Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Оть«!тим. (то в отдельных <:1)чаях и пз п((ог)?аниченной НО(следов??тетьнОст(1 такж(1 МО?кно Выделить сходни(уюся подпоследовательность. Например. пос.«н(овательность 1, 1(<2, 2, 1(3< ..., н, 1(<[11, + 1)< ... Не(?г)?<н(и «!иная, Однако подпосл11— довнтельность 1((2, 1((3,.... 1((г(.... ее элементов с четными номерами сходится.
Но не из каждой неограниченной последовательности можно Выде„,!Нть сходящ! юся подво("1едОВаг(<льнос1ь. Например, любая подпоследовнтельность неограниченной последовательности 1, 2, ..., и, ... расходится. Поэтому (ео)?ему Боги ц<июсВейергнтрассаз вообще говоря, нельзя распро«гранить на неограниченные по<шедовательности.
Аналогом этой теоремы для неограниченных последовательностей является следующее предложение. Лемма 2. Из каждой неограниченной последовательности можно выдслипгь бесконечна боль<дую пвдпвслсдвоатслш<всть. П о к а з а г е л ь с т в о. Пусть )ал,) неограниченная последовательность. Тогда найдется элемент хь< этой последовательности, удовлетвоРЯюший ?тловию (х!.< ~ > 1, элемент х!г этой последовательности, Удовлетворшощий условиям [х<.,[ > 2, 1 > а<, ....
элемент:г<„этой г<о<шедовагельносзи, удовлетворяющий условиям [<гь„! > и, к > й„! и т. д. Очевидно, подпоследовательность х<, . г<,, х!.„,... является бесконечно большой. Из леммы 4 и из теоремы Больпано Вейерштрасса выл екает следующее утверждение.
Лемма б. Из совари<сина произвольной пвгледвватсльнвшпт можно выделип<ь либо ссвдяшуюся, либо бвхквигчнв большую пвдпвследввательвость. 3 а м е ч а н и е 3. Результаты настоящего пункта позволяют несколько ра<'ширлть понятие предельной точки и верхнего и нижнего пределов последовательности. Будем говорить, что +ж1 — х) является пре <с?гьной точкой по<шедовательносги 1х, ). если из этой последовательности можно выделить бесконечно большую полгкх.<едовательносгь, состоящую из положительных 1отрнпательных) элементов. При таком расширении поня<на предельной точки у последовательности, кроме конечных предельных точек, могут существовать еше две предельные точки -1-ос и — ж.
В таком случае лемма 5 поэволяет утверждать. что у соверш< ннв произвольной пвслвдвватвзьнвсгви су<цествует;со<он бы одна предельная точка ). ) Либо конечная,лиоо бесконечная. 1 л ОВОЙОУВА!11'ОиЗВОлызых ВООлеДОВАтельностей 87 Естественно считая, что +)о и — Оо связаны с любым конечнь!м вещественным чип)ом зг соотношением — оо < х < +ощ убедимся в том, по й совари)енно произвольной аоследовапшльности ср)дас)лвйюп! верхний и пилений пределы [т. е. существую г наиболыпая и наименыпая прадолышя точки). Ра,чи определенности, установим существование верхнего предела. В силу замечания 1 к теореме 3.16 достаточыо расюмотреть только случай, кпг))а последовательность 1хь) ы е Я в л Я е т с Я о г Р а н и ч е ни о й.
Е!.зи при этом [х„) не является ограниченнои сверху. то из нее можно выделить оесконечно большую последовательность, все элементы которой положительны. и пошому ч-оо яизяется предельной точкой, а. с!ало быть, я верхним пре,.!слом [гь). Рассмотрим случай, когда нРограниченная последовательность )х„) является ограниченной сверху.т. Р.
когда сущРствует вещесгвенноР число ЛХ такое, что вге элементы х„ удовлетворшот условию ))„ < ЛХ. Поскольку ПОСЛРДОВатЕЛЬВОСтЬ [Хь) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОГРаНИЧЕННОЙ СНИЗУ, НЗ НЕЕ МпжпО выделить оесконечно большую по!ьпдовательность. все элеменгы которои отрипательыы, а это означает, что — оо является предел! ной точкой рассма- )риваемоЙ пощ)едовазельности.
Ею!и при э)ом последовательность не имеет нн ошюп коне*ной предел— ыоЙ го )ки, то — оо являегсв РдинсгвеннОЙ прР,!ОльнОЙ точкой, а поэтому является и верхним пределом рассматриваемой последовательности. Дока)кем, что если по!.)едовательностгь кроме — гю,имеет еще хотя бы одну конечнУю пРеДельнУю точкУ хо. то и в этом слУчае У нее сУЩРствУет веРхний предел. Так как вге элементы х„удовлетворяют условию х„< ЛХ.
то в силу ТРОРРмь! 3.13 и хо )ДОЯ!РтвОРЯРТ УслОвию хо < ЛХ. )Риьтий)ем Щ)онзвольное г л О. Так как в -окрестности х'о лежи г бесконечно много элементов последовательности 1х„), то и на гегменте [хэ — г. ЛХ1 лежит бесконечно много этих элементов. Выделим из последовательности [х „) подпоследовательность тех ее элементов. которые лежат на сегменте [хв — в,.11~. Выделенная подпоследовательыосгь является ограни !виной. Поэтому в силу замечания 1 к теореме 3.16 у нее существует верхний предел.
