Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4с)). Повторяя эти рассуждения, мы определим эти функции;дя всех положительных значений к. Для отрицательных значений г мы определим эти функции с помощью соотношений л'(сг) = — Я( —.г) и С(т) = С( — я). Легко уоедиться, что в результате мы получим функции, непрерывные на всей бесконечной прямой. Докажем, что функшш л(г) и С(») удовлетворяют требованиям 1'. 2' и 3* у»вор кления, сформу»шрованного в начале дсзьвяитюшсс !яв срщсствп! ванин. Заметим.
что еслн,», я, я + я и я принадлежат множеству (я) сегмента(0, с([, то для этих значений аргумента формулы (4.о ) имеют ме- -1 сто. 15з указанного выпи способа продолжения функпий Я(т) и С(» ) еле сует справедливость этих формул для значений аргумента с)-Ь я', я", где я' н я" принадлежат сегмент» [О, с(). Повторяя зтн расхуждення, мы докажем, гго соотношения (4.5' ) сщ»аве,сливы .сля всех значений аргумента бесконечной прямой вида рс( с2"', где р и и, — лзобые целые числа.
Так как эти значения аргумента образу»от вснзду плотное множество точек бесконечной прямой '), то, в с»ду непрерывности функпий л(я) н С(г). соотнопзення (4.5') будут справедливы для всех значений т. Поскольку требование 2" выполнено в результате построения функций ,5(сг) и С(» ), остается убедиться в справедливости требования 3'. Отметим, что если я ! я и я + я — элементы множества (я) сегмента [О,с() и !справедливы неравенства 0 < л(я') < Гя' и 0 < л(яя) < бя", го, в с:илу порвой формулы (4.5') и неравенств (4»20), выполняютс:я также норавенства 0 < < л(яз З- яв) < Гя' Э- йяв = »'(я' Э- я").
Используя это замечание., формулу (4.19) и неравенства (4.20) и (4.25), легко убеднты:я. что неравенства О < ( з(я) < Тя справедливы лля всех я нз множества (я) сегмента [О, с)). Так как это множество всюду плотно на [О,с(), а Я(») непрерывная функпия! то для всех» из [О, с(] имеют вмегто неравенства 0 < л(.г) ( Ь»з Справедливость требования 3' угтановлена. Заметим теперь, что пило Ь зависит от выбора вй Именно, если вместо й выбрать число с(* = с(113 то тогда я,, = »„11к По построению л(я,,) = Я(я„)! и поэтому 1снз "' = 1нп й " = 1Ь (см. (4.24)). Выбирая 1» = 1ссб, л(я„,) .
л(я„) мы определим на сегменте [О, сГ) такие функции л(.г) и С(х), что будут выполняться неравенства 0 < л(»с) <:г. Геоксетрззчес к»се соображения показывают, что ес.зи д = я/2! то 25(я„) длисса стороны правильного 2"-угольннка! вписанного в окружность радиуса 1! 2я„. длина дуги окружности, стягнваемой хордой длины 2о(я„). и 21(я,),юнна стороны правильного 2"-угольника, описанного вокруг этой окружности. Неравенссва (4.25) в этом случае имеют вид л(» ) < ( я,„< 1(я„).
Поэтому в указанном случае Ь = 1. Утверждение полностью доказано. *) См. сноску з) на с. 145. ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСт1ИСЛЕНИЯ В этой главе вводятся попятив производной и дифференциала, устанавливаются правила диффереппировавия, вычисляются производные всех простейших элементарных функций, уже выписанные ламп в гл.
1. Далее рассматривакггся производные и дифференциалы высших порядков. й 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация 1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности. Пусть функция й = )(х) определена па некотором интервале ) (а,, 6). Фиксируем любое значение:с из указанного интервала и зададим аргументу в точке х произвольное ггриращение 2ах такое.
что значение х + тах также принадлежит интервалу (а...й). т)риритвнтсм )1)йокции й =- Ь'(х) в гпочкв х, соответствующим приригввнию иргу)мента 2ах. низовеле число иу = Х(: +21х) — Кт) (5.1) Так, для функции й = вшх приращение в точке х, соответствукяцес приращению аргумента ьгх, равно .Хх~ . хт Ау = айп(х+ Ах) — вшх = 2соя (х+ — ) вш —. (5.2) 2) Имеет место следующее угвер>кдепиел длл шоно чтобы фйпкцпл д = )'(х) являлись непрерывной в точке х, необходилео и досшгтточно, чгпобы прп)иииснис Ар этой функции в гпо аке х, ) Вместо интервала (о, Ь ) можно рассматривать сегмент (о, Ь), полупрямую, всю бесконечную прямую н вообпее любое влопаясь е себе множеслво (т ).
Определение плотного в себе множества (х) дано в Э 3 гл. 2. производная 157 ссоссгпслессссспслусссщее прираяценспо аргумттси сххч являлось бесконе'. Гно лссл,ссгвслл пйс'сл л.мс; — с О В самом деле, по определепию, фусскция у = «(х) непрерывна в точке т., если существует предельное значение 1шч «(с + ллх) = «(г) (5.3) ,Ьл — со В силу п. 3 2' 2 гл. 4 существовапие предельного зпассция (5.3) эквивалентно чому, что функция [«(х+Ьх) — «(х)[ аргумента лхз; является бескопе шо мглой при Ьх — > О. 1оказалсссое утверждение позвозшес выразить уело~лис непрерывности функции у =- «(:г) в точке х в новой форме, а именно: функцсля д = «(х) непрерывна в точке з:, слсмссл п7сслрслсссеюсг Л у зссшй фусскцслсл, в то сксл з:, соответствднгщее путращению аргумента, лхх, являеспся бесконечно мильлм при лхх — э О, г.
