Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сокращенно последовательность (3.1) будсхс ОбаэиаЧатЬ СИМВОЛОМ тСХгг). ТаКг ПанрнМСр, СПЬ ШО;ЮМ ~1Сгтг) будем обозначать последовательность 1, 1/2, .... 1(тг, ..., а симво.юм (1+ ( — 1)п) последовательность О, 2, О, 2, ... гл. 3 пгкпкл пос лкдовлткльпсзоти Ввсдем понятие арифмсти неких операций над числовыми послсдоватсльностями. Пусть даны произвольные посчсдоватсльности:Г,1, х2...., Хд, ... и у1, у2, ..., уд, ...
С!умной этих !нкщсдоватсльностсй назовем г!о<'.лсдоватс:п,ность х! + уг, хг+ + 7!2... °; Хд + Уд ° ° ° (И-1И (Тг, + Уд )), Раз!!ОСГГ!ЬЮ вЂ” !ЮС.1С;70- ВаТ!'ЛЬНОСТ! Х1 ' У1, .'Г2 — У2, ..., Хд -- Уд, ... (ИГ1И (Гг, — 72гг~~). 71Р07юасдг!И!ЕМ ПО!СИ ДонаТС:1ЬНОСТЬ Х! 'У1, Х2 П772...., Хгг'Уд ° х! х2 г (или (Хгг.гуд)), часптым послсдовательность — ' 91 !и у (или ( — ")) . 7':г„) 3 а м с ч а н и с. При определении частного с— ) нужно трсу. боватзч чтобы осе элеме7!ты уд !!ос„ш;совагсльности (уд) были отличны от нуля.
Однако если у последовательности (7угг) обращается в нуль лить копечггое. число алел!ег!и!ос, то частное !' — "1 су,! можно определить с того номера, начиная с которого все элементы Уд отличны От нрлгг. 2. Ограниченные и неограниченные последовательности. Определение 1. Последосагпельг!Ос!па (хд) назьюеетсл о г р а и и ч е и н о й с а е р т у (с 7! и з у), если ссйцестсует, такое аесйестсез!7юе число ЛХ (число 7п), что каэгсдыс! элемхп!т .Гд последователю!ости, (хд) Удоелетгзоулет, неуаеспгстоу хд < М (хд > т) !) При этом число ЛХ (число гп) наз! пзасгтс:я серхг!ей' грег!ью (ниэюиеа гранью) пос:!с!сова!с!!ьности (х„Х, а неравенство .Тд < М (хг, ) и!) называется услосиелл одгсраг!7!'!717!7!Ос!пи посл сдов аз ель ности сверху (си изу) .
Отметим, что гпобая ограпичсгшая сверху после;шватсльность (Гд) имеет бесчисленное множесгп!о веРхних гРансй. В самом дс.!с, если М верхняя грань, то любос чис !о М', большее М, также является верхней гранью. Подчеркнем, что в условии тд < ЛХ ограниченности пос:.!сдовательпости (х„) сверху в качсстнс М можс! рассма!рина! ыя,г!сзбни нз !ирхннх грсн!Сй. Аналогичные замсчшгия моэкно сделать в отношении нижних граней ограниченной снизу последовательности (хг,). Определение 3. Последосателы!Ость (хд) иазысаетсн огра!!и"!Сг!7!О77, с обеих сварог! тли ггросд!о о г р а, н и ч е и и о й, если она г!гра!Гачеиг! и соерсу.
и снизу. и. е. если сг!и!Сгггг!а!!юг!! числа и! и ЛХ гпакие„что хгобой элемент, хд эггит, последосателы!Ости удослетаорлет 7!граве!!Отвале гп < хд < ЛХ. ) Это определена!' полностью аналогично опреаеленнге дграннчснного сверху (снн!1) множества вегиественных чисел (см. и. 5 З 1 гл. 2). ЧИС'гОВЫЕ !!ОС' 'гЕДОВктЕ'гЬ!!ОС'ТИ Если пос' гслтоватсльность 1х„) ограничена и М и эп.
