Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4 В.Л. Ильин, ть11 Позняк. часть 1 где и > О, а х г — любое положительное число, равен,'а. В качестве приближенного значения у«и мы можем взять любой элемент «г„«г этой последовательности. При этом, естошвенно, нужно выяснить вопрос о выборе ии ча л итераций '), обеспечивающих приближение х«а с зачанной погрешностью.
Обратимся к последовательно«пи 1х„), определяемой реккурентной формулой 13.10). Будем называгь элемент х„этой погледовательности и-и г«р«гб«лиоюг«««ием пи;ла, - = х«ш Величину Е РЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГП. 3 решен вопрос о выборе числа и н~ ерапий, обе< печнвающнх приближение к ,/и с заданной оз носительной погрешностью е: эгао чиюк п,лшлсст быгпь наш)шзо из феХьм11лъ~ ) 10,05) < =.
13.15) Итак, пусть а ) 1. Пре,тставим число а в следующей форме: а = 2 +'ЛХ. Р 16) где Л вЂ” целое неотрицательное число. число 1 равно либо нулю, либо единице, а число ЛХ удовлетворяет условиям 1<ЛХ<2. 13.17) Отметим, что представление числа о в форме 13.16) единственно. Выберем я~ следу~ощим образом: , 71,, 175 я~ = 2 1 — *2'ЛХ -Š— ~. )3 247 13.18) 1, 17 3 24 — 2' ЛХ + — — ъ/2* Ы х/22' ЛХ Р.19) Поскольку чинчо 1 равно либо нулю> либо едпнипе, а ЛХ ) 1, то Л Ы ) 1. Отсюда и нз 13.19) вытекает неравенство ~с~( ( ~ — 2'ЛХ -'; — — х/2ЛХ . 1, 17 3 24 13.20) Обозначим х/2ЛХ через Х.
Поскольку 1 < ЛХ < 2 и з, 'равно либо нулю, либо единице, то все допустимые значения Х наверняка находятся нв сегменте ~1, 2). 13.21) 1 < Лр ( 2. Используя введенное обозначение зб для ъ/2'ЛХ, перепишем неравен- сзво 13.20) в пчедующей форме: ~1 з 17 ~е,~ < ~-Хз-Х+ — ' 13 24 13. 22) В с илу 13.22) максимальное значение ( ~ ~ не превышает максимвльно- 1 з 17 го значения — Х вЂ” Х -~- — ~ Зечя значений Х, удовлетворяющих условиям 3 24 ) Справедливость этой формулы непосредственно вытекает из соотношений 13.12). Убедимся. что длл любава ЛХ, удовлетворяклцего ус човиям 13.17).
первое приближение яы вычисляемое по формуле (3.18), дает относительнук> ошибку с~ при вычислении - = э/ге превышающую по абсолютной величине числа О, 05. Для доказательства обратимся к точному выраженнго относнте,чьной хч ошибки сз = . Так как, соглас но 13.16), т = 2 'м 2* Ы, то из выражения для ~ и формулы (3.18) получим 99 ДОПОЛНРН118 2 (3.21).
Для выяснения вопрога об этом максимальном значении обратимся 1 е 17 к графику функпни 1(Х) = — Хе — Х Ч- —. Из курса элеменеарной мате- 3 24 матики известно, что графиком этой функпии является парабола, вершине 3,, 1 которой отвечает гочка Х = — (рвс. 3.4) '). Так как зч1) = Д12) 2 24 г3т 1 а 1~ †, ) = — †, то ясно, по для значений Ы 24: Х, удовлетворяющих учвювиям (3.21), зна- 1 1 чения 1(Х) заключены между — — н —. 24 24 Иньпш слога:~и ~У(к)~ = -Х'-Х+ —.'( < —. 3 24 24 Из последнего неравенства и неравенства (3.22) вытекает интересующее нас неравенство для е~ 1 )е~! < — < 0,05.
24 Рис. 3.4 3 а м е ч а н и е. Отметим, юто если заданная относительная погрешность е равна 10 ш, то для вычисления с таков то шостью квадратного корня из любого числа а > 1 после выбора к~ по формуле (3.18) потребуется всего — ~о лиш~ гврп итгирвйии 1п = 3), поскольку (0,03) < 10 ' ') На рис. 3.4 масштаб по оси Ор в 20 раз болыпе масштаба по осн Ов. ПОНЯТИЕ ФЪ'НКЦИИ.
ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАтХЕНИЕ Ф а<НКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Эту гг<ггву мы наин<.м с у го <ненни важнейшего <ягнят<<я мате— матического анализа — понятия функции. Опираясь на понятие предела числовой последователыюстп, мы введем новую форму операции предельного перехода. осн<гваннук> на понятии предельного значения (п:ш предела) функцигп В этой главе вводится такгке важно<, математическое понятие непрерывности функции. Значит<отвис<< а<осто в глав<.
отводится выясн<.никг свойства непрерывности и других свойств простейших элементарных фуггкц<гйг. Вопрос о приближенном вычислении значений элементарных функций рас< матрпвается в Дополнении к гл. 8. 1. Понятие функции 1. Переменная величина и функция. В гл. 1 мы уже отметили, что со всяким реальным физическим процессом связаны по меньшей мере две переменные вели <глг<ы, иза<енение которых взаимообусловлено. Рассматривая реальные фнзиче<'кис перем<.нные величины. мы приходим к выв<гду, что эти величины ве всегда могут принимать произвольные значения. "1ак, температура тела не может быль а<еньше — 273'С, < к<гр<гс<ь агагеринльной ишки не может быть больше 3 10ю см,'с (т.
