Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следствие. Алггбргйтй"йес7кал сумма, любого котйечгного йиг:- .ли бескоттечио милых поггйг.дгйгтиттйгхгйьтйгйсгтг771 — бгйсконгчтйо .молил, иогйледгтвапхльтйос7пь. Теорема З.о. Бесконечно милан послсдовсппельность огра; ии теист,. .7)о к а хат ел ь с т в о. Пусть )гтн) бесконечно малая последовательность и с — нскоторос положительное число. Пусть. далее, 77' номер, начиная с которого )гт„,( < с. Обозна шм через А наиболыпсс из с;йсдукпцих Х чисел: с, )стт ), (гтг ),..., (гта Это можно записать так: А = шах)с,)гт1(,)гтг),...,1гтч 7)) ).
Очевидно, )гт„) < А длл лнтбого нгймггргй, и, что означает ограниченность последовательности. Тсорййма доказана. Теорема 3.4. Пргйтйгйведентйс Ограниченной тйгтстйедгйвгйтпелънгй- 7777171 нп бесконечно милунт тйоследовгйттйелйьногйттй ь прсдгтнивллетн соботУ бгйскоти. тно молукт пгтстптг)овоттн:льногтпть Д о к а з а г с л ь с т в о. ПУсть )ха) огРани йсннаЯ . а )гта) - бесконечно малая пос:лсдоватсльности.
Так как псклсдовательногть )х„) ограни тена, то суйцсствуст число А > О такое, что любой элемент ха удовлетворяет неравенству )ха! < А. Возьхтсхт произвольное тюложитсльнос число "-. Поскольку последовательность )гтгй) бесконечно малаЯ.
то длЯ положитсль- 1) здесь и в дальнейшейй символ а = шах)ай,ай,....гт„) означает, что число а равно максимальному из чисел ай. ай,..., о„. 3 В.й. Ильин, чейз По'тина. часть 7 пгкдкл поолкдовлткльнооти ГЛ. 3 ного числа с/А можно указать номер Х такой, что при и > Х выполняется неравенство (сг„,! < е/А. Тот,.са при и > Х ) сгя сс„) = = (ассу! (С!ус) < А: =- Е.
ПозтОМЧ 7ЮС'ЭСДОВатСЛЬНОС! Ь (!ГО Ссуу( бесконечно малая. Теорема доказана. Следстпнсге. 11росюснсдение л777бусугс! кане"!с!ого числа, бескане"у; но м уьууьсх псусгседосусут Вассу нсуссу!с!1 предс сиаялс неси собой беск с!печно малую паследааательноссшь 3 а м с ч а н и с. Частное двух бесконечно малых последовательностей может бысь последовательностью любого типа и даже может нс иметь смысла. Есстсй напримсру оя = 1/и. /1„= = 1/иу то гсс'. Элссмснсы послсдоватслысос.ти —," 1эавиы ссди- 1 УЗ 3 ! О„1 нице. Если о„= 1/пу ф„= 1/Уус. то последовательность у — ") бесконечно большая, и наоборот. сели ссус = 1/Ус'у а !177 = 1/иу Г с7„1 то последовательность с — "зг бссконс.шо малая.
Если бссконсчпо много элементов последовательности (1!„) равны нулю, то (сьу 1 частное ( —,' 7 нс имеет смысла. (в.1 Теорема 3.$. Если Все элементы бесконечна милой паследасанпгльносссис (сся1 рсланы, Одсшчу и иолу оюе числу с, сиа с = О. Д о к а з а т с л ь с т в о. Допустпхс, что с ф О, Положим е = = ~ с ~/2, е > О. Начиная с номера Ху соответствующего этому е, выполнЯетсЯ нсРавспство )сс„) < е.