се верхняя и нижняя грани, то все элементы хп этой гюслсдоватсльности удовлстворянэт неравенству )х„,! < А. (3.2) где А максимальное из двух чисел ~ЛХ~ и ~ггг~. Обратно, если все э,н*,менты послсдова.ншьности (хп) удовлетворяют неравенству (3.2). то выпо.шякэгся также неравенства — А < хк < А, и, силовательно, пос;пдовательность 1ха) огРапичена. Таким обра:эом, неравенство (3.2) представляет собэой,другую форму условия ограниченности псклсдоватеэп ности. Уточним понятие нсограгси !от!ой последовательности. Последооагплльпосгпь (х„) называется неограг!ачетгой, если для любого ггсэлосяссггпелыгсэго числа А гюйдется элелогнтп, ха зпигй псэслсэдосэапгсэлыгоспт, удовлетворяющий первое!!стоу )хгг( ) А.
Рассь!отриь! несколько приъиров: 1) Пос.юдоватсльность — 1. — 4, — 9, ..., — и, ... ограничена свс'рху и нс ограничс на снизу. Верхней гранькэ этой посысдоватс.сьпости является лкэбос число, пс меньшее — 1. 2) Поссюдовательность 1, 1/2, 1!3, ...., 1!и, ... ограничена. Действитеэгьгго, верхней гранью этой последовательности является .:побое число ЛХ ) 1, а нижней гранью .. побое чис .ю гп ( О. 3) Последовательность 1. 2, 1. 3, ..., 1, и, 1.
(гг + 1), ... нс ограничена. В самом дслс, каково бы ни было положительное число А. среди элементов этой посл«допит!с!внести (сс четныъпл номерами) найдутся элсъгснты, превосходящие А. 3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Определение 1. Последовательно!ешь 1хп) гюзыоается б е с к о и е ч н о б о л ь иг о й, если для любого полозюителюиого числа А ') лгозкно указать !гол!ар Хтакой ). что прин, > эУ асе эгемегггггы хк этой г!оследооагаельноспт удсэсээаегггсгоряют нера; вен«шоу /х„! ) А 3 а м с ч а н и е.
Очевидно, что лкэбая бесконечно большая последовательность являетсл неограниченной, поскольку для:по- бого А > О моэгспо указать !юъп р Х такой, что при и, > Ж ос.е злееиенть! ха удовлетворяют неравенству (х„) ) А, а следоватс,п,но. для:побого А > О найдется по крайней ънрс один такой элемент хн, гто (х„( > А. Однако нсограннчснная пос ссдоватсльность может и нс быть бесконечно большой. Напрггъгср, неограниченная пасси'.давал„п ность 1, 2.
1, 3, ..., 1, гг,, ... нс'. является бесконечно большой, поскольку при А ) 1 неравенство (х„! ) А не имеет мс«та для всех ха с нечетными номерами. ') Сколь бы бояьппсм мы его нк к:шли. г) Так как помер Х зависит от числа 1, то иногда пишут Х вЂ” — Х1А). гл. з ш кдкл поолкдовлткльнооти ОпРеделентле 2. Пттслег)гтгтательттгтстгтго 1гтт,) ') лалътаетпсЯ б е с к о п, е ч н а м а л, а й, если для любого пала;ткитлелтпгога "гнала е "1 меток:ттгт Ука;гатпь номгту Х такай' ) т чипа пРи и > Х все гтггетиггтттгтвг, ол опитй тил:ледгллмпсльнастпи удогтлетпворянтпт неравгнгтлву )гтгг! ( е.
