Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вместе с тем каждое нз чисел 12.1) может быть получено пос))едством об))ывания на гоств(.тствуюшем зна~~ б)ескг)нечко<1 десяти (но(Х дроби 12. 2) а(ь о)оо... о,„... Указанн)и'. Выше ра('суисдения применимы и для глу')ая> когда точка ЛХ лежит левее точки О, толысо в этом (лучае все чи("(а 12.1) н бес<соне иная десятичная дрооь 12.2) будут иметь от))ипате.лысый зе(ак. ') Конечно. на практике во втором случае пропесс измерения счита(от законченным и ггпвагак)т д.)ину отрезка ОЛХ равной ое + 1.
Однако нам удобсн е <в пенях единообразия) вес(и измерения строго по недостатку, чтобы и в этом случае получить остаток ("> (1) и иметь возможность ирода икать пропесс измерения. Г:1. 2 ТЕО1'ИЯ ВЕЩЕСТВЕН11ЫХ '!ИСЕЛ Таина< Оора)ом, мы установигп1, что 7юс1)едсгпвом о7<исннл<4)ео не<ми прт1есса <гзмер<:7<ил отрезка ОМ ля)бой точке М числовой оси можно шгставить в со<)и<ветхи)вие вс)сгг<нсг определеннупг <)есгкс)7<еч<<унг десяти чную дробь.
Итак, мы видик<, 1то Описхип1ып Выше. Проц<.сс пчаи)ре.ния произвольного отрезка ОМ чи<)лавой осп при помощи масштабного отрезка, естественным образом приводит нас к рвссмотреншо чисел. 711)едс771<)вимь<х в виде с)с<стас)вечна<а десягс)и"<нь<х дрсгбей. Вм<к;те с тем каждая бесконе шая десятичная дробь (2.2) полностью характеризуется бесконечной совокупностью (2.1) рациональных шсел. приолижающих эту дробь. Конечно, опнсапный вылив процесс и )мерения отрезка ОМ можно видов)меннть так, что он буде< сй)иводи<ь к расск<огрению Оесконечных двоичных дробей или к рассасотрепи)о бесконечных дробей в любой другой системе счисления. Заметим, что для задшшя чисел в современных электрслшых вы )и<лит<)л< ных маппшах напбол<)<1 часто используется двои 1- ная си<7тема счисления, а ино<да троичная снстехса счи<;<ения.
Это объясняется тем, <то входящие в конструкпию электронных минин радиолампы и полупроводниковые элементы имеют чаще всего два. а иногда трн устойчивых состояния (наприк<ер, лампа )акрыта„ток не идет одно устойчивое состояние: лампа открыта, ток идет . другое устойчивое состояние; третье устойчивое состояние возникает.
если рвиличать направление, в КОТОРОМ ИДЕТ ТОК). В связи с отмеченным обстоятельством возникает необходимость в рса)работке алгоритмов перевода чисел из десьтгнчной< системы счисления в двоичну)о систему и обратного пс"ревода чисел из двоичной системы в десятичную. Примеры таких алгоритмов '<птахе.,<ь и )йд<<т в Доно,,тнснии 1 к настоя<пей главе. 3. Вещественные числа и правило их сравнения. Рассл<отрим множес<пвсг всевсгзмсгэю)7<ь<х бгс<слсгнеч)<а<<11 с)еся<пичнь<х дробей.
Числа, прс<дс<павимые этими дробями, будем навивать асс<1<<С<7)ВС<7<7<Ь<М<Г, ) Данное вещсств<нно<' пн7ло бул<*м на)ывать поллэгснп<ем— пьем, (сгп)ри<1а<сгель<<ь<м), ес)ш оно представимо в виде положительной (отрипатс)льпой) б<юкопечной десятичной, ц)оби. В состав множества вещественных чисел входят, кон< чно, и во< рациональные пиша, нбо все онп представимы в ви.п) бесконечных дес)минных дробей.
Пред<свив,пенне <анного рационального числа в виде бесконечной десяти шой дроби можно поят'<ит)ч иапйим< Р, из <;1<. 11 <ОЩих сооойажений. „1юооь<У Рапи- ') Как уже отмена.юсь а сноске 7) на с. 20. поюпие чнс.)а относится к начальпнм по«ятням, вкщкствкпнык числа ональному 1ислу соотвеетстВует олей()деле)иная то 1ка ЛХ чпслОВОЙ ОС11, а э)ОЙ Точи<".
Ставится в соо'е'Ве',тстгн<'. Прее Помощи способа, указанное.о и пункт(л 2, опреде)ее(<<лая Оссконее шая десятичная 1 дробь. Так, рациональному числу — ставится в соответствие бес- 2 конечная десятичная дрооь 0««1999..., рациональному числу— 4 3 бесконечная десятичная .еробь 1. 333... Вещественные чп< еа, не являнпцпе<я рациона.еьнымн, принято н<слывать иррациональными. Нашей задачей является по<щедовательное перенесение на сыучай произвольных вещественных чисел трех правил и всех Основных свойства 1нщиональных П1сеел, пере пп' пенелых В и. 1.