Так как ссь = с„а с = ( е Д/2. то последнее неравенство можно переписать следующим образом: )с!) < (с,'/2, откуда 1 < 1/2. Получсшюс противоречие показывает, гго прсдполоассснис с ф О нс может иметь моста. Итак, с = О. Теорема доказана. В зак.почснис отметим прсдложснис., устанавливающее связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
Теорема О'.6. Если (хуу) . бесконечно бальиися, Усаследоеа; гиельнас уугчя Уиа, начиная с некоиюрого номера и, Определена па(гседаасусусегсьнасусссь ! 1/хуу ! у кауун)1уал яеляус7ася бгс7"Оне сна ма снуй. Есиш с!се:эгсеменгуссус бесконечно мало!с паследааательнагиш ссссуу1 не рссессы !сулю, гиа паследоеательси7ссиь (1/ссуу'1 бсхкон«'сна бояьисал, Л о к а з а т с л ь с т в о. Отмстиму во-псрвыху что у бесконечно большой посщсдоватсльностп лишь коночное число элементов может бьгп равно нулю. В самом:.Солоу из опрсдссп;ния бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного положительного числа А можно указать такой номер ЛУ", начиная с которого выполняется неравенство (х„,! > А.
Это означает, что при и > Х" вес элементы хя нс равны нулю, а поэтому по- ОХОДЯЩУ!ЬгСЯ ПООЛЕДОВйтЕЛЬНОСТИ 67 следовательность 11/хтс) имеет смьн т, если ес элементы рассматривать начинал с номера Х*. Докажем теперь, что !1)схтс)— бесконечно малая последовательность. Пусть с любое положительное число. Для числа 1ге можно указать номер Л" > Хь такой, что при и > Х элементы хи последовательности )хп) удовлствортиот неравенству !х„( > 1)се. Поэтому, начиная с указанного номс;ра )77., будет выполняться псравстптво !1)сх„) < Таким образом, доказано, что последовательнос"и (1)схп) бесконечно малая. Доказательство второй !асти теоремы проводится аналогично.
й 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства 1. Понятие сходящейся последовательности. Определение. Пас)ссгдс)с)атт)ель)соси)ь 1.7) и) ней) ьитиепия с х од я и! с. и с я, еслтс аутассстпвусгти сник»е "псслс) с)1 чтив паследас)итпс)- льностпь 1схи — а) ялляяипся бесконечно лсалай. Прсс зп)ам число аназывиепсся пределам иаследоватиельнастпн !х. ) ') Определение сходящейся последовательности могкно, очевидно, сформулировать такгкс и следукнцим образом. Паследавазпельнассиь 1хо) нвзтявиалися, схадялцейсл„ес)сн су- 7))естивуетп талков число аз чтпа для лтойс)го пс)лс)зсстсптелт.нс)гс) числа е .мс).)я на ушсзазпь нс)мст) ЛТ псиьап ), пас) пу)т), 71 )~ .гсс вса злементпьс тп зсис)й паследовптпеьиьносьпп удавлетпворявтп неравенс:тпвУ ~ ~ < сч о1) П1)11, зтти)лч чти.*ла и тсс)сзыс)с)е.'Тпс)я, 711)с)делом, ти)сяе.'доватпсАЬТ)с)- стаи )хп).
Если нослеДовательность 1з)п) схоДитсЯ и имеет своим иРсделом число а,. то символически это записывают так з): 1пн хв = аз или хи -э а, при и †оо. й — 1 со ~1 В соответствии с чтим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом чиссло нуль. -) так как 77 зависиг ос е, )о иногда пишут )х = )'т'(г). в) Отметим., что бесконечно большие последовательности иногда называнн последоваишьностями, сходящимнгя к бесконечности. Поэтому счши последовательность )х„) бесконечно болыпая., то символически зто записывают так: !ТШ Ь вЂ” СО. ТШ:Г.„= СО. Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некото- рогО немера, имен)т определенный знак, то говорят, что песледевательногть )х„) сходится к бесконечности определенного знака.