Рассмотрим следующие примеры: 1. Докажем, что последовательность гт„г) . г)з, .... г)л, ... при ~ д ~ ) 1 является бесконечно большой. а при ~ г) ~ ( 1 бесконечно малой. Сначала рассмотрим случай ~ й ~ > 1. Тогда ~ г) ~ = 1+ Б, где б ) О. Используя формулу бинома Ньютона, ттолучим ~ г) ~'' = = 11+ б)' = 1+ бХ+ положителытые чъны). Отттода (г)1к > г1Х. 13.3) Фиксируем произвольное число Л > О и выберем помер Х столь большим, чтобы имело место неравенство бтт7 > Лл). Нз после;1него неравенства и неравенства 13.3) вытекает неравенство (г7! ' ) Л. Так как при тт, > Х и при (д) > 1 )г))л > (г) ( ' 1в си- ЛУ Снсйетн ПРОИ:1ВЕДЕПИЯ ВСШЕСтВЕННЫХ ЧИСЕЛ). тО 1Г) )в > А ПРИ н > Х. Тем самым доказано. что при ) г) ) > 1 рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Случай ~г7 ~ < 1 рассматривается совершенно аналогично. В 1 этом случае — = 1+ 6. где б > О 1тты опустилп гшучай г7 = О). ''!а! Снова используя формулу бинома Ньютона, мы получим вместо 13.3) сттедуюшег; нс)тавснство: —,. > оХ, или )г))к < —,. Рт 'Г' ' бт"т' (3.3*) Фиксируем произвольное е ) О и выберем номер Х пз устювия б,тт' — < еб). Тате тсак ~г)~в < ~д~' при и > Х и пртт )г)~ < 1, то из полученных неравенств вытекает, что )г))в < при и > > 117. Тем самым доказано, что при ) г) ) < 1 рассматриваемая последовательность является бесконечно малой.
2. Докажем, что поглет)овательность 1, 1гг2, ..., 1ггтй ... бесконечно малая. В самом деле, если и > Х, то 1тгтт < 1гтХ. Поэтому по гтаиному е достаточно выбрать номер Х из устювия 17тХ < е. Наиримс, можно положить Х = [1гге) + 1. ) Элементы бесконечно малых последовательностей мы, как правило, будем обозначать т речет кими буквами. т) Сколь бы малым мы его ни взяли. а) Таь как номер йт зависит ог числа е, то иногда пишут Х = ат(е). ') Доста|очтто положить тт = тАЯ ч- 1, где символ тх) обозначает целукт часть числа;с. Например, 15, 138) = о, ) — 172., 9) = — 178.
') достаточно положить Х = ~1гб1т)] се 1. ЧИСЛОВЫК ПОСгЛВДОВК7 ВЛЬНООтн 4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема 3.1. Сумма двух бесконечно малых пгтслсдовитттгльтйгтгттгтс771 еспть бгхконсчно малин, пгюледовптгллгногтть Д о к а з а т с л ь с т в о. ПУсть хгоо) и 13„) бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность Хтна+79а) бЕСКОНЕЧНО Мапаа. ПУСТЬ - ПРОИЗВОЛЬПОЕ ПОЛО- житсльнос число, 17'1 — номер, начиная с которото ~гттй~ < с772, а )тз нохтс)х начиная с которого ф„~ < С772.
(Такййс номера Жй и Лтг найдутся по опрсдслсншо бесконечно малой посшсдоватсльности.) Так как моду.,п суммы двух йиссл не превосходит суммы их мо.тулой, т. с. /йта + ф„! < /гта~ + /Ба! (Схй. и, 4 Ц 2 гл. 2), то, обозначив чсрсз Х наибольший из двух нохйсров 17'1 и Лтв, мы получим, по, патиная с номера 7Х7, вьшсхчняетгя неравенство (Гттт + тчгй( < . Эте ОЗНаЧаСГ, Чта ПОСЛСдОВатСЛЬНОСтЬ 177,„+ 7377) бссконс йно малая. Теорема доказана. Теорема О.2. Рп,ттйостпь двух бесконечно .милых последова; 7пхльногпйети сс7пь бсгкотн'.чно мгйлия пгтстлгтдОгтгйгпгльтгОстпть Эта теорема доказывается аналогично предыдущей, только ВМЕСТО НСРаиеиетВа ~стгй + 7371! < (Гта( + ф„! СЛСДУСт ВЗЯТЬ НСРаВСНСтнв (Гта — Рбгй( ~ (~77777) + фгй!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