Тем самым для вещественных чисел будут обоснованы все щ)аВн:еа ьо<ементй)НОЙ алееебры. Относящиеся к й)нфметле Еескпм действиям и к сочеганшо равенств и неравен<(гв. В этом пункте мы установим правило сравнения вещественных чисел. Прежде и-и перейти к формулировке этого правила, договоримся об определенной форме записи тех рациональных чисел, которые н|ждставеемы в велдс коне"ее<О<1 деесяпт«ее<о<1 дроби,.
Зееаеегиал, что указанные рациональные члл< Еа допу(кают двоякйн) запись в виде бесконечных десяти шых дробей. Например, 1 ! чп(езо — = 0.5 можно записать: 1) в виде — = 0«4999 ...; 2) в 2 2 вллде — = 0,5000 ... 1 2 И вообще рациональное чн<що ело«а) ай ... атм где аее ф О, можно записать: 1) в вллде ао, алой ... а„л(ао — 1) 999 ...; 2) в виде ао, ала) ... Оп 000 ... Первая из указанных двух записей может быть получена по способу, описанному в и.
'2, а вторая формальным превращением данной конечной десятичной дроби в бе(конечнуео еюсредством доши:ывания нулей. Е«1ы договоримся 111)ее, сривншпш веецественныес нисе)л польло- В 11 ы:я длее у каз«)нных рациональных чисел лип)в ее<ей<)ой из этих двух форм записи в виде бесконечной десятичной дроои. Иными <шовавен, при сравнении вещественных чисел влы не будем употреблять бесконечные десятичньп дроби, все десятичные знаки которых. начиная с некоторого места. равны пулю (зее нсклк)чением, конечно, дроби О, 000 ... ) '). Перейдем теперь к формулировке правила ()1кевееснеея вещеСТВЕН111.1Х 1НС()Л. ) Принятие )акой договоренности вполне соответствует процессу измерения отрезка.
описанному в п. 2, ибо описанный процесс не может привести к бесконе шой де(в(личной дроои, у которой все десятичные знаки, начиная с некоторое о месс к равны нулю. ткория икщкстикнпых чискл ГЛ. 2 Рассмотрим два прои:»вольных вещественных числа и п 6. Пусть ятн .сис са 111»е»Лслг»визсьс с;и'дуюгцими бсгс:конечными дссяти шыми дробями: а = жссо, а!ай ... а„..., (24 6 = ~!»о! Ьс!»я Ьн (2. 1) (где из двух знаков ж бс рется какой-то одигг). Двсг вещественных числа (2.3) и (2.4) ыгсзываготсся Хи»выжми, ес пз они имекзт одинаковые знаки и если справедливы равен»:тва с»о = Ьо сп = Ьс! , о = Ьн! Пусть даны два неравных вещественных числа а и!».
Ъсгтановим правило, при помощи которого можно прийти к зак;почению, каким знаком, > пли <, связаны эти два числ»а. 1. Пусть с:начала о и Ь обо, гсвг»ге»Х»гзцсгтелг»гсвг, и имеют следующие представления: а = оо. и,сгх ... а„...; 6 = Ьо. 616а ... Ьн ... Так как чис га а и 6 не равны, то нарушается хотя бы одно и'г равенств оо = Ьо, аг = 61, ..., о,„= 6,...
Обозна п|м через Ь наименьший из нспгс 1!он н, сьл»г кото!»ых на1»ус»гнется 1»авенство а„„= Ьи г». Тогда мы будем считать, что в, > 6, если ссь > Ьс,, 1! и и, < Ь. если оь < Ьсс. '2. Кслн из двух чисел а и 6 одно неончлсцательно, а другое огпХ»гсгсссгггеллоссг, то мы! сстественно, будем считать, что ш отрицательное пило больше отрицательного. 3.
Остается ргпжмотрсть с:сучай, когда обо, чгглсла и гс 6 от!тцосгпезсьнь».,7озовс»ргсмсгя низнватль м о д р л е м вещесягвгннозо чсила а неотрицательное, вещественное чггсло, обозна»чаемое. сгсмволо вс / сл ! и рсгвное десятичной дроби. гсредстивлшюсцей число а, взятой со знаком +. Если а, и 6 оба отХ»гсцсггпгелг»гсьс, то мьг будем считать, что а ) > 6, если /6/ > / а,/, и и < 6. если / сг/ > /(з! -). ! ! » Итак мы считаемц что ас = Ьс», а! = Ьг,..., а» ! = 6» с, но а», ф 6».. г Легко видеть, что сформулированное правило сравнения вещественных чисел в применении к двум радиоиальныь! числам приводит к тому же самому результату, что и правило сравнения рациональных шссл, указанное в сноскс г.
на с. 38. В самом дс ле, достаточно рассмотр»сгь лишь случай двух иеонсрицательнмх рапионшп.ных чисел и и Ь. Пусть а > Ь согласно правилу сравнения рациональнъгх чисел. и пусть а = ае, а!аг ... а„...; Ь = Ье, 6»Ь» ... Ь„ Предположим, что ра~иональному числу а ссхгтвстствует на числовой оси точка ЛХ», а раппа»!алиному числу Ь»о»ка »РХ . тогда ясно, гго то гка ЛХ! лежит правее точки Ыз. Вместе с тем из и. 2 вытекает, что целое чис- 1 ла аеа»,. ас(ЬеЬ! ... 6»д показывает, сколько раз — часть ъгасштабного !0» отрезка ОК укладывается в отрезке ОЛХ! (ОЛХ»! с выкинутьш правым конном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
