Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 30
Текст из файла (страница 30)
то последовательность 1а77). гд11 ав = о 1ой7О х77. 128 ПОПЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е1'ЫБНООТЬ гл. 1 вш1х' + х ') = вш х' сов хи + сов х' вш х", сов (х' + хи) = сов х' сов хи — вш х' вш х", взп х+ сов Гг = 1. ') (4 г)) 1 Остальные тригонометрические фупкпии р = 78 х, р = с(8 х, и = эес т и у = совсс х опрезсляются через указаиш(е: вшх (овх 1 1 (хх =, с(кх =, вест. =, совосх = совх' ЬШ.( ' СОЬХ вшх Подчеркнем. что опроделепис фупкпий эш х и сов х с помощью иаглядпых гсомотричоских соображений пе является логически бозупрсчпым, иоо при этом возможпость определить эти фупкпии лля всох всществениых звачепий аргумента х своди)ся к возможности установления взаимпо одно:шачпого соответствия между всеми точками единичной окружности и в(смп вещественными чи(=(ами из сегмента )О.
2я). схолитсн к 11. = Г) )ои„гг, ПРичем Вс(1 эл(зпзнты пи отли(ны От и 1В самОм дР:и', поско;1ьк!' при и ) 1 лоза)1)и(1)х(ич(!свая (1)унк- ЦИЯ ВОЗРаетаст. тО СПРаВЕДЛИВО НЕРаиснетВО 7(в ( и). В СИЛУ непрерывности поквпательной функцзт последовательность 1(1,"„~ сходится к Г!'. Иными словами. последовательность 1(з представляющая собой по(шедовательность !х)) значений ст(- !Инной (1)ункции, соотв(!Тстйу(ошу!О по(п1(доваг(льнОсти 1х))).
сходится к ао ""' х, т. е. к х". Непрерывность (тепепной функпии в точке х ) О слева доказана. Аналогично доказываепя непрерывность этой функции в то (ке х ) О справа. 11о непрерывность функпии В то 1к(1 х ('.:!Рва и сщ)аВа означа(т. что (1)ункция н('щ)Р- рывна В азой точке. Отме)им, ч(о (з( зи Г( ) О.
То ст(пенная функция 71 = х" непрерывна также и в точке х = О. 3 а и ( .1 а н и (. Отметим, зто Р()зи показат(.ль О ст()п(зшюй (1)ункпии щ)едставля(зт гобои рапиона.зьно(. чи( ло тг)Г(гз, зле о нечетное целое число, го степенную функцию у = хо можно определить па всей числовой оси, полагая для х < О у = ф", если о — 711)п и )п, . четное, 7/ = — /:11/, ('.(З!И ГУ = 71111( И )П НЕЧЕТНОР. На рисунках 4.17 4.20 изображены графики степенной функции 71 = х" для разли зных значений сс 6. Тригонометрические функции.
В курсе элементарной мат('матики с помощью наглядных геоузетрич('ских соображений были введены тригонохютрические функции й = в!их и р = = совх '). Перечислим н(которьп" важньн. для дальнейшего свойства тригоном( трических функций 1'. При любых в(шественпых х',:ки и:г справедливы следующие соотношения: нгостнйшии нлнмннтлгнын м пинии 129 2с ьшО = О.
сов О = 1 14.0) вш — =- 1, сов — .— -- О. 2 ' 2 3'. Е(гли 0 <:г < —, то 2' 14.7) 0<вшх<х. Указанны('. Свой(став усттлн((Вли(лаются НОсредсте(Ом Г(лом("трических рассужд(ний. Мы не будем давать здесь известные из курса эл(м(нтарнОй ма"гсматики Г(.0- метрические выводы свойств 1' и 2'. Оста- и новям(я лишь на геоллетри"«хколл выводе М неравенств 14.7).
Кроме неравенства (4.?), х мы установим неравенство х < 1вх 1при О<:л:< — ). 2 О лч" А Рассмотрим окружность радиуса 1 с Пщ(т1(ом е то.лке О и то лку А на этой окружности 1рл(с. 4.21). От точки А против часовой стрелки буд('м отсчитывать дуги окружности. Пусть М вЂ” точка Рвс. 4.21 окружности, находящаяся в первой чет- в верти, и х — длина дути АЛХ, 0 < х < — ' 1х — радиапная ме- 2 ра угла АОЛХ), л( основание перпендикуляра, опущенного и! ЛХ па ОА, В -- точка пер(с( «ния перпендикуляра к ОА, восстановленного из точки А, с продолжением отрезка ОЛХ.
Тогда ЛХЛ(( = вшх, Ол(( = сова, АВ = 111 т. Так как треугольник ОМА сол(((1эжится в (.екто1л(." ОЛХА, кото1льп! в свою о «'.?лель сод((1лжится в треугольнике ОВА, и плон(ади пере ш(тленных ()и(гур соот- 1 . х 1 ветствснно равны — вш(лл — ' и — 1а х, то пмщог ь«сто неравенства 2 "2 2 ь в!!эх <х< Фйх, 0 < я < —. При указанных значениях х вшх) О. 2 Таким образом, справедливость неравенств 0 < вшх < х < 1ях 1прл! 0 < х < -) установлена.
2 Свойства 1", 2', 3' могут быть положены в основу определения функций вшх и совх. Можно доказать, что су(оествует,. и притом единсп(венная, п(лра функций... определенных для всег, вещественных лналлен(лл(л' аргуллента, нерву«! (лл которых ллы обознач(лм через вшх, а вторую через (овх. удовлетворяющих (п?лебован(лям 1', 2', 3'. Показательство этого утверждения приведено в дополнении к этой главе. В В.я. Ильип, ГСГ. Позвак. часть 1 1ЗО ПОЦЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е!'ЫВНООТЬ Гл.
