Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если, функцтгя «(х) непрсрывпа в !ночке а а алсва 11, ст)1я)ва, 'пто внв, нет)1)срт(виа в ек(ио(1, и!Очке. В самом деле. в силу замечания п. 1 8 2 этой главы в этом случае суще( тв)РО предельное знач( ниР функции В точк(1 а, равнОР частно11 у значению этОЙ функ!и!и В т'ОчкР в. Рас(су(отриь! приз!еры.
1 . СтРНРпна51 функцня «(11') = х с цРлочислРиным НОложите,зьных! Ноказател( и 11 и('пр( рыв!(а В ка)кдоЙ то !ке б('скоп("щоЙ прямой. Д(й(5гвптсльпо, в и. 2 8' 2 мы дои),)али. что пр(дгльпос 'п1ачениР э'1'Ой функции В л!Обой тОчке'. ОРскО1п'чной 10)ямой равно 1а(тному значен)НО а"'. 2'. Так как многочлены и несократимые алгебраические дроби имеют в каждой точке области задания предельн(ит значение, равное частному значению (см. и, 2 8 2). то они являются непрерывными функциями Точки, в которых функпия не обладает свойством непрерывности.
называются тпочказии разрьюа функции ). Нт!принтер. ') В 8 8 мы дадим классификацию точек разрыва. 112 понятии функции. Нн)н нгынцооть ГЛ. 1 с[)ункция )'(гх) = вкпгх имеет ра)рыв в точке х =- О (в и. 1 ~ 2 мы доказали, )то правое' и лс вас прс-'дельные знак'ния этой функции в то !ке х =- О существуют, но не равны друг другу, и ги)этс)- му пе существует преде.льное зна)ение функции в этой точке).
Функция Дирихле разрывна в каждой точке бесконс чной прямой. поскольку она нс имеет предельного значения ни в од«ой точке этой прямой (см. п. 1 ~ 2). Мы будем говорить. что функция ['(ге) неву)с)рыа)га на м)саин)ееащсс (х), если Она нс)прерывна В каждои точкс' )э'!'Ого мнс)жества. Егли функция нс-'прерывна в каждой точке интервала, то говорят. что она непрерывна на интервале. Если функция непрерывна в каждой внутрс иней точке сегмента [а,, Ь[ и, кроме того, непрерывна справа в точке а, и слева в то !ке !), то говорят, что Она нс)прерывиа на сс.г),н)птс [а, г)). 2.
Арифметические операции над непрерывными функциями. Убедимся, что арифметические операпии над нсщ)срыв)п )х«1 с[)ункциями приводят к ис'прс)рывнь)м с[)ункцням. Докажем следующую оснатгую теорему. Теорема а.и. Пуггль аадансгые на, г)днам и 'том а)се мнс)агсетиае функции 1(х) й Ь (гг) 1)епрерьюны а а!очке и. Тогда, фунтцгли 1(х)+~(х), 1(х) — д(ге), )(х) ~(гг) о )юпрерыа>гы е тачке а д(х) ('светлое прил условии д (а) у= О).
Доказательство. Так как непрерывныевточкеи функции Г(т) и е(х) имеют в этой точке предельные значения 1(и) и е (а), то в силу теоремы 4.1 предельпьн значения функций 1(х)+й(х), 1(х) — й(х), )(гх) е(х) и ' существукп и равны Т(х) с оотвс"тственно ) (11) + Д (и), 1 (г)) — е'(а). ) (О) . Д'(г)), . Но эти Т(а) И(с)) величины как раз н равны частным значениям пере пнленных функций в точке а.
Теорема доказана. 3. Сложная функция и ее непрерывность. Функции. образованные в ре)улыате супер«о;)иц)ш (т.е. последовательного «рих«)пения) двух и„!и )и)скольких с[)1«кцнй, будс)хг нк)ыгать слаагснылги. До!тато ьпо О«1к)делить с:)ожнук) функци)о, Образ«ванну)о в 1н'зультатс' суперпо:)иции дгух с))1 нкций. Пусть функция:г, = сг)(!) задана на некотором мно)кеся не (1), и пусть (х) -. Кгножество значений этой функции.