е. если 1пп лзу = 1сш [«'(х+ Ьх) — «(х)) = О. (5А) пг ~о пг со Ъслослве (5.4) мы и будем называть )лазноспсной формой условия непрврывноспли функции у — «(з:) в то сскг зх Это условие мы будем неоднократно использовать в дальнейшем. С помощьк> условия (5А) еще раз убедимся в том, ччо функция д = вшх непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Ьх'с ' В самом деле, из формулы (572), слз усювия сов(х+ — л1! < 1 Лх и из равенства 1пп вш — — О пепосредствеппо вытекает, что пг-со 2 1пп сзу = О. гп -со 2. Определение производной. Сохраним для функции у — «'(:г) предположения и обозначения, сформулированные в начале предыдусцего пупкта.
Считая, что Ьх ф О рассхсотрихс в даппой ф)слксслрссвслслслссс1 точке х очпошсние прпрасцепия Ьу функции в этой точке к соответствукнцему приращению аргумента Ьх Ьу «(х + зпх) — «(х) (бс. 5) .лг .Хх Опсошепие (5.5) будем называть розностным относигнием (в данной точке х). Поскольку значение х мы считаем фиксироваюсым, разпостцое отпошсшсе (5.5) представляет собой функцию аргумента с.'мг. Эта функция определена для всех значений аргумента Ьх, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точка лЬх = О.
за сссключешгекс самой то ски сзх = О. Таким обра'лохс, мы имеем право рассхсатрслвать вопрос о существовании предела указанной функции при лхх — с О. Определение. лл р о сл з в о д и, о й фуслкцслсс. у = «(с:) в дслнслсссл фиксированной точке х назывиется предел при лтх — с О 158 ГЛ. о ()СНОВЫ ДИФФКРЕНЦИАЛЫ1ОГО ИО'1ИСЛЕШИ51 рагннн:тноао нпгноигхггия (5.5) (при дг>лг>ггглгз., что этот нредел г:игцег>ггго уенг). Производную функции у = «(х) и точке х будем обозначать символом у'(х) или «'(т). Итак. по определепик>, «(,>.) 1>пз ' У )зш «(' ' ) «(х) (5 б) Пх >О ад>' Ъх >О Ьг Отметим.
что если функция у = «(:г) определена и имеет производную для всех х из интервала (аг 5), то эта производная будет представлять собой пекоторук> функцию переменной х, также определеннук> па шпервале (а,б). 3. Производная с физической точки зрения. Понятие производной мы ввели. исходя аз физических соображений, еще в гл. 1. Здесь мы езце раз остановимся па физических приложениях понятия производной. Прежде всего, предположим, что фуззкция й = «(гг) описывает заков г>етгэгсенил млгтерпальной >панки по прямой линии (1. е, зависимость пути гб пройдешюго точкой от начала отсчета, от времени х). Тогда., как известно. разпостпое отношение (5.5) определяет средцк>ю скорость точки за проьгсжуток времеви от т, до:г+ глх.
В таком случае производная «'(х). т. е. предел разиостиого отношения (5.5) при гах — э О. определяет меннон>туго скорость тн гки н мг>мент времени х. Итак, производная фуш(пии, описывак>шей закон дззижевия. определяет мгновенную скорость точки. Чтобы пе создалось ззредставлецие о том, что понятие производной пшроко используется только в механике, приведем примеры приложешгя понятия производной из других разделов физики. Пусть функция у = «(х) определяет количество эл(ктрпчества й.
протекшего через попере шое сечение проводшп(а за время х. (При этом момент времени х = О берется за начало отсчета.) В таком случае производная «'(х) будет определять с(злу тока, проходящего через попере шое сечение проводника в момент времени х. Рассмотрим, далее, процесс нагревания некоторого тела,.
Предположим, что функция й = «(х) определяет количество тепла > й, которое нужно сообщить телу для нагревания э>ого тела от О до .т'. Тогда, как известно йз курса элементарной физики, разпостпое отношение (5.5) определяет г>рег)ггггиг> теплоемкость тела при нагревании его от х' до (х+ Ьх)'. В таком случае прои:>водная «'(х), т. е. предельно(' зпачепи(' разцостпого отношения (5хй) при гах — э О, определяет нгеплг>емкость тенг> ) Выраженное, например, а калориях. ПРОИЗВОДНЯЯ 159 Ряс. 5.1 при, донной п>е>иг>ер>!!!суре х.
Подчеркнем, что зта теплоемкость, вообще ! оворя, меняется с изменением температуры:г. Л!ы рассмотрели примеры приложения понятия производной в трех ра:>пых областях физики. При изучении курса общей физики читатель встретится с друп>ми мно! очисшеннымя примерами првложеппя понятия производной. 4. Производная с геометрической точки зрения. В 9 '2 >л. 1 мы рассматривали задачу о пахожденпи касательной к кривой, являя>щейся графиком фупкппи у = «(х) (на некотором иптервале (а,б)). Там мы дали определение касательной к указанной кривой в точке М(х, «(х)) э>ой кривой. (3>тесь;г некоторое значение аргумента пз интервала (а,!>): см.
рис. 5.1.) Если через Ьх обозначить произволын>е приращение аргумента, а символом Р обозначить точку па кривой с коордипатами (х + Ьх, «(х + 21!»)), то касательную. проходящую чере> точку ЛХ данной кривой, Р Я мы определяем как преде,>ьпое положение секущей ЛХР Х(хч>тх1-Х(х1 при ХЛх — э О. Из рис. 5.1 яспо, М что угловой коэффипиепт се- >у кущей МР (т. е. тапгепс угла йх паклопа этой с>>кущей к осп >Ро Ох) равен разпостному отпо- в а >р(лх1 х хе хь х шенин> (5.5). Пз этого факта и из того.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