Символически что записывается следуклцпм обри)ом: 11ш х„=+ о, гл. а ш нднл посл ндовлтвльности 3 а м с ч а н и с 1. Неравенство (3.3) эквивалентно неравенствам — с < то — а < +с, или а, — с < хи < а+ с. Пое тсднгн нсраВСНСтВа ОЗНаЧаЮт, ЧтО ЭЛСМСНт Сии НИХОДИтСЯ В Е-ОКРССтггсетИ числа а (наггоынггкг7 что с-огсрестностыо числа а называется интервал (а — с7а+с)). Поэтому опрстгслснис сходящейся последовательности можно сформулировать такгкс и следующим образом.
Пс>слсдегетегттгеальнегси777 1ю„) нгюыьпстпся слодицсйся, если сугцсстпвуетп число а тпанос7 'ппо О лнгбогг, а-окретегтттгеегтггг "гисла а гггиаодяпгСя Еан ЭЛЕГОИЕЕНЕПЬС ПОСЛЕдГ7ОЕПСИСЛЬНОС7пгг 1Т77). Наягггнгя С негкотпгт17оао ггеглгеует ) Опрсдслсггис сходицсйся последовательности утвсрждаст7 что разность хн — а = аи является бесконечно малой последовагсльносп ю. Следовательно.;побой элемент хп сходящейся ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ, ИМСЮЩСЙ ИРСДЕЛОМ ЧИСЛО Оч МОЖНО ПРЕД- ставить в виде То = а+ОО7 (3.3) где ои элемент бесконечно малой последовательности.
3 а и с ч а н и с 2. Из опрсдслсния про.гола последовательности очсви;гно, что коне гное число элементов нс влияет на сходимость этой последовательности и на величину сс предела. Рассмотрим примеры сходящихся послсдоватсльностсй. и 1) Последовательность 7' — 2 сходится: продел этой послс- 1 и -г- 1 и доватсльпоети раасн единице.
В самом гслс7 так как — 1 = и -~- 1 1 , то для доказательства достаточно убедиться, что по- 77 -г. 1 ! слсдоватсльноеть ( — 1 бесконечно малая. Если и > 777, то и -1- 1 7' 1 1 — — <, и поэтому по данному с > 0 достаточно вы- 77+1 777+1 1 1 брать номер Х из условия, или дт > — — 1. Например,. 77'Э1 могкио положить 2) ЕПокагксхг7 что последовательность щг = 0,3: щэ = 0,33 ...: гси = 0733... 3: ... сходггтся и ихюст своим пределом число и, ггая 1773.
Поскольку число 1173 представимо бесконечной десятичной дробью О, 333... 7 то из правила сравнения вегщсствснных чиссл 17 7 ЗаВИСЯЩЕГО, КОНЕЧНО, От сходящийся нослндовлтильности (см. и. 3 з 1 гл. 2) вытекают неравенства ') 0,33... 3 « — 0,33... 3+ — „. : .' ''' З " .'.'' 1Ои' и раа и раа 11 1 Из этих неравенств полу псм, что хв — — ~ < —. Так как при з1 ир ' и > Х вЂ” < ., то. выбрав ио .нобому е > 0 помор Лг из усло1Ои 1О' ' ! 1 вия —.
< е, получим ~хи — —, < е ири и > Х. И>х ' '- ' ~"ь З Возможность выбора номера Х. удовлетворяю>него условию ~ с1 ~ ' < е ири:иобом ~ д ~ < 1, была устшювлсна в нримсрс 1 и. 3 З 1. 2. Основные свойства сходящихся последовательно- стей. Теорема 3.7. Сходящаяся, послс>доволоельностаь вместо, псо>сьно один предел. Д о к а з а г с и ь с т в о. Пусть а и б ирсдслы сходящейся последовательности 1хи). Тогда, используя специальное пред- ставлсиис (3.5) для элементов хи сходящейся последовательно- сти 1хаы получим ха = а + о„, хи = б+ 1>и, где о„и 1>и 1 элементы бесконечно малых последовательностей 1оо) и 113и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