т. е. наибольшая предельная точка У. Очевидно. что У ) хо и является пре)и льной точкой и вшзй последовательности 1х„). Очевидно также, что последовательность 1х„) не имеет пределы!ых точек. превосходящих г, ибо если бы некоторое число х.превосходящее У,яв.шлось предельной точкой последовательности 1х„), то поскольку все элементы послетовазельности [х„),превосхо.зящие число хв — в ЯВЛЯкпся члРмвнтами н вылРЛРынОЙ нами пОдпогз!'ДОВательности, это чи!)ао х являлось бы пре)ельной точкой и выделенной нами подноси ,ювательностн, а эта подпоследовагРльность не имеет предельных точек, превосхо,зящих х.
Итак, число У является наибольшей предельной точкой рассматрива)- мой пос))едоваге))ь»о! тн. Существование у совер!пенно произвольной последовательности верхнего предела доказано. Аналогично доказывается сушествовашю нижнего предела. 5. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. При выяснении вопроса о сходимости посл!)ДоваТед11И)сТИ 1ша) прИ ИОЛ101ЦИ Оп))едех1!вн1Я схедИЫОСТИ наи п))ихо11ится од!)пинать ))а.знг)сть зузсзз!)итон х„этой посщедо- Гл. а пгкдкл послкдовлткльвости вательности и се пре)дполагаемого предела а.
Иными е: тонами, пртлход)ится предугадывать, чему равен предел о, этой последовательности. Естественно указать евнутреншшь критерий сходимости последовательности, позволяющий выяснить вопрос о ее сходимости .,тишь по всличинет ее элементов. Такой внутренний критерий и буде)с установле)н В настоятпеем пунктеь Для форьеулировки этого критерия введем потштие фундаментетльной последовательности. Определение. Последе)ве)тпетльног:тгеь (хп) наэьитаепи)я ф й нд а м е н шт а л ь н о й, если для,тн)боио полоэюптпгльноао е теетдетпсл, номеР тт)7 не«та)й, чпто длл гюех номсР«в нэ йдовлетпете)- рянт)пх белавин) и, ) Х) и для осех нетттеч)йнзльных чисел р (р = = 1, 2,...
) Егтераееедл,иво т )ниьенстгто ~Х)еэр Хее! ~ -. Ое:ИОВНОЙ задюп)й настоящего пункта являе)те)я дОкетзеттенеьство еледунпцего критерия сходимости последовательности (так называемого критерия Коши')); для того чтг)бы ттоследоеие; 7))ел)пег)етпт, были сходятее1ггя, необходимо и догппогшочтег), члиобье, она была фйеедамеишильт)й Прежде чем перейти к доказательству критерия Коши.
мы докажем несколько вспомогательных предложений, имеющих и саьюстоятельный интерес. Теорема а.тб. Для пт«го чшобы пг)сгтетдоееатгеетлт)иостг)ь (х„) бтиг) схе)дятетейе)я. необсодтлмо и деи:татпочио. чгшобы они было. г)е))атет) и.*«нот) и, «пабы, ее: етерхнтш и нтт«гете))71 711)адель) х и т совпадали. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и и о с т ь . Пусть пое.ле)довптеьльностт, (хп, Сход~~с~. Те)гда она «71)аьитче:на (В силу теоремы 3.8) и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 3 и.
2). Таким образом, х = х. 2) Достаточность. Следствие 2 из теоремы 3.16 УтВЕРЕКДаЕГ, Чта ДЛЯ ЛЮбОГО Е ) 0 ИитЕРВагт (Т, — Е, Х+ Е) СО- держит все элементы последовательности (хп), начиная с некоторого ноьюре). Так как х = и = х, то указанный инте)реал совпадае)т с е-Ок)х)е:тностью точки:с, т.
е. '1иег10 х яВ.1яе',тся !ц)е)деьт1е)ьт последовательности (хи) (см. замечание 1 п. 1 8 2). Ъте)тановиьт теперь важное свойство фундазюнтальной последовательности, непосредственно вьпеканпцее из ее определиния. Дгтя любава 71«аглаи)717аемтьн«его 'чтгеьгте) е,молитво т/титэшаь гав; кой элемтппп, ти фйндаментальтит теое;геетдоееатгетьеег)стгт, о е-г)кт)ггеттитеоетг)71 но)вороти) ттаходтиася ен:е.
эле.мелипы последов«; ') 0) юстон Луи Коши — фре)иттуэеткий иепеиьтии (1789 — 1857). 1 й ОВОЙО'ГВА пРОизВОльных ИООледОВйтельиООтей 89 т))ттльт(остт)7)п нанн!а)Я т) 7(ом(Ра ()т. От(ыл(и слоним!), тпн. 7(нпп!)- (алли (хк — с, хтс + е) нлхадптпся не более чем н()Вечное чллсло нлементон последонаптельноспи), ). В самом деле, из определения фундаментальной послсдоватсльносттл (ледует: для л!обого е > О можно указать такой номер Ж, что для всех натуральных р (р = 1) 2.3,...
) вьшолня(т(я н(равшптво /хат)р — ха-/ ( е. которо() и означтит, (то В е-окрестности элемента хк находятся все элементы по(шедователы(ости, начиная с номера ((7 Отхт(', п)нное СВойс!Во позВО,,1яет ус1аноВи!1 оц)янине!шос!ь фундаментальной по(шедовательностн, В самом деле, пусть е— пекоторос фиксированное ппаожителып)е число и х,.~, - эл(мент, В е-окр(естности которого находятся Вс('. элем()нты по(;н)доВН- тельности, начиная с номера ((т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