Прс)дполо)ким дал!и. *)то па 1!ск)ан)сом множеств! (х) Определена другая с[)ункция у = ) (гх). Тогда ! ОВОрят, что на мнолсестве (1) задана сложная функция у = )(ге), где х = с))(с,), или ! а иекО!'О!'ые сВОйстВА мО1готО1и!ых Функции 113 Спр>!Ветс>п>ва с тедующая ОГ>>яии!я тео1)Р)га,. Теорема 4'.3. Егхаи фсункс!2>я, х = гр(!) непрерыв>!а и >почке г>„ и функция у = ! (х) иепрсрывсса в соогпветствунлцей, пн>чке у = = ср(в), гии слоаю>шя функция у = /[у)(!)] = Г(!) пепргрьюг!и и точке а. Д О К а 3 Й Т С Л Ь С' Т В О ПУСТЬ (!и) ''' П1)ОИЗВОЛЬНЙЯ ПОС'ЛСДО ватсльность значений аргумента сложной функции, сходя!паяся к а. Так кйк с])ункцня х = у)(!) Непрерь!Внй в то>ке а, ТО (В силу определения 1" из и.
1) соо.светгтвующая пос;ндовательность:!начепий этой функции х„= у)(! ) сходитс:я к частному значению этой функции в точке аи т. е. к числу б =,р(а). Далее, поскольку функция у = 7(х) непрерь!вна в точке )> = гр(а) и для НРС! УКК>ЙННЙЯ ПОСЬП>ДОВЙТЕЛЬНОС*ТЬ (Хн), СХОДЯЩЙЯСЯ К б = СР(Г>.). являепя последовательностью значений аргумента, то (в силу ТОГО жс Опрсделсния !" из и. 1) соотВс"Гс:тВбю!Пйя поглРдова- ТСЛ! Нс)СТЬ ЗНЙЧС!НИП ФУНКЦИИ > (Хн) = > [У>(!г>)] = Г (!») СХОДИГГЯ к числу 7((>) = ) [ср(г>)) = Г(г!) Итак. мы получаем. что для л>обой последовательности (!>>) значений аргухн нта сложной функции„сходящейся к а, гоответств;ющая пос.н.довательность знап)ний самой сх>ожной функции ( > [гр(Х» )] ) — ( Р (!7> ) ) с ходи ! с я к числ» [ср(а)] Е(г>) являклцемуся частным значсннехс сложной функции в точ- КР а.
В силу того >ке Опрс.гзглсния 1" из и. 1 это Означсх г. что сложная функция ! [Ср(!)] = Р'(1) непрерывна в точке а,. Теорема доказана. ~ 4. Некоторые свойства монотонных функции 1. Определение и примеры монотонных функций. Определение. функция у = Г" (гг) >сагыг>ается н с у 6 ы в глющей (невограстаю щей) на мноаюес>иве (х), ессии для лн>быг х! и хя иг эп!С>- го м>>оиюества. удоалггп!ворян>щпх условии> х! <:>я, справедли!>о нерюенство У(х ) < У(хя) 'ах ) > У(х )) Нс> ~ б>.>вак>щис> и ис)возрастающ>н" функции обьсднняются обп!им наимено- ВЮ1ИР)1 МОНО>ИО>исн!Е фУ>>К>Г>ис>,. Если для лк)бых х ! и;га из мпожес:тва (ГГ), УДОВЛЕ!ВОРЯЮП!ПХ 1СЛОВИЮ Х! < >1!ь с;праВС)длиВО нс)раВС'.нгтвО > (гг>1) < > (ха) (7 (сг>) ) ! (хя)), то функция у: г (гг>) нйзываетгя вограстан>щей сгубываюсцей) на хщо>ксгс>тве (х).
Возр>!с тй>оп!Ис и убывающие с[>ункпии называютгя также стро- Рвс. 4.7 го могсвпюнньгми. ГЛ. ! ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'ЕЕ'ЫВНОСТЬ Приведем примеры монотонных функций. 1. Функция ('(х) = х + абпх возрастает на всей шсловой прямой (рис. 4.7). 2. Функция 1'(х) = внпх является пеуоываннцей на всей числоьой прямой (см. рис. 4А).