! Подчеркнем, что из свойств 1'. 2и и 3' функций вшх и сов х можно выв<сти все и»вестны<" из элеуюнтарного курса свойства тригонометрич<лских функпий ' ) . Докажем непрерывносгпь трш онометрнческих функций в каждой то <ке области их:<алания. Уста!!овну! Она «ша неп)ирывцость фупкпии у = вшх в точк< т: = О. Пусть 1хи) . прои»во;1ьная сходящаяся к то'<к<', 7! = О справа последоват<'льно<ггъ :<начений аргумента х.
Из неравенств (1.7) имеем О < вшхв < < хв. Ото<ода, в силУ т<оРемь! 3.14, вытекает. что последовательность 1вшсгп) имеет ПРедел, Равный нУлю. Таким обРазом. 1ш! в)их = вшО = О. Так как при ( —.т<<2) < х < О справедливы х.со<О неравенства х < ьйпх < О"!. то рассуждая аналогично., получим !пп в!пх = вшО. Мы устаноги.ти, что в точке х = О функция о — о у = вшх непрерывна справа и <лева„т. е. является непрерывной в указанной точке.
Для доказательства непрерывности функции у = в!пх в .тюбой то <ке х б«конечной прямой восполь<у<ук;я и и и ° с х -<- х' . х — х' формулой в!!тх — вшх = 2сов' ' вш' . которая может 2 2 быть получена из формул (4.5). Пусть (х„) произвольная сходящаяся к х последовательность значений аргумента. Полагая в последней формуле х =;гп и х = х, получим 1ш! (вгахп — вшх) = 2 1пп <'ов" ' вш ' ' = О. ссю в ссо 2 2 Справедливость этого заключения вытекает из того, что последовательность )сов ™ + ~~ ограниченная ), а последователь- 2 х„— х) ность (в<п ' " " ~, в силу дока<явного в<,нне, оесконечно мат!ая. 2 Непрерывность усунн<(оп, у = <ов<с устанавливается с помощью аналоги шых рассужлоннй и ! формулы и,, ! . хи Л-т( .
х" —;гУ совх — совх = — 2в)н", " вш 2 2 Неву!<<рь<вносп!ь осп<плы<ых, трпвонометр<гчеснпх функ<1<<<!. ((й х, с(й х, вес х. <овес:г) в каждой точке области их <адания следует из теоремы 4.2. ) Например. ревев<тиса Мп( — х) = — 8<п т,, сои( — х) = соа т. ) Ити неравенства получаются из перавепств (4.7) путем замены х па — г и учета формулы ата( —,г) — — — а!<с х. а) Из третьей формулы (4.6) следует, что ~ сов х~ < 1 и ~ ып и( < 1.
Отсюда х„-~-х! очевилпа ограпичеипость последовательности (с'оа 2 132 НОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕН1'Е1'ЫВНОСТЬ Гл. л Об.)асгь задания каждоЙ тригонометрическОЙ (])ункцни разделяется на участки монотонности этой функции'). Функция и р = в1пх) возрастает на каждом сегменте [2!сл — —,2кл+ — '] ) 2' 2] и убывает на каждом сегмент» '[121+ 1)л — —,121+ 1)л + — ].
2 21 Функция у = сов х возрастает па каждом сегуи нте [12й — 1) я, 2йя] и убывает на каждом с(гсм("пте [2/сл,12к + 1))г]. Функция р = = 1," х веерастает на каждом интервале к)г — —, кл + — . Функция у = с!о х убывает на каждом интервале ![1) — 1)л, 1(л). Для функций у =- вес х и () = совес т читатель без труда установит области возрастания и убывания.
На рисунках 4.22 4.27 изображены графики тригонометрических функций. 7. Обратные тригонометрические функции. Функция р = агсейпх онреде)гнется (щедующим образом. Рассмогриы на сегменте [ — л((2. л,(2] функцию () = вщх. В предыдущем пункте мы Отметили, что на этом сегменте (])ункция Р = 81п:1' воз!ми:тает. н( прерывна и иь(еет в качестве множества значений песьи)н) [ — 1, 1].
В силу следствия из леммы 1 для функции р =- вшх на с(тменте [ — 1,1] существует непрерывная возрастающая обрат- у=агсвш х у=агссов х Рис. 4,29 Рис. 4.28 1) ) Моцотоппость функции Мп т, и сов х па соответствующих сегментах легко устанОвить из формул х -~-т .
х — х л гбпт. — мп,г = 2 сов в(в 2 2 и и ~ . ту -(-,г' . т — х' сов.ту — сов х = — 2ьш ьш 2 2 ") Здесь под )( мм попимасм любое целое число. с в пгкдкльнык знлчкння ннкотогых и нкпий 133 ная с))ункция. Эту <[)ункцию мы будс и обозна !ать т = ан:впеу, сМеняя для этой функции обозначение аргумс нта у на х и обозначение т.
для функции на у, мы получим функцшо у =- асса)пх. ЕЕа рис. 4.28 и:сображен график этой функции. Совершенно аналогично ог!редетяется функция у = агссов х. Об, са<:тыо ес задания с тужит сс)гмс)нт [ — 1, 11. а ме|о-кеством значений с<юмент [О, к). Указанная функция убывает и непрерывна на сегменте [ — 1, Ц. На рис. 4.29 изображен график функции у = = агссоа:г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
