные функций у = вшх и у = сов х н так как вн(.(' сов х !их =- — '', с!й:г = — ' сов г в(а х то для вычисления производных функций й = !й:х и р =- сгй,х можно воспользоваться теоремой 5.3 !то вне.
формулой, выражпощ(й пронзводнук( ча(тного, т. (.. тр(ть(й из фо1»(ул 15.16)). Мы получим, что всюду, кроме тех точ(к, в которых сов х = =О, 1в!и х)' сов х — 1сов х)' вто х 1 1!и х) совв х сов!.х ' С 5 ТЕОРЕМЛ О ПРОИЗВОДНО11 ОБРЛТНОй1 ФУШ(иии 171 Итак, (1йх) =,, = 1+1и~сх 1д,тя всех значений х, кроме х = — + кп, где и = О,х1....). Анало!'и*п!О в('юг! крОмР тех тО'1Рк., в которых ап1х = О! ,! 1согх)'8>>>х — 18тах)'соьх 1 818 и 8!и х Итак, (С$6 х) = — 1, = — 11 + с$6 х) 8!и х 1,3ия всех '1нач<'.Иий:16 кр(>мР х = ггп, гд('.
и = О, х1!... ). 5. ПРоизводнаЯ фУнкции У = 1оии х 10 < а ф 1). Взав в качРствР !'Г л!Ооу>О то'тку ПОлтпряыой х ) 0 и считая, что )г<лсх) С С иц можем записатьс Ьу = 1ойи(х + Ьх) — 1ой„х = 1ой„" = 1оа„) 1 + — ' ) . х+ (Зх / схх > Таким образом. при слх ~ 0 8 ~ !!их = — 1О6„[(1 + — ') ] . 15.26) В силу основного результата и. 3 ч 6 гл. 4 выражение в квадратных скобках имеет при Ьх — > 0 1и при любом фиксированном значении х) предельное значение, равное е, Тог (а на основании непрерывности функции у = 1оких в точке х = е сушествует предельное значение 1при <лх — > 0) правой части 1О.26), рав- 1 но( — 1О6 с. По <нгредс;,тенню производной указанное предельно(1 и значение равно производной функции у = 1о „х! т.
е. (1об,сх) = — !о~ос 1для всех значений:г! >ц>инад,н'жа>цих по.тупрямой * ) 0). В частном случае и = с получим 11пх) = 1(гх. я 5. Теорема о производной обратной функции Теорема Б.~. Пусть фгуг!кг)г!и у = 1 гх) о некоп!орой окрестносп!и точки хо еозрисгп!иеп! (,илг) убы(гает) и )<олл(!>пел непрерывной. Пусть. кроме того, фупкцг!и у = 11х) дги)>(1>су)сг<цируел<и о точке хд и проиоиоднил зи1хо) отлипни от нулл. Тогда сусцессооуеси обритпич сруг!кцг)л х = у' ' (у), которал ог!ред<!лени 172 ОСНОВЫ 21ИФФЕ»зЕ»ЛЦИЛДЫ1ОГО ИС "1ИСЛЕНИЯ ГД. В в лсслв»с»»»»орс»»7 окретпиости с»с»сз»»»с»сз»пс»табун»и1»зй»почи»», уо = ) (хо), диффере»сии1»уе»ио о этой точке и с»мес»»п в эплой точке»»роиэооднлйю, Ровн»1ю 1/('(хо). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Прежде всего заметим, что для функции у = »(х) вьпюлнены в окрестности точки хо все условия плед»тизл»с из ~е~~ы 1 с( 4 гл. 4. С»»глас»»с» итсзьсъ следствию существует обратная функция х = 1" (у), о»»1»одело»»н»ля в лп которой окрестности гочки уо = 1 (»»зо) и непрс рывная в этой окрс стностн. Придадим аргуун'нту у этой обратной функции в точке лув произвольное отлпчнос олп нуля прирюценис Ьу. Этому прирщцению отвечает приращение»лх обратной функции, п1»ллчс.хл в силу воз1»ситанпя (или убывания) функции»Ь,»: ф О.
Таким образов», мы имеем право написать следующее тождество: зй» 1 »ху»иу»с»й» (5. 27) Пусть теперь в толсдестве (5.27) Ьу — э О. Тогда, в силу непрерывности обратной функции х = »' '(у) в точке уо и согласно разностной форьле условия непрерывности. и»их — + О. Но л»1»лл Ь»»; — + 0 знаменатель дроби„стоящей в правой части (5.27), по ол»1»еделенллю проллзводной. ллмеет предельное значение, равное 1'»(с»:) ф О. Стало быть, правая часть (5.27) имеет при 1 »'.11» -л О предельное значение. равное , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