2. Понятие обратной функции. Монотонные функции, имеющие обратную. В этом пункте формулируется поцгепле обрати!)й функции и устанавлнван)тся условия существования обратной функции для монотонной функции. Пусть фуглкц)ля, у = 1(х) задана на еегменнле [а, Ь]. и пусть многасестоом значений этой функции является сегллент, [о, р].
Пус)пьэ далее, каэгсдг)му у лы сегментгл [о.л)] еоотое)псплаует, только пдно значян)н) х из сегмента [а„Ь], для кптпорогп ('(гс) =. = у. Тигдгл на сегменте. [о, й] ллоэюно определит,ь функцию х = = ( ' (у), стаоя о спптаетстоие кагнсдому у из [о,13] то зна; чение х ллз [а,.Ь], для кота!юга З"(х) = у. Функция х = З" '(у) назеааается о бр а т, н п й для фуикцгга у = 1(х). В указанном определении оместа еегментоа [а..Ь] и [о,г)] можно было бы рассматривать интервалы (гл, Ь) лл (о, )З). Можно также допускать, что один или оба интервала (а,. Ь) н (о, )3) превращан)тся в бесконечпун) прямую или в открытун) полупрямун). Отметим, что если х = 1 (у) обратная функция для у = = ('(гн), ТО.
о лев!)дно, г[)ункция у = ('(г)) является обратной для функции х = 1 '(у). Поэтому функции у = ('(х) и х = (' '(у) называя)т также азии,мно обратными. Взаимно обратные функции обладая)т следуннцимн очевидными свойствамп: .И '(у)) = у: 1 ' У(х)) = 1'ассмотрим примеры взаимно обратных функций. 1'. Пусть на сгтмснте [О, 1] задана г[)ункция 1"(х) = Зх. Мно)кеством значений этой функции будет сгтмент [О, 3].
Функция (у) = — у. определенная на сегменте [О. 3]., является обратной 1 3 ' для заданной функции 1(х) = Зх. 2". Раг:смотрим на се)менте [0,1] функция), определенную следующим образом: ~х, есаи х †. рациональное число, у = ((х) = (1 — х. если х иррациональное число. Функция х = 1" ' (у), заданная на сегменте [О, 1] н определенная равенствами рациональное пило, иррациона.!ьног) чис.)о, ]1 — у, если у ! И НЕКОТО1'ЫЕ СВОЙСТВА МО1НЗТОННЫХ срУНКЦНИ 115 будет обратной к данной. В этом нетрудгю убедиться непосредственной проверкой. 3 а м е ч а н и е 1. Пусть на сегменте [а,б] задана строго монотонная функция у = 1(х)., и пусть множеством значений этой с]11 нкцпи яелясзтс:я сегмент [сс, )з].
Тсзг,!а, в силу ст1зсзгой монотонности фУнкЦип У = 1(х), каждоалУ У из [сгз Я соответствУет тгллько одно значение х пз [о,. 6]. для которого 1'(х~ = у, и поэто- мУ на сегменте [о. гг)] сУществУет фУнкппЯ х = 1' (У), обРатнаЯ для функции у = 1(х). Более того. ес;!и фупкпия у = 1(х) является возрастакицей на се~менте [а, 6). то функция х = 1 ! (у) также является возрастанзщей на сегменте [сг, Я, если же у = = 1'(х) — фУнкциЯ, Убывакипаа на [аз 6), то х = )' '(У) ЯвлЯется убывакнцей на сегменте [гг)з сг). Убедимся. пап!!имер, что ег зи у = ) (х) — возрастаницая функция. то и х = 1 (у) также возрастающая функция. Действительно, ессп у! < уя, то и т:! < хг (х! = 1' '(у!) и ггг = 1' '(уй)), ибо пз неравенства х! > хл и из возрастания функции у = 1(гг) сшедовалсз бы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