е. скорости света в пустоте). смещение у материальной точки, совершакнцей гармонические колебания по закону р = А аш(ог1+ <<), может изменяться лишь в пределах с<гсмента [ — А, +А). В мат<'.митико О'гвлекантиэ! о'г к<<икр<у<'нь<х физических свойств наблюдаемых в природе переменных вели пш и ра<- сматривакп абсграктнунг ш.ремсннукг вели шну '), характеризу) уместно отметит<, гго понятие величины относится к числу нача,гьных иаоематических понятий (си. оно< ау ) на с. 20).
е< понятии еьнкции емуео т((лько численными зна Еениями, которые онй мо>к(се при- НИМНТЬ. Множество (х) всех значений, которые может принимать дйешая переменная величина, называется областьн> изменения этой переменной величины. Переменная вели шна считается заданной, если задана область ее изменения. В дйльнейппсм мы,кйк Рис. 4.1 Рис. 4.2 правило, будем обозначать переменные величины строчными латннскиъ(и буквами х, у, а, ..., а области изменения этих перех1енных симВОла п1 (х1., (д), (и), Пйсть зй;Ейнй п(ер((м(1(шйя Вели шнй х. Ихп(кь Ецая облас тьк> нзая нонна некоторое множество (х1. Если каза:дому значенин> перемена(ой,'с из 4! мноо>сесп(оа (х) (>пн(оипгся о ооон(Ветс(попе по пзоесп(ному закону нек(т(орое.
число у, то еооорят, что на мноокестое (х) задано, («>унк(Сия у = = у(х) . Еи = «(:). Прн этом переменная х называется а р г ух1 (1 и т О м, а мнОЖ(стВО (з:( - О О л а с т ь ю з а д й н и я функции у = 1(х). (Пп>чо у, кото1>ое гоств((тств((>г дйп»ему:1нйченик> йргухн(нтй х, называет('я ч а с т н ы м ,"1 е1 й ч е н и е( м ф у п к ц и и В тО'1к(1 х. СОВОкупность всех чйстнь(х значений функции образует вполне определенное множество (д). Называемое 3 множеством всех значений функции. 2 В Ооозе1й'ше1ии (д .= > (3:) б1 кВй «нйзыВВ(.тся характеристикой функции.
Для обозначения О 12 3 4 х аргумента, функции н ее характеристики могут употребляться различные буквы. Рис. 4.3 Приведем примеры функций: 1'. у =- х . Этее ф(пипия зйдш(й на б((скоп(1 шой прямой ,2 —.>с < х < +Ос. Множество всех значений этой функции полупрямая О < д < +Оо (рис. 4.1). 102 ПОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'ЕРЫВПОСТЬ ГЛ.
Л 2 '. у = У71 — 77:'л. Функция задана на сегменте — 1 < х < +1. Множество всссх значений функции — сегмент 0 < у < 1 (рис. 4.2). 3'. у =- н!. Эта функция задана на множестве натуральных чисел и = 1,2,... Множество всех значений этой функции —. множество натуральных чисел вида 717 (рис. 4.3), 4'. Функцигс Дирихле ') О, если х -. иррациональное чис.чо, у = 1, если х - рациональное чгн ло.
Эта функция задана па оескоссечной пряхигй — хг < х < +ос, и хгножссство ж»;х с;71 зиа 1ссний состоит из двух го.7ек 0 и 1. 5О +1, сх'1и х ) О, у=аппх= О, если х=О, — 1„если х < О. (Терагин вип происходит от латинского слова в!ин77777 . знак.) Эта функция задана на всей бесконечной прямой — ОО < х < +Ос, а множес:тво всех ее значений состоит из трех то пск: — 1, 0 и +1 (рис, 4.4). 6'.
у = <х). где [х) обозначает целую часть вещественного числа х. Читается: «у равно витье ха (от французского слова епбег . целый). Эта функция задана для всех вещественных значений х, а множество всех ее значений состоит нз целых чисел (рис. 4.5). 2. О способах задания функции. В этом пункте мы остановимся на некоторых спосос7ах задания функции. Часто закон, устанавливакпцпй связь хссггкду аргументом и функцией, задает— — — ся с помощью формул.
Та- КОй с:ПОСОО задания функции 7771зьгвас7тся сгнел777асилс- Ег.,е .' „,р Фм «и« » »е;еляться разными формулами на разных участках области с:воего задания. Нсгп)г!7хсс;)г, ф) нкдин вгнг при х<0, у = х при х)0 ') Петер Гуетан „"Лежс7н-Диритле — немеикий математик (18!18 1859). ПОНЯТИЕ ПГЕДЕЛЫ1ОГО ЗНАЧЕНИ51 ФУНКЦИИ 1ОЗ задВнВ Внйлитических1 спосОООы нВ 1)сей ОесконечнОЙ прямОЙ (рнс. 4.6) ДОИОльнО !)Йспрост!)Йненпым спОсоооы задания фупкц1П1 является 771716личиый, способ, заключакппзппя в задании таблицы отдельных значений аргумента н соответствукп)щх нм:значений функции. При этом мож- у но приблн>кенно вычишппь нс содержащиеся в тйб>шце значения функции, со- р=а!и х у=а' ответствунпцие промежуточным значениям аргумента.
Для нспсшьззд)тся способ )штерн оляцп)1, заключа)ощнйся в замене функции между Рис. 4.б 1)Е ТВОЛИЧНЫМП ЗНВ П;)ШЯМИ какои-либо простой функцией (например, линейной или квадратичной). Примером табли )ноп) задания функции аюжет 1щужить расписание движения пое:зда. Распнсшше определяет местоположение поезда в отдельные моменты времени. Интерполяция позво.шет приближенно опреде:шть местополо>кение поезда в любой прохнзжуточньш момент в!)емени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
